參數化產品族遞進式優化設計方法

魏巍，馮毅雄，程錦

(1.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191;2.浙江大學 流體動力與機電系統國家重點實驗室，杭州310027)

產品族設計是實現大批量定制的有效方式［1］，模塊化產品族與參數化產品族是當前產品族設計領域的兩大分支.模塊化產品族的設計策略主要是通過模塊單元的組合與變換來實現客戶需求的響應，參數化產品族不改變產品的拓撲結構，通過改變影響產品性能的設計變量的取值來設計出性能差異的產品.

在參數化產品族的設計與優化方法研究方面，目前的研究主要集中在面向單平臺的產品族設計方法及面向多平臺的產品族設計方法.Dai和Scoot［2］在產品族單平臺策略下，使用偏好聚合法在一個數學模型中集成描述參數化產品族的平臺常量和設計變量，提出了綜合考慮性能和成本指數的參數化產品族單階段設計方法，但該方法的求解效率有待提高.Nomaguchi等［3］根據信息的重要性與可用性，提出一種設計方法選擇矩陣進行產品平臺設計，該方法對信息重要性的評斷值得商榷.Akundi等［4］建立了產品族性能敏感度評價指數，通過敏感度分析進行產品平臺設計，該方法能夠有效提高產品平臺的通用性.Khajavirad等［5］研究了多平臺下產品族染色體表達方式及算法的交叉與變異算子，開辟了產品族的多平臺求解思路.Kumar和Allada［6］模擬蟻群聚合規律，提出了基于多代理蟻群算法的參數化產品族設計法，該方法成功地將蟻群算法應用于產品族設計過程中.Alizon等［7］將價值分析技術應用于產品族的設計中，通過設計結構矩陣和性能指數評價進行產品族優化設計.檀潤華團隊［8］提出了基于相似性分析與結構敏感性分析的產品平臺設計過程模型.唐加福等［9］基于質量功能配置，以最大化滿足客戶需求為優化目標，該方法提高了客戶需求滿意度.李中凱等［10］面向柔性產品平臺，提出了基于定量指數與聯合分析的產品族多目標優化方法，該方法面向柔性產品平臺實現了產品族的多目標優化.

本文在以上學者研究基礎上，考慮到目前的產品族的設計研究方法難以客觀地權衡產品平臺通用性和產品多樣化性能間的博弈關系，產品族自身結構的穩健性一般，提出參數化產品族遞進式設計方法，對產品平臺通用性與產品實例性能進行權衡優化.優化方法采用遞進式的兩階段優化設計策略，考慮到改進的強度Pareto進化算法(Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2+，SPEA2+)適用于產品平臺的優化求解，非支配排序多目標遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II，NSGA-II)算法適用于多個產品個體的并行優化求解.因此，第一階段SPEA2+算法優化產品族設計平臺，獲得產品族設計參數的敏感度和變差指數，劃分平臺常量和設計變量得到穩健的產品平臺，提高了產品平臺的通用性.第二階段采用NSGA-II對產品的多個性能進行優化，在已有的產品平臺基礎上優化設計變量的取值，設計出性能最佳的產品設計方案.

1 參數化產品族優化模型

在參數化產品族的設計中，一方面要在設計過程中考慮到產品平臺的通用性，另一方面要兼顧到產品的多樣化性能.通常來說這二者之間存在著此消彼長的相互博弈關系，針對二者間的作用關系，文獻［11］建立了以目標的偏離程度為衡量標準的定量評價機制，分別建立了產品族設計平臺通用性目標評價指數(Non Commonality Index，NCI)與產品族性能目標的偏離指數(Performance Deviation Index，PDI)［11］.如圖 1 所示，在通用性與性能權衡的參數化產品族優化設計模型中，NCI值越小，表示產品族設計平臺的通用性越高，PDI值越小，表示產品族的綜合性能越優.通過分析可以看出，綜合最優的產品設計方案分布在G區，最劣的設計方案分布在D區，參數化產品族設計以同時減小產品設計方案的NCI和PDI值為目標，提高平臺通用性和產品性能，使得產品設計方案從D區演變到G區.

圖1 通用性與性能權衡的參數化產品族優化設計模型Fig.1 Universality and performance balance optimization design model of parametric product family

2 參數化產品族遞進式優化設計

2.1 參數化產品平臺的設計

產品族中包括多個變量，首先區分這些變量的屬性進行產品平臺的設計，產品平臺常量與設計變量的劃分結果直接影響到產品平臺的通用性.為了客觀地規劃產品平臺常量和設計變量，引入設計參數的敏感度［12］和變差指數［13］進行產品平臺常量與設計變量的劃分計算.

設計參數的敏感度表征了參數的取值變化對產品性能變化的影響程度［12］，敏感度數值較小的參數對產品性能變化的影響相對較小，在參數化產品族遞進式優化設計過程中，對于產品族中包括的多個變量參數，敏感度小的參數被設置為產品平臺常量，這些參數在平臺層進行優化，敏感度大的參數被設置為設計變量，這些參數需要在實例層進行優化.產品設計參數的變差指數［13］用來衡量設計參數的變化程度.在設計產品平臺時，變差指數較小的設計參數被選作平臺常量，變差指數較大的設計參數被選作設計變量.

對各個參數敏感度的計算可以通過一階偏導［12］法求取.設產品族的性能目標函數集合為F(x)={f1(x)，f2(x)，…，fm(x)}(m 為性能目標的個數)，在 x={x1，x2，…，xn}(n 為設計參數的個數)時得到最佳設計結果，則產品Pk中第j個設計參數xj對第i個性能目標的敏感度為

式中:Δxj為設計參數xj的微小變化;Δfi(x)為產品第i個性能受設計參數變化引起的波動.

建立產品Pk中所有設計參數對產品性能目標fm(x)的敏感度矩陣為

則設計參數xj對產品性能i的全局敏感度為

式中:Mijk為第k個產品第j個設計參數xj對產品第i個性能的局部敏感度;H為產品實例數.

產品設計參數的變差指數可通過參數的均值和方差值求取，求取過程為

式中:dj為第j個設計參數xj的變差指數;μj為第j個設計參數xj在產品實例中的均值;δj為第j個設計參數xj的方差值.

敏感度和變差指數都計算完畢后，需要設置敏感度的閾值λj和變差指數的閾值β，然后提取敏感度和變差指數都小于閾值的設計參數選作平臺常量，其他參數選作設計變量，如圖2所示，產品平臺常量為敏感度小于λj并且變差指數小于β的設計參數交集.

2.2 參數化產品族的遞進式設計流程

建立參數化產品族的遞進式優化設計流程.如圖3所示，首先確定產品族設計問題的優化目標，建立相應的產品族設計數學優化模型.將參數化產品族遞進式設計過程分為兩個階段，分別是第一階段的產品平臺優化設計和平臺建立后第二階段的產品實例優化設計.針對SPEA2+與NSGA-II算法求解優化問題各自特點和優勢，提出SPEA2+與NSGA-II相結合的多目標混合進化算法.在產品平臺設計階段，采用SPEA2+算法［14］進行優化，通過設計參數的敏感度分析和變差指數的計算進行產品平臺常量和設計變量的選取，提高產品族的NCI值，增強產品平臺的通用性和穩健性.在產品實例的設計階段采用NSGA-II算法［15］進一步優化產品實例的多個性能，提高產品族的PDI值.

圖2 參數化產品平臺的設計Fig.2 Parametric product platform design

圖3 參數化產品族遞進式優化設計流程Fig.3 Parametric product family progressive optimization design process

3 基于混合進化算法的產品族優化

3.1 SPEA2+與NSGA-II混合進化算法

參數化產品族的設計優化問題通常是多目標優化問題，考慮到傳統的優化目標函數線性加權法不能保證設計結果的Pareto最優性［15］，本文采用SPEA2+與NSGA-II相結合的多目標混合進化算法對產品族設計平臺及產品實例進行優化求解.

SPEA2+是改進的強度Pareto進化算法的改進［14］，該算法不需要設置小生境算子，通過外部種群裁減機制來控制種群規模，具有較高的收斂速度，改進算法具有解集分散特點，能夠獲得分布均勻的Pareto前沿，適用于產品平臺的優化求解.

NSGA-II算法［15］基于非支配排序策略，通過擁擠距離計算和優勢點的保持來獲取Pareto解前沿，該算法的特點是可以建立多線程的并行優化機制，種群規模對算法求解時間影響較小，適用于多個產品個體的并行優化求解.

針對以上兩種算法的特點，提出SPEA2+與NSGA-II相結合的多目標混合進化算法對參數化產品族進行優化，將兩種算法分別應用到產品平臺優化和產品實例性能優化兩個過程，采用遞進式優化策略對產品族進行優化，混合進化算法使用了兩類種群進行求解，解決了同步進化過程中引起的數據擾動問題，使得產品族設計優化求解更有效.

3.2 多目標混合進化算法的求解流程

基于參數化產品族遞進式優化設計流程，建立多目標混合進化算法的求解運算步驟如下:

步驟1 根據文獻［3］提出的方法，通過基因鏈來表達參數化產品族結構.

步驟2 初始化參數化產品族種群，設置初始種群規模數N，并根據種群規模隨機生成種群Pop.

步驟3 應用SPEA2+算法優化初始種群，得到設計方案的Pareto最優解，根據基因鏈排列結構得到各個設計參數值.

步驟4 計算各個設計參數的平均值、方差和變差指數，分析每個設計參數的微小變化帶來的產品性能波動，列出設計參數對產品性能的敏感度，并設定敏感度的閥值λ和變差指數的閥值β.

步驟5 根據敏感度和變差指數劃分產品平臺常量和設計變量，建立穩健的產品平臺，降低平臺通用性目標偏離指數NCI，提高產品平臺的通用性.

步驟6 在建立好的穩健產品平臺上，根據步驟2的方法進行種群初始化，建立NSGA-II的并行進化機制，保持產品平臺常量不變，優化產品平臺設計變量，求取產品Pareto前沿，降低產品族的性能目標偏離指數PDI，優化產品實例的多個性能，

步驟7 根據步驟6獲得的產品Pareto前沿，得到最佳解的基因鏈排列結構，進而推出產品最佳設計方案，并輸出設計結果.

4 實例應用與算法對比分析

4.1 電動機產品多目標優化數學模型

電動機在保持其產品平臺常量恒定，僅通過變化疊厚就能夠派生出不同輸出扭矩的系列化產品，是典型的參數化產品.其設計任務是設計輸出功率相同，但扭矩不同的8個電動機組成的產品族.建立電動機產品族設計問題的多目標優化數學模型［16］，兩個優化目標為:電動機產品的效率η最高，同時優化電動機產品的質量W最小.

建立電動機的優化目標函數和約束條件［16］:

電動機質量:

電動機效率:

電動機扭矩:

式中:W1為定子質量;W2為電樞質量;W3為電圈質量;t為定子厚度;ro為定子外徑;L為電動機的疊厚;Awa為轉子線圈橫截面積;Awf為定子線圈橫截面積;Awire為導線橫截面積;Ns為定子磁極繞線扎數;Nc為轉子繞線扎數;ρ為銅導線電阻率;ρcopper為銅線密度;ρsteel為鐵密度;Pin為輸入功率;Pout為輸出功率;Ploss為功率損失;I為電流強度;Rs為電樞電阻;Ra為線圈電阻;Ф為磁通量;L為疊厚;lgap為空氣槽間隙.

為方便求解，用電動機的效率損失代替效率，將電動機產品族的設計模型轉化為求兩個目標最小值的多目標約束優化問題.獲取電動機產品的主要設計參數及其取值范圍如表1所示，獲取設計約束條件如表2所示.

表1 電動機的主要設計參數及其取值范圍Table 1 Main design parameters and their ranges of electromotor

表2 電動機產品的設計約束條件Table 2 Design constraints of electromotor product

4.2 電動機產品族設計平臺優化

第一階段通過對設計參數的敏感度進行分析，并計算參數的變差指數，劃分出產品平臺常量和設計變量，建立通用性較高的產品平臺.式(5)～式(8)建立了電動機產品設計優化的多目標優化模型，電動機產品族遞進式優化設計的第一階段采用SPEA2+進化算法求解模型，設定SPEA2+進化算法的優化群規模Pop=500，循環迭代數G=1000，設定算法的交叉概率Uc=0.6，算法的變異概率Um=0.05.改變電動機的扭矩T，分別求得不同扭矩下電動機產品的Pareto集及綜合最優點如圖4所示.

圖4 電機產品族優化設計的Pareto集及綜合最優點Fig.4 Pareto set of electromotor product family optimization design and the comprehensive best point

采用SPEA2+進化算法對不同扭矩下的電動機產品進行優化求解，選取不同轉矩下電動機產品設計參數對效率η和電動機質量W的局部敏感度，并按照式(3)計算其全局敏感度，計算結果如表3、表4所示.

根據式(4)計算各設計參數的均值、方差和變差指數，如表5所示.設定電動機質量的全局敏感度MGW閾值λ1=0.20，設定電動機運行效率的全局敏感度MGη閾值λ2=0.15，設定設計參數變差指數d的閾值β=10%.由設計結果可知，工作效率全局敏感度小于0.15的參數有{Awf，Awa，ro，t}，電動機質量的全局敏感度小于0.20的參數有{Awf，Awa，ro，t，I}，變差指數小于 10% 的參數為{Awf，Awa，ro，t}.選擇全局敏感度小于 λ2并且變差指數小于β的參數作為平臺常量，其余參數作為設計變量，得到電動機產品平臺常量集合{Awf，Awa，ro，t}和設計變量集合{L，Nc，Ns，I}，對于平臺常量的取值，可通過計算原數據中對應參數的平均值獲得，計算結果為{I=4.1，Awf=0.35，t=5.6，Awa=0.22}.

表3 設計參數對電動機工作效率的敏感度Table 3 Sensibility of electromotor design parameters and efficiency

表4 設計參數對電動機質量的敏感度Table 4 Sensibility of electromotor’s design parameters and weight

表5 電動機設計參數的均值、方差和變差指數Table 5 Mean value，variance and diversity factor of electromotor design parameters

4.3 電動機實例產品的設計優化

根據電動機產品族遞進式優化設計流程，在第二階段，采用NSGA-II算法在已有的產品平臺基礎上進一步優化求解設計模型，采用與電動機產品族遞進式設計第一階段相同的運算參數，優化求取各電動機的優化結果如表6所示.

表6 電動機實例產品設計優化結果Table 6 Optimization result of electromotor design product instance

4.4 優化設計方法對比

Simpson等［11］提出了參數化產品族設計的(Product Platform Concept Exploration Method，PPCEM)方法，Dai等［2］提出了參數化產品族的單階段優化方法.將本文提出的基于混合進化算法的產品族遞進式設計方法與上述兩種方法在同一運算環境下進行對比分析，表7為采用不同方法優化電動機質量和效率的對比結果.為比較本文提出方法與PPCEM及單階段獨立優化方法的求解效率與運算性能，引用Pareto解的趨近前沿標準［17］和解集分散多樣性標準［15］.對于 Pareto 解的趨近前沿標準，趨近前沿度數值越大表征解集的收斂程性越好，對于解集分散多樣性標準，其數值越小表征解集的分散程度越佳.表8所示為不同算法求解獲得的Pareto解趨近前沿度、分散多樣性以及運算時間的比較.

表7 混合進化算法的產品族遞進式優化設計方法與其他設計方法的結果對比Table 7 Comparison of product family progressive optimization design approach based on mix-evolution algorithm and other approaches

表8 不同算法獲得的結果比較Table 8 Comparison of results obtained by different optimization algorithms

綜合算法的對比結果可知，基于混合進化算法的遞進式優化設計方法在解決參數化產品族設計的多目標優化問題上，能夠在獲得分布性和收斂性更好的Pareto解同時，縮短算法的運算時間.

對于更為復雜的產品，隨著產品設計參數的增加，本算法在解的多樣性方面會有所提升，但收斂性會隨參數的增加而降低.

5 結論

1)本文提出了參數化產品族的遞進式優化設計方法，構建了穩健的產品平臺.所提出的多目標混合進化算法，能夠在提高產品平臺通用性的同時優化產品設計參數.

2)混合進化算法解決了同步進化帶來的數據擾動問題，使得運算求解更有效.通過與產品族PPCEM方法及單階段獨立優化設計方法的仿真結果對比分析，本文提出的基于多目標混合進化算法的遞進式優化設計方法在解決電動機產品族設計問題上，能夠獲得更好的設計結果.

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