廣義分式規劃的對偶性

李向有，張慶祥

（延安大學數學與計算機學院 陜西 延安 716000）

0 引言

B-(p,r)不變凸函數[1]是一類重要的不變凸函數，很多學者利用這一函數研究了大量凸規劃，得到了許多重要結論[2-6].但是這些文章只是利用B-(p,r)不變凸函數研究了常規的單目標規劃問題，并且研究內容有很大的重合，Anurag Jayswal[7]研究了極大極小分式規劃問題，對文獻[8-9]中的相關結論進行了推廣.上述文獻都是利用B-(p,r)不變凸函數，研究相應的規劃問題，沒有對B-(p,r)不變凸函數進行推廣.極大極小分式規劃是凸規劃里的一個重要研究內容，如文獻[8-11]中利用不同的凸函數研究了相應極大極小分式規劃問題最優性和對偶性問題.在上述文章的基礎上，定義了一類新的廣義凸函數：B-(p,r,a)不變凸函數、B-(p,r,a)不變擬凸函數、B-(p,r,a)不變偽凸函數，這些函數是對B-(p,r)不變凸函數的重要推廣，并用這些函數研究了極大極小分式規劃問題，在更弱的凸性下，對文獻[8-11]中的相關結論進行了更大的推廣，得到了一些重要結果.

1 基本定義

實值函數f:Rn→R是局部Lipschitz的，若對任意x∈Rn，存在一個正數k和x的鄰域N()x，對任意y,z∈N(x)，使得‖f(y)-f(z)‖ ≤k‖y-z‖.

若函數f為局部Lipschitz的，那么函數f:X→R在x沿方向d的Clarke廣義方向導數和Clarke廣義方向梯度分別定義為：

定義1設非空開集X?Rn,f:X→R是X上的Lipschitz函數，p,r是任意非零實數，u∈X,若?x∈X，存在向量函數η:X×X→Rn，函數b:X×X→R+，a:X×X→R，使得對?ξ∈?f(u)有：

成立，則稱f在u點為關于函數η的B-(p,r,a)不變凸函數.

定義2設非空開集X?Rn,f:X→R是X上的Lipschitz函數，p,r是任意非零實數，u∈X,若?x∈X，存在向量函數η:X×X→Rn，函數b:X×X→R+，a:X×X→R，使得對?ξ∈?f(u)有：

成立，則稱f在u點為關于函數η的B-(p,r,a)不變擬凸函數.

定義3設非空開集X?Rn,f:X→R是X上的Lipschitz函數，p,r是任意非零實數，u∈X,若?x∈X，存在向量函數η:X×X→Rn，函數b:X×X→R+，a:X×X→R，使得對?ξ∈?f(u)有：

成立，則稱f在u點為關于函數η的B-(p,r,a)不變偽凸函數.

2 對偶性

考慮如下的分式規劃問題：

其中:x∈D?Rn，Y是Rm中的緊子集，f(.,.):Rn×Rm→R是Lipschitz函數且f(x,y) ≥0，h(.,.):Rn×Rm→R是Lipschitz函數，h(x,y) ＞0，g(.):Rn→Rp是 Lipschitz函數.J={1,2,…,q}，

K=現提出如下Mond-Weir對偶問題

這里H(s,λ,μ,y)表示滿足條件(1)～(3)的 (z,λ,μ,y)的集合，如果H(s,λ,μ,y)是空集，則規定它的上確界為-∞.

定理1（弱對偶定理）假設

1)x,(z,s,λ,μ,yˉ)分別是（P），(FD)的可行解；

3)b0(x,z)＞0,b1(x,z)＞0 且a(x,z)+c(x,z)≥0,則

定理 1 的證明因為x,(z,s,λ,μ,yˉ)分別是（P），(FD)的可行解，所以有又b1(

x,z)＞0故有

定理2（強對偶定理）假設

1)x0是（P）的最優解，?gj(x0),j∈J(x0)線性無關，(z,s,λ,μ,yˉ)是(FD)的最優解；

2)?(x)=在z處為關于函數η,b0的B-( )p,r,a不變偽凸函數，在z處為關于函數η,b1的B-( )p,r,a不變凸函數；

3)b0(x,z)＞0,b1(x,z)＞0且a(x,z)+c(x,z)≥0.則（P）和(FD)的最優值相等.

證明類似于文獻[6]中定理3的證明.

定理3（嚴格逆對偶定理）假設

1)x0是（P）的最優解，?gj(x0),j∈J(x0)線性無關，(z,s,λ,μ,yˉ)是(FD)的最優解；

2)?(x)=在z處為關于函數η,b0的B-( )p,r,a不變凸函數，在z處為關于函數η,b1的B-(p,r,a)不變擬凸函數；

3)b0(x,z)＞0,b1(x,z)＞0且a(x,z)+c(x,z)＞0.

則x0=z，即z也是（P）的最優解.

定理3的證明假設由于x0≠z,則由定理2可得（P）和(FD)的最優值相等.

又在z處為關于函數η，b1的B-( )p,r,a不變擬凸函數，故?τj∈?gj(z),使得

由（5-6）式和a(x,z)+c(x,z)≥0，可得

又?(x)=在z處為關于函數η，b0的B-( )p,r,a不變凸函數，故

即有

于是存在i0，使得故有

而這與定理2結論矛盾.

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