后方交會技術在實際工作中的應用

商 博

（河南省水利勘測有限公司，河南 鄭州 450003）

·礦業與水利工程·

后方交會技術在實際工作中的應用

商 博

（河南省水利勘測有限公司，河南 鄭州 450003）

本文分析了采用正弦定理解算三角形時出現無解和兩解的情況，并從現場實際情況得出結論，凡是現場構成三角形的情況，采用正弦定理解算，除非測量數據有誤，都會有解，不會出現無解的情況。對邊角后方交會出現無解和多解的情況進行了分析，提出了解決問題的辦法。

邊角后方交會；坐標改正；正弦定律（Sine law）；半角公式；布設控制點

1　后方交會的方法和技術流程

后方交會按測量方法劃分可分為測角后方交會、測邊后方交會和邊角后方交會。按多余條件數劃分，可分為沒有多余條件的后方交會、有一個多余條件的后方交會和有兩個多余條件的后方交會。

1.1測角后方交會

測角后方交會是傳統的后方交會。即在未知點上擺站，分別觀測三個以上已知點的方向角值，即可求出未知點p的平面坐標。如果多觀測一個方向，則可計算出另一套p點坐標，通常情況下，觀測4個方向。

1.2測邊后方交會

測邊后方交會實際就是測邊三角形，因目前多有全站儀測量，實際中單純測邊三角形較少，邊角后方交會較多。測邊后方交會至少需要觀測兩個已知點的距離。

1.3邊角后方交會

邊角后方交會實際中應用較多，至少需要兩個已知點，觀測一邊一角就可以計算出p點的坐標。但有時會出現兩個解。觀測三個以上已知點的邊角后方交會，精度可以明顯提高，但計算較為復雜。目前多數是觀測兩個已知點，再觀測一個已知點作為方向檢查。

2　三角學中關于已知兩邊和其中一邊對角的三角形解的結論

在三角學中，還特別注明：采用正弦定理解三角形時，要先進行解的討論。在兩個已知點，觀測一邊、一角時，恰好必須采用正弦定理。有許多測量人員對于上述結論感到為難，在全站儀自帶程序中，就不利用此方法。

有些施工單位為了簡單、方便，編程時就采用了a＞b時只有一解的情況，在圖3-1中，必須使AP＜AB。

圖1　三角形解的結論

3　采用正弦定理解三角形出現無解的問題

3.1正弦定理解算三角形出現無解的三種情形

表1　兩邊和其中一邊對角的三角形解的結論

由于三角學中有用正弦定理解算三角形會出現無解的結論，使得采用邊角后方交會的測量人員產生很大的顧忌，什么情況下會出現無解？以下來討論正弦定理解算三角形出現無解的三種情形：

當∠A≥90o時，若a=b，無解。這種情況是：當∠A≥90o時，因三角形內角和等于180o，∠A為該三角形中的最大角，在三角形中，有一個公理：大邊對大角或大角對大邊。那么大角∠A所對的邊a必大于其他邊，出現a=b的現象是不可能的。因此出現了這種情況，違反了大角對大邊的公理，此時三角形無解。

當A≥90o時，若a＜b，無解。同理，當A≥90o時，若a＜b時，三角形不可能有解。當A＜90o時，若a＜b.Sin A時，無解。此種情況的結果如圖2。

圖2　三角形解的結論

若a＜b.Sin A，按照正弦定理.Sin B=b.Sin A/a按照本式求出的SinB大于1，這是違背常理的，因此，此時三角形無解。綜上所述，所謂用正弦定理結算三角形無解的情況是：所給的條件不能組成三角形，因此解算三角形無解。

3.2現場測量時會不會出現無解的情況

在現場測量時，現場已知點與交會點構成的三角形是客觀存在的三角形，不會存在構不成三角形的情況。如果構不成三角形，測量人員根本不會去測。因此，凡是現場構成三角形的情況，采用正弦定理解算，除非測量數據有誤，都會有解，不會出現無解的情況［1］。

3.3采用正弦定理出現兩解情況的討論

3.3.1出現兩解的情況是經常發生的，原因如下：采用正弦定理的基本公式為：

圖3　采用正弦定理出現兩解情況的討論

因此，利用正弦定理求出的B角就可能為銳角或鈍角，即：B角有可能是銳角B或鈍角（180o-B），目前溪洛渡水電站各施工單位所編程序中求出的都是銳角，程序在應用時要求的條件是：觀測邊小于兩個已知點之間的長度。這限制了邊角后方交會應用。

3.3.2實際中產生兩解的圖形

圖4　采用正弦定理出現兩解情況的討論

圖4中，△ABP為實地的三角形，P點為后方交會點，∠ABP為鈍角（大于90o），采用公式

計算出的∠B小于90o，按照此計算角計算出的坐標為圖中的P′坐標，而非P點坐標。產生這樣后果的原因從圖中可以看出，過A、B、P作一輔助園，從A點量出AP，以A為圓心，以AP長為半徑，劃弧與園ABP相交于另一點P′，那么△ABP′完全符合觀測條件：

因此，在有兩個已知點，觀測一邊一角的情況下，會產生兩個解。

3.4實踐中怎樣解決兩解的問題

邊角后方交會中，如采用正弦定理解算三角形，就會有兩個解。實際中只有一個解是符合現場地形的，那么怎么選擇其中的一個呢？

目前常用的方法是在選擇P點位置時，保證觀測邊小于兩個已知點之間的長度。即如圖中所示的現場選點時，保證在此情況下，∠B必為銳角。

道理是這樣的，如果PA＜AB，則根據三角形中大邊對大角的公理，則∠P必大于∠A，如果∠B大于90o，則∠P更大于90o，一個△內不可能出現兩個鈍角，因此∠B必為銳角。現場判斷，如∠P為鈍角，則∠B必為銳角。多測一條邊，利用三邊解三角形，求出的角度是唯一的，不會出現兩解的情況。

4　工程實例和試驗分析

4.1在已知點和后視點不通視時的測量中的應用

在工程測量中，我們經常遇到已知點和后視點中間有障礙物遮擋，互不通視的情況。南水北調中線定線測量中就經常遇到這樣的情形，現場沒有其他的控制點，到別處引點需要幾公里甚至十幾公里，造成了很多麻煩。這時我就采用了在兩點之間選擇一個新的點，新點與原來的兩個點通視。用邊角后方交會的方法在現場計算出新點的坐標。根據新點的坐標和反算出的新點到原有點的方位角，即可進行導線、放樣等測量，發揮了很好的作用。

4.2在一般地形測量的圖根控制中的應用

地形測量的圖根控制點一般要求精度不高，在控制點相對較少且施測區域距離控制點較遠時，可以采用兩點邊角后方交會來完成圖根控制點的布設，可同時觀測到多個控制點時，可采用多點后方交會布設圖根控制點，測圖效率大大提高。

4.3在豎井測量中的應用

在井下導線測量中，由于井下狹窄黑暗，導線測量十分困難，加之設備車輛運輸等諸多干擾因素，或使導線點無法安置儀器，或者點與點間因障礙物存在而不通視等原因使作業時無法按常規方法及時導線測量，采用交會傳遞方法測量方法介紹如下：

在兩個已知點附近安置儀器，直接整平安置儀器，觀測有關角度及邊長。如圖5所示，

圖5　井下導線測量

A、B為已知導線點，按正常的導線測量，儀器安置在B點觀測一個水平角和一條邊，即可求出D點坐標。但因B點無法架設儀器，此時在B點附近任意點安置儀器整平后進行觀測a、b、β及S，或觀測a、β、a、S，即可求解D點坐標。

圖6　井下導線測量

上圖視井下施工測量經常遇到的實際問題。水平巷道布設導線點A、B，在天井施工中必須建立一控制點D，按常規的方法，需施測兩站導線才能求得D點坐標。為了減少測站數，加快施工導線的前進速度，可采用邊角交會的方法。其計算待求點D的方法如下：首先根據各觀測元素按交會的方法推算C點的坐標，根據導線的方法計算D點坐標，推算公式略。

為了確定最佳圖形，在選點時應使β、a均在90°附近，且b邊的邊長越長越有利。

4.4在大壩混凝土澆筑時的控制與放樣測量中的應用

三峽二期工程泄洪壩段共分22個壩段，高程從20米到185米，結構復雜，各種埋件精度要求高，由于采用了塔帶機等新型澆筑設備，施工強度大，施工進度快，傳統的放樣方法已經不能滿足施工要求。經過探索，葛洲壩測繪總隊應用和推廣了邊角后方交會技術。具體方法如下：

首先在大壩上下游圍堰上加密一定數量的施工控制點，保證在大壩上每個部位都有足夠的控制點可以觀測，其次在作業時，派一名作業人員在控制點上設置基座棱鏡，大壩上各個倉位的測量員直接測定邊長和高差，并且以該點為起始方向，測定到另外兩個較遠控制點的水平角。然后根據觀測值計出兩組坐標，比較差值后取平均值作為測站點坐標，設站時用第四方向作為后視，檢查鏡站坐標無誤后開始倉內測量放樣。

5　結語

邊角后方交會的出現首先是生產的需要，后方交會在現實的工作中被廣泛的應用，靈活的運用可以大大的提高工作效率，收到更好的經濟效益。

［1］賀國宏.橋隧控制測量［M］.北京：人民交通出版社，1998.

Application of Resection Techniquein Practical Work

Shang Bo
（Henan Provincial Water Conservancy Survey Co.Ltd.，Zhengzhou Henan 450003）

This paper analyzes the situation of no solution and two solutions appeared when using sine theorem for the calculation of triangles，and draws conclusions from the actual situation at the scene，the scene usually constitute a triangle，the sine theorem of the solution，that unless there is an error in the measured data，there will be a solution when calculated by sine theorem.The situations of side angle resection without solutions and multiple solutions are analyzed，and a solution to the problem is put forward.

side angle resection；coordinate correction；sine law；half angle formula；layout control point

P231.5

A

1003-5168（2015）12-0057-3

2015-12-5

商博（1980.9-），男，研究方向：GPS衛星定位技術在實際工作中的應用及工作中注意的問題。