整體最小二乘理論發(fā)展及其在測(cè)量中的應(yīng)用

艾強(qiáng) 曾春琴 仉明坤

【摘 要】經(jīng)典的測(cè)量數(shù)據(jù)處理大多以最小二乘法為估計(jì)準(zhǔn)則，但是隨著測(cè)量?jī)x器精度的提高，測(cè)量數(shù)據(jù)處理的模型誤差已經(jīng)不能忽略了。由于儀器、觀測(cè)人員以及環(huán)境等因素影響，這些隨機(jī)元素都包含有測(cè)量誤差，系數(shù)矩陣就變成了包含測(cè)量誤差的變量矩陣。如何解決好系數(shù)陣和觀測(cè)向量同時(shí)受高斯噪聲干擾的測(cè)量EIV模型成為了研究熱點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】測(cè)量數(shù)據(jù)處理 誤差模型 整體最小二乘

1整體最小二乘原理

針對(duì)觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣同時(shí)包含誤差的模型，許多學(xué)者提出了有效的解決思路，最后由Golub和Van Loan對(duì)其進(jìn)行歸納總結(jié)，提出并稱之為整體最小二乘法（TLS）。該方法是最小二乘法的補(bǔ)充和延伸，與最小二乘法相似但不相同。

我們用直線擬合的模型來(lái)探討整體最小二乘的原理并與最小二乘法作比較，整體最小二乘法既要考慮設(shè)計(jì)矩陣的誤差，又要考慮觀測(cè)向量的誤差，于是直線方程可改寫(xiě)為，其中，為參數(shù)a，b的估值，為橫坐標(biāo)的真值，e為橫坐標(biāo)x的觀測(cè)誤差。則直線方程可改寫(xiě)為，式中。按整體最小二乘法的原理，在保證系數(shù)陣的殘差與觀測(cè)值的殘差的二范數(shù)之和達(dá)到最小的條件下，仿照最小二乘的估計(jì)準(zhǔn)則，求解出參數(shù)a，b的估值。即

在運(yùn)算準(zhǔn)則上，最小二乘法對(duì)觀測(cè)量的誤差平方和進(jìn)行最小化約束，而整體最小二乘法則要求系數(shù)矩陣的誤差平方和與觀測(cè)值向量的殘差平方和兩者之和達(dá)到最小。它們之間的理論差異可以從如下的幾何圖形看出：

（1）LS（僅考慮y的誤差） （2）LS（僅考慮x的誤差） （3）TLS（同時(shí)考慮x，y的誤差）

圖（1）和（2）反映了最小二乘法的幾何意義：分別只考慮了觀測(cè)向量x、y的誤差，圖（3）則反映了整體最小二乘法的幾何意義：同時(shí)考慮x和y兩者的誤差，在兩者殘差平方和最小時(shí)求出。

Golub 和Van Loan提出了整體最小二乘法理論，并用奇異值分解方法（SVD）進(jìn)行解算。

2整體最小二乘分類

（1）混合最小二乘。同時(shí)改正系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的誤差是整體最小二乘的基本思想，而在有些情況下，比如在直線（曲面）擬合、直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等模型中系數(shù)矩陣的某些固定元素不需要修正。所以，應(yīng)區(qū)別對(duì)待不同的設(shè)計(jì)矩陣，分別采取LS法和TLS法求解相應(yīng)的參數(shù)，這種處理方法簡(jiǎn)稱混合最小二乘。

（2）多元整體最小二乘（MTLS）。在一些EIV模型中系數(shù)矩陣的某些元素重復(fù)出現(xiàn)，而且可以將方程組的觀測(cè)向量轉(zhuǎn)換為含有兩列以上的觀測(cè)值矩陣的形式。有學(xué)者提出了多元整體最小二乘法（MTLS），把觀測(cè)向量合理分割成幾列，避免了隨機(jī)元素重復(fù)出現(xiàn)，減弱了隨機(jī)元素間的相關(guān)性對(duì)解算結(jié)果的影響。

（3）加權(quán)整體最小二乘（WTLS）。普通整體最小二乘法將系數(shù)矩陣的所有元素進(jìn)行改正，混合最小二乘法則區(qū)別對(duì)待系數(shù)矩陣的不同列。但兩種方法都假設(shè)觀測(cè)值等權(quán)，觀測(cè)向量、設(shè)計(jì)矩陣兩者的權(quán)陣均為單位陣。然而系數(shù)陣的常數(shù)元素以列與隨機(jī)元素的形式出現(xiàn)，而且很多情況下觀測(cè)值的精度是不同的。用普通的整體最小二乘法、混合最小二乘法、多元整體最小二乘法都有不足，所以就產(chǎn)生了加權(quán)整體最小二乘法。WTLS通過(guò)加入系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的權(quán)陣，可以考慮隨機(jī)元素的精度和固定系數(shù)矩陣中所有不含誤差的常數(shù)元素。

（4）附有約束條件的加權(quán)整體最小二乘。在測(cè)量數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，可能會(huì)遇到所選未知數(shù)個(gè)數(shù)多于必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，且選取的u個(gè)參數(shù)中，有n個(gè)相互獨(dú)立，有s=u-n個(gè)限制條件。數(shù)據(jù)處理時(shí)必須列出n個(gè)觀測(cè)方程和s個(gè)限制參數(shù)間關(guān)系的條件方程才能求得唯一的參數(shù)估值。

（5）改進(jìn)的加權(quán)整體最小二乘（IWTLS）。將整體最小二乘法引入測(cè)量數(shù)據(jù)處理后，在用整體最小二乘法解算直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)系數(shù)矩陣中有不需要修正的常數(shù)，還存在某些隨機(jī)元素重復(fù)出現(xiàn)的問(wèn)題，重復(fù)元素之間肯定存在相關(guān)性。利用Vahid Mahboub提出的協(xié)方差陣構(gòu)造方法，使得重復(fù)元素的改正數(shù)相等，改進(jìn)原有的加權(quán)整體最小二乘法。

3整體最小二乘在測(cè)量中的應(yīng)用

作為一種新的數(shù)據(jù)處理方法，整體最小二乘法很快引起了測(cè)繪學(xué)者的關(guān)注。Davis在赫爾默特變換的基礎(chǔ)上利用整體最小二乘法分析了土木工程設(shè)計(jì)中常用的擬合方法。Yavuz等在電離層層析成像研究中，利用整體最小二乘法對(duì)電離層電子密度進(jìn)行反演，與傳統(tǒng)的正則化最小二乘法相比，反演計(jì)算的復(fù)雜性和圖像重構(gòu)誤差都得到了一定程度的改善。Richard和Branham把整體最小二乘法作為天文測(cè)量中許多變量回歸問(wèn)題處理的理想方法。Juang提出了基于整體最小二乘法的GPS定位和接收機(jī)完好性檢測(cè)模型。Felus、 Neitzel等提出將二維直角坐標(biāo)的相似變換模型轉(zhuǎn)換為EIV模型，然后用整體最小二乘法解算。所以，整體最小二乘法在測(cè)繪領(lǐng)域的研究將越來(lái)越深入，應(yīng)用將越來(lái)越廣泛。

參考文獻(xiàn)：

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