單自由度非彈性結(jié)構(gòu)基于損傷性能的設(shè)計(jì)地震載荷

陳莉莉

【摘 要】本文建立了一非彈性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)地震載荷建模新框架。假定僅在指定點(diǎn)有強(qiáng)地面運(yùn)動(dòng)的有限信息。利用非線性優(yōu)化技術(shù)，通過(guò)求解動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題估算設(shè)計(jì)地面加速度。本文還介紹了基于能量概念和損傷指標(biāo)的結(jié)構(gòu)性能測(cè)定方法，尤其是通過(guò)Park和Ang損傷指標(biāo)將結(jié)構(gòu)性能量化。損傷指標(biāo)說(shuō)明結(jié)構(gòu)損傷是受到重復(fù)逆向應(yīng)力和高壓偏移的共同影響所致。

【關(guān)鍵詞】設(shè)計(jì)地震載荷 輸入能 非彈性結(jié)構(gòu) 滯回耗能 損傷指數(shù)

對(duì)結(jié)構(gòu)抗震性能的評(píng)估是地震工程領(lǐng)域的一重要問(wèn)題。結(jié)構(gòu)工程師的基本目標(biāo)是設(shè)計(jì)出能抵御地震且經(jīng)濟(jì)又實(shí)用的工程結(jié)構(gòu)。要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，應(yīng)滿足如下條件：（1）現(xiàn)場(chǎng)地動(dòng)的可靠定義，（2）材料特性的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，以及（3）能準(zhǔn)確表述地震載荷下結(jié)構(gòu)損傷的有效描述符。

幾十年來(lái)，結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)一直是一活躍的研究領(lǐng)域。早期的研究成果從現(xiàn)場(chǎng)彈性和非彈性設(shè)計(jì)反應(yīng)譜角度確定地震載荷，確定地表加速度時(shí)程，或采用隨機(jī)振動(dòng)理論。許多研究者還建立了危險(xiǎn)反應(yīng)譜。其它研究人員也進(jìn)行了一些關(guān)于數(shù)學(xué)模型的研究，用以描述地震時(shí)結(jié)構(gòu)的滯回非線性特性。然而，在近些年的地震中發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的性能無(wú)法滿足抗震需求，這就激發(fā)研究人員開(kāi)始尋求新的抗震設(shè)計(jì)方法以完善現(xiàn)有方法。這包括新的設(shè)計(jì)理念，如基于震能的設(shè)計(jì)，基于性能的設(shè)計(jì)以及阻尼器最佳布位的抗震設(shè)計(jì)。

本文建立一新框架，通過(guò)臨界激勵(lì)法，為結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)明確可靠的設(shè)計(jì)地震載荷。這種方法有賴于地震發(fā)生和地震特征的高度不確定性（如時(shí)間、地點(diǎn)、震級(jí)、時(shí)程、頻譜及振幅），同時(shí)也取決于重要結(jié)構(gòu)和生命線結(jié)構(gòu)的安全要求（如核電廠、儲(chǔ)油罐和工業(yè)設(shè)施）。既有文獻(xiàn)中關(guān)于非線性結(jié)構(gòu)的臨界地震建模資料有限。德瑞尼克和艾揚(yáng)格就該問(wèn)題提出了早期的研究思路。艾揚(yáng)格（1972年）通過(guò)限制輸入能量來(lái)計(jì)算非線性杜芬振蕩器的臨界地震輸入值。德瑞尼克（1977年）從線性化系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)角度推導(dǎo)出非線性系統(tǒng)的臨界激勵(lì)值。菲利帕科普洛斯和王（1984年）將臨界輸入值表述為記錄加速度圖的線性求和，并確立了現(xiàn)場(chǎng)臨界非彈性反應(yīng)譜。但這一系列方法都是值得商榷的。威斯特摩（1985年）用變分法展示了彈塑性系統(tǒng)的臨界輸入值并不和諧一致。近來(lái)，塔凱瓦琦（2001年）通過(guò)等效線性化方法估測(cè)彈塑性結(jié)構(gòu)的臨界概率性地震，將層間位移最大化。阿巴斯（2006年）通過(guò)將延性比最大化推導(dǎo)非彈性結(jié)構(gòu)的臨界地震載荷。同樣，通過(guò)一次二階矩法（FORM）和響應(yīng)面近似法計(jì)算臨界概率性地震，應(yīng)用于非彈性結(jié)構(gòu)和參數(shù)激勵(lì)結(jié)構(gòu)。

從上可知，大多數(shù)前述的研究工作或僅停留在概念層面，在表現(xiàn)地動(dòng)或在計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)采用近似法，或是以單個(gè)響應(yīng)參數(shù)的最大值為基礎(chǔ)。本文避免采用近似法，而是通過(guò)引入結(jié)構(gòu)損害的先進(jìn)測(cè)算方法得出非彈性結(jié)構(gòu)的可靠地震載荷。通過(guò)Park和Ang損傷指標(biāo)來(lái)量化結(jié)構(gòu)性能，從而得到結(jié)構(gòu)損害和必要修復(fù)的定量方法。

1 地震載荷下非彈性結(jié)構(gòu)的反應(yīng)及損傷表征

本節(jié)簡(jiǎn)要闡述了地震載荷下單自由度（SDOF）非彈性結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析和震能的量化，進(jìn)而對(duì)損傷指標(biāo)形成過(guò)程中非彈性反應(yīng)參數(shù)的運(yùn)用以及結(jié)構(gòu)所吸收的震能予以說(shuō)明。

1.1 非彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析

地震加速度單組分條件下，非線性SDOF結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，m和c分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和阻尼系數(shù)；為彈性滯回恢復(fù)力；為結(jié)構(gòu)位移，點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的微分。圖1表述了雙線性和彈塑性材料非彈性變形與彈性滯回力間的關(guān)系。等式（1）可改寫(xiě)為：

其中，和為屈服前阻尼比和自然頻率；為屈服位移；為標(biāo)準(zhǔn)化滯回力。等式（2）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成：

圖1：非線性材料的力-位移關(guān)系：（a）雙線性模型；（b）彈塑模型

其中等于為延性比；等于為常數(shù)，可解釋為產(chǎn)生屈服力所必須的質(zhì)量加速度值。非彈性SDOF結(jié)構(gòu)的反應(yīng)值可通過(guò)離散時(shí)間點(diǎn)數(shù)值積分求解等式（1）和（3）的增量形式得出。本研究中，我們使用紐馬克β-法。對(duì)于雙線性性能，通過(guò)遞次求近法彌補(bǔ)上一步用割線剛度近似法產(chǎn)生的不足。下節(jié)中，我們將闡述地震輸入能量及相關(guān)的結(jié)構(gòu)耗散能量的量化。

1.2 地震輸入能量和非彈性結(jié)構(gòu)耗散的能量

SDOF非彈性結(jié)構(gòu)的能量平衡可通過(guò)相對(duì)速度乘以等式（1）然后積分獲得，從而得出：

等式（4a）和（4b）代表相對(duì)能量項(xiàng)。式中，是地震給予結(jié)構(gòu)的相對(duì)輸入能量，因?yàn)榈卣鸾Y(jié)束前地表均在震動(dòng)。為相對(duì)動(dòng)能（等于），是阻尼物質(zhì)吸收的能量。能量代表彈性結(jié)構(gòu)吸收的總相對(duì)能量，包括可恢復(fù)彈性能量和滯回累計(jì)塑性能量。

地震結(jié)束時(shí)，動(dòng)能和彈性應(yīng)變能消失。因此，結(jié)構(gòu)承受的地震輸入能量通過(guò)滯回和阻尼能量形式耗散。下節(jié)將闡述如何運(yùn)用反應(yīng)參數(shù)和塑性能量確立損傷指標(biāo)。

2 利用損傷指標(biāo)進(jìn)行非彈性結(jié)構(gòu)安全評(píng)估

地動(dòng)下結(jié)構(gòu)損傷測(cè)試法的研究文獻(xiàn)頗多。損傷指標(biāo)基于單個(gè)或多個(gè)結(jié)構(gòu)反應(yīng)參數(shù)組合而得出。表1以單個(gè)反應(yīng)參數(shù)為基礎(chǔ)，總結(jié)了多個(gè)損傷測(cè)量方法（鮑威爾和阿拉哈巴迪，1988年；科森扎等人，1993年）。方法一指出在地震過(guò)程中產(chǎn)生的極限延展性。顯然，這種方法未能體現(xiàn)地震輸入能量如何作用于結(jié)構(gòu)或能量如何耗散。地震損傷的產(chǎn)生不僅取決于最大變形或延展性，也和結(jié)構(gòu)耗散的滯回能量有關(guān)。基于延展性系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行定義是不全面的。最后三種方法表明地震輸入能量作用于結(jié)構(gòu)的速率（如地震以多快速度作用于結(jié)構(gòu)，又以多快速度耗散）。通過(guò)把地震的反應(yīng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)承載能力進(jìn)行比較可以估算損傷指標(biāo)。鮑威爾和阿拉哈巴迪（1988年）從地震時(shí)獲得的極限延展性（能力）μu和最大延性角度提出了損傷指標(biāo)μmax：

但不包括滯回能量耗散產(chǎn)生的影響。科森扎等人（1993年）和法亞爾（1992年）基于結(jié)構(gòu)滯回能量提出了一個(gè)損傷指標(biāo)：

可靠的損傷測(cè)量方法應(yīng)不僅包括最大反應(yīng)值，還應(yīng)包括反復(fù)循環(huán)載荷產(chǎn)生的影響。帕克和其工作人員得出一個(gè)簡(jiǎn)單的損傷指標(biāo)，即（帕克等人，1985年；帕克和安，1985年； 帕克等人，1987年）：

式中，和為地震時(shí)的最大位移和耗散滯回能量（不含彈性能量）。注意，是地動(dòng)下位移反應(yīng)的最大絕對(duì)值，是簡(jiǎn)單負(fù)荷下的極限變形能力，β是正常數(shù)，加權(quán)周期負(fù)荷對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的影響。若β=0，周期負(fù)荷對(duì)的影響可忽略。結(jié)構(gòu)損傷的狀態(tài)可定義為（a）當(dāng)< 0：40，可修復(fù)損傷，（b）當(dāng)0：40 ≤ < 1：0，無(wú)法修復(fù)，和（c）當(dāng) ≥ 1：0，完全或全部倒塌。這些標(biāo)準(zhǔn)通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和地震過(guò)程中的實(shí)地觀測(cè)對(duì)的校準(zhǔn)得出（Park等人，1987）。Park和Ang損傷指標(biāo)顯示，最大延展性和滯回能量耗散均能影響地動(dòng)下的結(jié)構(gòu)抗震性。在等式（7）中，損傷表示為過(guò)度變形造成的損害與重復(fù)循環(huán)負(fù)荷的影響的線性組合。同時(shí)，量數(shù)取決于負(fù)載史，而量數(shù)則不受其影響，由實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果決定。本文中我們采用Park和Ang損傷指標(biāo)導(dǎo)出設(shè)計(jì)地震載荷。下節(jié)中我們將對(duì)此進(jìn)行闡述。

3 非彈性結(jié)構(gòu)基于損傷性能的設(shè)計(jì)地震載荷

本節(jié)將討論SDOF非彈性結(jié)構(gòu)的臨界地震載荷的推導(dǎo)過(guò)程。地表加速度表示為一傅里葉級(jí)數(shù)和一包絡(luò)函數(shù)：

式中，A0為度量常數(shù)，參數(shù)α1， α2賦予瞬時(shí)屬性。接下來(lái)，和分別是兩的未知振幅和相位角。為地表加速度中出現(xiàn)的頻率，用以提供符合要求的頻率范圍。在構(gòu)建臨界地震輸入值時(shí)，包絡(luò)函數(shù)視為完全已知。能量E，峰值地表加速度（PGA）M1，峰值地表速度（PGV）M2， 峰值地表位移（PGD）M3，傅里葉振幅譜上限（UBFAS） ，傅里葉振幅譜下限（LBFAS）均為已知，具備上述條件就可定義約束方程如下（阿巴斯和馬諾哈爾2002年；阿巴斯2006年）：

式中，為的傅里葉變型。地震能量約束方程與阿里亞斯強(qiáng)度（阿里亞斯，1970年）有關(guān)。UBFAS約束和LBFAS約束用以復(fù)制地震設(shè)計(jì)載荷現(xiàn)有加速圖中觀測(cè)到的頻譜和振幅。式（8）中的地表速度和位移值可通過(guò)如下等式得出：

利用條件和（筱冢健次郎和亨利，1965年），上述等式中的常量可表示為（阿巴斯和馬諾哈爾，2002年；阿巴斯，2006年）：

等式（9）中的約束也可通過(guò)變量表示為：

式中i等于。為量化約束量E，M1，M2，M3，和，假定現(xiàn)有一組表示為的Nr個(gè)可用于現(xiàn)場(chǎng)研究的地震記錄或是從具有類(lèi)似地質(zhì)土壤結(jié)構(gòu)的其它現(xiàn)場(chǎng)獲得的記錄。從每個(gè)記錄中都能獲取能量值，PGA，PGV和PGD。所有記錄中的最高值定義E，M1，M2和M3。經(jīng)過(guò)對(duì)現(xiàn)有記錄的進(jìn)一步歸一，每個(gè)記錄的阿里亞斯強(qiáng)度設(shè)定為統(tǒng)一值（如等于1，阿里亞斯1970年），表示為。界限值和為：

式中，表示第i次歸一加速度圖的傅里葉變型。界限值在先前的研究中有被考慮（筱冢健次郎，1970年；塔克瓦伊，2001年；2002年）。穆斯塔法（2002年）和阿巴斯和馬諾哈爾 （2002年）對(duì)下限值也有所研究。

最終得出非彈性結(jié)構(gòu)的臨界地震載荷的推導(dǎo)關(guān)鍵在于優(yōu)化變量的確定，進(jìn)而通過(guò)約束方程（12）將最大化。非線性約束方程的優(yōu)化問(wèn)題可通過(guò)序列二次規(guī)劃法解決（阿羅拉，2004年）。采用如下收斂性判別準(zhǔn)則：

式中，f j為第j次迭代的目標(biāo)函數(shù)；為第j次迭代的優(yōu)化變量；ε1， ε2為需指定的小量。通過(guò)紐馬克β-法在優(yōu)化程序內(nèi)部建立子程序，實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)非彈性變形估測(cè)。

量數(shù)和不同時(shí)達(dá)到各自最大值。因此，在時(shí)間離散點(diǎn)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，最優(yōu)解是所有時(shí)間點(diǎn)過(guò)程中產(chǎn)生最大的情況。臨界地震載荷的特征表現(xiàn)為臨界加速度和相關(guān)損傷指標(biāo)，非彈性變形以及結(jié)構(gòu)耗散的能量。

數(shù)值分析中，約束量E，M1，M2，M3，和通過(guò)原有地震數(shù)據(jù)來(lái)估測(cè)。這些量數(shù)為原有地動(dòng)記錄組相關(guān)參數(shù)的極值。這些參數(shù)定義了能量、PGA、PGV、PGD以及研究現(xiàn)場(chǎng)或與其具有類(lèi)似地質(zhì)土壤結(jié)構(gòu)的其它現(xiàn)場(chǎng)的原有地動(dòng)記錄的傅里葉振幅譜的上下限。該方法與工程師通常使用的地動(dòng)模型類(lèi)似，主要旨在復(fù)制某些地動(dòng)的整體特征，如振幅、頻譜、非平穩(wěn)趨勢(shì)、土壤放大效應(yīng)和持續(xù)時(shí)間。現(xiàn)有文獻(xiàn)研究中已建立將斷裂尺度、斷層方位、破裂速度、震級(jí)、衰減、應(yīng)力下降、居間媒質(zhì)密度、當(dāng)?shù)赝寥罈l件和震中距等因素考慮在內(nèi)的預(yù)測(cè)或物理模型，這些多為地震學(xué)家的研究成果（參見(jiàn)布龍，1970年；漢克斯和麥圭爾，1981年；布爾，1983年；奎克等，1990年）。使用這些模型時(shí)，需要對(duì)大量參數(shù)賦值，模型是否成功取決于賦值的真實(shí)性。在最新一類(lèi)模型的基礎(chǔ)上是有可能構(gòu)建最優(yōu)地震模型的，通過(guò)優(yōu)化模型參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)最不利條件。在臨界激勵(lì)確定過(guò)程中，容許函數(shù)受到物理模型選擇的進(jìn)一步約束。在此意義上，本文使用的方法在本質(zhì)上是非參數(shù)性。將基于本方法獲取的結(jié)果與“模型法”取得的結(jié)果相比較還是有意義的。但這些問(wèn)題在目前研究中未作考慮。

4 結(jié)語(yǔ)

本文闡述了一種在地震數(shù)據(jù)有限情況下，用現(xiàn)場(chǎng)非彈性結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)輸入值將地動(dòng)具體化方法。引入新的損害描述符來(lái)推導(dǎo)最優(yōu)地震載荷。尤其是通過(guò)Park和Ang損傷指標(biāo)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行量化。損傷指標(biāo)是結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)量化描述的數(shù)學(xué)模型，與地震時(shí)的實(shí)際損傷密切相關(guān)。以損傷指標(biāo)量化結(jié)構(gòu)損傷對(duì)于非彈性結(jié)構(gòu)臨界地震載荷的推導(dǎo)是極為重要的。這是因?yàn)閾p傷指標(biāo)潛在表明，結(jié)構(gòu)損傷由重復(fù)的應(yīng)力反轉(zhuǎn)和高壓偏移共同造成。通過(guò)損傷指標(biāo)量化結(jié)構(gòu)損傷使得結(jié)構(gòu)的安全評(píng)估成為可能，同時(shí)為必要的修復(fù)提供了思路。設(shè)計(jì)地震值是通過(guò)反向動(dòng)力學(xué)分析和非線性優(yōu)化法在現(xiàn)有信息的基礎(chǔ)上估算出的。可以看出，若有關(guān)能量和PGA的信息有限，對(duì)應(yīng)的地震就共振強(qiáng)度大并會(huì)產(chǎn)生保守變形。不過(guò)，如有傅里葉振幅譜的相關(guān)信息，通過(guò)頻譜、振幅、非彈性變形和損傷指標(biāo)等就能獲得更可靠的地震值。本文研究應(yīng)變硬化和阻尼系數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)載荷的影響的同時(shí)，建立了現(xiàn)場(chǎng)臨界損傷譜。這些損傷譜給出了未來(lái)地震中結(jié)構(gòu)損傷的上限和必要修復(fù)。本文的論述用于SDOF系統(tǒng)建模的框架結(jié)構(gòu)。上述方法在MDOF結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用目前仍有待研究。此情況下結(jié)構(gòu)的整體損傷指標(biāo)是通過(guò)個(gè)體結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)的加權(quán)函數(shù)來(lái)定義的。