微元法的思維方式方法的研究

摘 要：闡述了元素法的重要性，以定積分為例，詳細討論了應用元素法的關鍵與難點及步驟，給出了用元素法求具體問題的實例。

關鍵詞：元素法

元素法是高職學校數學課程重要方法，是學習后續課程的重要工具。

一、直角坐標系下元素法

用定積分來解決實際問題需要應用微元法.何謂微元法？怎么應用微元法？怎樣找“微元”？這是積分應用的關鍵與難點，如果僅僅說：設想把區間[a， b]分成n個小區間，取其中任一小區間并記作[x， x+dx]，求出相應于這個小區間的部分量ΔU的近似值，如果ΔU能近似地表示為[a， b]上的連續函數在x處的值f（x）與dx的乘積，就把f（x）dx稱為量U的元素，這實際并沒有說清楚如何找到要求量U的微元，因為寫出“連續函數f（x）”是找微元的關鍵與難點，如果緊緊依靠微積分的基本思想：局部以“直”代“曲”、以“勻”代“變”，就很容易得到：

在[a， b]上任取一微小區間[x， x+dx]，在[x， x+dx]上“以勻（不變）代變”，即將區間[x， x+dx]對應的U的局部量ΔU看作從x起是連續均勻變化的，從而用初等方法求出ΔU的近似值，即U的微元dU = f（x）dx。

因此，找微元的實質是在局部小區間上將非均勻變化的量近似看作均勻變化的量，從而就可以用初等方法求出其近似值dU=f（x）dx，這就是所謂的微元。

比如，利用定積分來計算平行截面面積為已知的立體的體積。如圖1，一立體在區間[a， b]上是非均勻變化的，為求該立體的體積微元，在[a， b]上的一個小區間[x， x+dx]上以勻（不變）代變——認為過該區間上各點所作的x軸的垂面截立體所得截面都與過點x所得到的截面A（x）（其面積也記為A（x），其中A（x）為x的連續函數）是相同的，這樣一來，區間[x， x+dx]所對應的體積ΔV就可以近似看作以截面A（x）為底，高為dx的柱體，由初等數學的知識知，該柱體的體積：

dV（x） = A（x）dx

就是要求的體積微元。

二、極坐標系下元素法

再比如，如圖2，為研究由射線θ = α，θ = β及曲線ρ = ρ（θ）所圍成的曲邊形的面積（即討論極坐標系下曲邊形面積計算問題），在區間[α， β]上任取一個小區間[θ， θ+dθ]，該區間所對應的曲邊ρ = ρ（θ）上各點到原點的距離本來是不同的，我們按照“以勻代變”的思維，認為在該小曲線段上，從極角為θ的點起，各點到原點的距離是保持不變的，即將該小區間所對應的曲邊扇形近似看做以θ處的極徑ρ（θ）為半徑、中心角為dθ的圓扇形（圖2的陰影部分），它的面積的計算就屬于非常熟悉的初等方法了，該圓扇形的面積就是要求的面積微元。

同樣的道理，在計算平面區域或空間區域中的非均勻變化的量時，也是局部認為是連續均勻變化的，以“直”代“曲”、以“勻”代“變”從而變成常量數學問題，用初等的方法求出局部近似值，就是要求量的微元.這樣來看，找微元就是一個非常簡單的問題了。

例：設有一平面薄板所占的閉區域是由圓周x2+y2=2及坐標軸所圍成的位于第一象限內的部分，其面密度為ln（1+x2+y2），求該薄板的質量。

解：薄板的質量

教學是創造性的勞動，教師的任務不僅是要選擇一本好的教材，而且要組織好教學內容，創造性地把知識傳授給學生，元素法教學將教科書中的知識進行重新組合，再現數學的發現發明過程，使整個教學具有條理性、啟發性與誘導性，并且能講授出有創見性的東西，使培養出來的學生真正是智能型、開拓型人才.

作者簡介：陸毅，（1963–），男，工作于遼寧鐵道職業技術學院，副教授。