一種新的分數階多卷波混沌系統及其隨機性測試

車德欣　湯子隆

（廣東金融學院）

一種新的分數階多卷波混沌系統及其隨機性測試

車德欣湯子隆

（廣東金融學院）

提出一種新的分數階混沌系統，通過設計非線性控制器，使其產生多卷波混沌吸引子。利用數值仿真方法給出8卷波混沌吸引子相圖，并對該混沌系統的混沌序列進行NIST測試。結果表明，提出的混沌序列能較好地滿足隨機性測試。

分數階混沌系統；多卷波；NIST測試

0　引言

分數階混沌系統可以視為整數階混沌系統在階數上的推廣，不僅具有整數階混沌系統的所有特征，并且還具有整數階混沌系統不具備的特征。分數階多卷波混沌系統是近年來混沌研究領域取得的重要研究成果。多卷波混沌吸引子的相軌跡在不同吸引子之間跳變，卷波數量越多，跳變的隨機性越強，使信息隱藏越隱蔽，這對信息加密具有十分重要的意義。分數階多卷波混沌系統達到混沌狀態時，其階數是一個范圍，而不是固定值；其密鑰空間較整數階更大，在混沌加密中具有重要的應用價值。在混沌加密領域，當前大部分研究都集中于整數階混沌系統，較少使用分數階[1-2]。Faieghi等人將分數階混沌系統應用于圖像加密領域，結果表明分數階混沌系統具有更強的記憶功能和穩定性[3]。Alvarez等基于可擴展性混沌系統設計圖像加密，表明分數階混沌系統較整數階更優秀[4]。張海英等人證明了分數階Duffing系統作為密鑰，其密鑰空間較整數階大很多[5]。朱偉等利用分數階超混沌系統建立一種加密算法，其結果顯示能有效低于選擇明文供給，且性能優秀[6]。隨著分數階混沌系統在加密領域研究的不斷深入，混沌序列的隨機性測試也越來越引人關注。由于無法對隨機性事件建立完整的數學模型[7]，因此，對混沌序列的隨機性測試就顯得尤為重要。本文提出一種分數階混沌系統，并對其混沌序列的隨機性進行測試。首先給出分數階8卷波混沌系統的表達式，然后使用數值仿真給出其8卷波混沌吸引子相圖，最后采用NIST測試證明其混沌序列的隨機性。

1　一種新的分數階8卷波混沌系統

本文提出一種新的基于分段型Lorenz系統的分數階線性微分方程形式為

設計非線性混沌控制器，產生式(1)。設受控的分數階Chen系統形式為

K( X )是非線性反饋控制器，其表達式為

其中，N=0, 1, 2, 3, …；i=1, 2, 3, …, N。

由式(2)，得參數Hi、Ei的遞歸公式為

式(3)中，各個參數的選取并不唯一。為使分數階混沌系統能產生多翅膀混沌吸引子，只有設計合理的參數才能實現。

為產生多卷波的幾何形狀，需函數k3使分數階混沌系統產生拉升與折疊效果，選取k3中各個分段函數的分段起點坐標值：

終點坐標值為

得到終點與起點坐標值滿足以下關系：

首先計算on(n=1,2,3,...)，然后計算pn( n=0,1,2,...)，得on(n=1,2,3,...)與參數Hi、Ei的遞歸公式

參數pn( n=0,1,2,...)的遞歸公式為

由式(4)與式(5)，得pn, on( n=0,1,2,...)的參數值為

選取k3中第1個區間寬度

則由式(2)與式(3)計算可得平衡點：

選取k3中分段線性函數終點(Ei, oi-1)與后一個線性分段函數起點(Ei, pi)之間的差滿足：

為得到分數階混沌系統的多卷波混沌吸引子，采用GL定義的分數階積分進行計算，則可轉換為

其中，e是步長；

將式(6)展開得

階數η=(η1,η2,η3)=(0.9,0.9,0.9)，得

其中，a=0.5,b=0.09,c=2.6。

在k3中，設N=3, k=2.5, P=0.47，H1= H2=H3=0.228, E1=0.188,E2=0.36，得到2.7階混沌系統8翅膀混沌吸引子如圖1所示。

2　對分數階混沌序列進行NIST測試

NIST隨機性測試由美國國家標準技術研究院研發，其包含15種隨機性測試手段，可從不同檢驗角度將被檢測序列與理想隨機序列進行對比，檢驗其偏離程度，是目前公認的比較好的隨機性測試方法。NIST隨機性測試的結果以P-value的值表示，令α∈[0.001,0.01]為顯著性水平區間，當P-value≥α，表明該項測試能夠通過隨機性測試；否則為不通過，表明混沌序列不具備隨機性。

圖1 分數階8卷波混沌吸引子

對y序列進行NIST測試，其結果如表1所示。NIST隨機性測試包含15個測試，分別為Frequency測試、BlockFrequency測試、CumulativeSums測試、Runs測試、LongestRun測試、Rank測試、FFT測試、NonOverlappingTemplate測試、OverlappingTemplate測試、Universal測試、ApproximateEntropy測試、RandomExcursions測試、RandomExcursionsVariant測試、Serial測試、LinearComplexity測試。C1-C10表示NIST隨機性測試將[0,1]區間劃分為10個子區間，然后分別計算每個子區間頻數。P表示P-value，Value Proportion為通過計算顯著性水平大于0.001的P值與混沌子序列的比值的數量。由表1可知，所有15個測試的P值均大于0.001。表明混沌序列通過了NIST隨機性測試，本文所提出的基于分數階多卷波混沌系統的混沌序列能夠很好地滿足隨機性需求。

表1 NIST隨機性測試結果

3　結論

本文提出一個新的分數階多卷波混沌系統，利用數值仿真方法給出其8卷波混沌吸引子，并對提出的多卷波混沌系統所產生的混沌序列進行NIST測試。結果表明，本文提出的混沌序列能完全通過NIST測試，滿足加密所需的隨機性需求。

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A New Fractional-Order Multiwing Chaotic System and It’s Randomness Test

Che DexinTang Zilong
(Guangdong University of Finance)

In this paper, a new fractional-order chaotic system is proposed, which can generate multi-scroll chaotic attractors by designing a nonlinear controller. Using the numerical simulation method, the phase diagram of the 8-scroll chaotic attractors has benn given. Then, the chaotic sequence of the chaotic system pastNIST test. The results show that the chaotic sequences can satisfy the randomness test.

Fracional-Order Chaotic System; Multi-Scroll Attractors; NIST Test

車德欣，男，1988年生，本科，初級，主要研究方向：軟件工程。E-mail: 164533507@qq.com