問題情境對學生建構有理數加法法則影響的差異性研究

陳麗敏，景　敏

（1．沈陽師范大學　遼寧省基礎教育教研培訓中心，遼寧　沈陽　110034；2．沈陽師范大學　教師教育學院，遼寧　沈陽　110034）

問題情境對學生建構有理數加法法則影響的差異性研究

陳麗敏1，景敏2

（1．沈陽師范大學遼寧省基礎教育教研培訓中心，遼寧沈陽110034；2．沈陽師范大學教師教育學院，遼寧沈陽110034）

選六年級學生為樣本，比較兩個版本《義務教育教科書·數學七年級（上）》中的不同問題情境對學生建構有理數加法法則的影響.結果表明：在自然數學習擴充到有理數學習的過程中，學生加法概念的遷移存在一定的困難；學生得出算式得數的正確率在兩個情境中有顯著性差異；學生正確列出加法算式以及得出正確答案在兩個情境中沒有顯著性差別.

有理數加法；問題情境；認知困難

1　問題提出

在初中階段，有理數加法是整個有理數運算的起始部分，對后續有理數減法、乘法和除法的學習起到基礎性的作用，也是今后進一步學習數、式、方程等知識的基礎，因此能深入理解有理數加法對于學生今后的學習至關重要.國外相關研究表明，學生在小學階段對自然數加法意義的認識和有理數加法算理的理解不夠深入，導致在中學階段對有理數加法的理解存在認知困難[1～2]，例如，加法和乘法使結果變大，減法和除法使結果變小.國內學者對有理數運算中出現的錯誤以及有理數運算的理解水平展開了一些調查研究.例如，王傳兵研究發現，七年級學生對“+”、“-”號的3種意義，即，表示運算符號；表示一個數是正、負數的性質符號；“-”號還可以表示相反數的理解存在一定困難[3].胡趙云研究發現，七年級學生甚至八年級學生，在學習了有理數加法法則之后仍然傾向于將有理數的加減法運算轉化為自然數的加減法運算[4].鞏子坤研究表明，學生對有理數運算的理解非常有限，絕大部分的學生都知道怎樣算，而對于計算背后的道理知道較少[5～6].同時，一些學者的研究也表明，問題情境對于學生問題解決能力存在一定的影響.例如，張澤慶發現，和個人生活情境（如購物）相比，學生在解決社會生活情境（如工程問題）時所遇到的困難要大一些[7].戴聰以67名大學生為被試，探討了不同的問題情境，即MHD問題的中獎情境和生存情境對被試問題解決能力的影響.結果表明：被試對MHD問題的推理成績在生存情境下顯著優于中獎情境[8].但是，問題情境對學生建構有理數加法法則影響的相關研究卻很少.

鑒于此，選擇人民教育出版社出版的《義務教育教科書·數學（七年級上）》（以下簡稱《人教版》）和北京師范大學出版社出版的《義務教育教科書·數學（七年級上）》（以下簡稱《北師版》）中有理數加法的導入情境來檢驗問題情境對學生建構有理數加法法則影響的差異.根據研究需要，研究者做了部分調整，但基本內容保持和教材中的問題情境一致.此外，選擇《人教版》和《北師版》兩個版本的問題情境作為研究內容也是基于本地區教師的不同認識.例如，有的教師認為《北師版》的情境更加形象，容易激發學生的興趣，這樣有利于學生建構有理數加法法則；而另外一些教師認為，《人教版》的情境和生活實際聯系緊密有利于學生建構有理數加法法則等.

總體上看，建構有理數加法法則的過程分為兩個階段，第一個階段是列出算式并根據情境得出算式的得數，第二個階段是依據等式歸納法則.問題情境會對第一階段產生影響，因此，研究重點關注第一個階段.在第一階段，問題情境對學生的影響從兩個方面進行評價：一方面是學生能否根據問題情境列出正確的算式，另一方面是學生能否根據問題情境獲得算式的正確得數.具體的研究假設如下：

（1）不同問題情境中，學生正確列出有理數加法的算式有顯著性差異；

（2）不同問題情境中，學生正確獲得算式的得數有顯著性差異；

（3）不同問題情境中，學生正確得出答案有顯著性差異.

2　研究過程

2.1樣本的選擇

選取沈陽市兩所普通小學的163名六年級學生作為樣本，測試時間為小學畢業前夕.選擇小學六年級學生作為測試對象的原因是考慮到部分七年級學生假期可能參加了有理數加法法則的數學補習，該無關因素會對研究結果產生一定干擾.測試時間選在小學畢業前夕的原因是六年級學生已經掌握了正有理數加法、減法、乘法和除法的概念，并能解決四種混合運算的應用題，初步具備了有理數加法法則學習的知識基礎.但是，學生沒有學過有理數加法法則形成過程中涉及的負數和數軸概念，因此，在調查前，研究者根據初中的教學要求，對學生實施了有關負數和數軸概念的教學.

2.2問卷設計

該研究設計了兩份問卷.問卷一包含兩道測試題，第一道測試題選自《人教版》中的有理數加法問題情境（下文簡稱人教版情境）：一個物體作左右方向的運動，我們規定向左為負，向右為正.物體向右運動5米記作5 m，向左運動5米記作-5 m（在第一小問的后面提供了一個數軸的圖示作為該題的認知工具）.第二道測試題選自《北師版》中的有理數加法問題情境并稍作改編（下文簡稱北師版情境）：某班舉行知識競賽，評分標準是：答對一題加1分，答錯一題扣1分，不回答得0分.如果答對一題記作+1，用1個○+來表示，答錯一題記作–1，用一個○一來表示，那么○+○一就表示0，同樣○一○+也表示0（在第一小問的后面提供了相關圖示作為該題的認知工具）.

問卷二的第一、二道測試題的順序和問卷一相反.這種交叉設計方式的目的是消除兩個問題情境之間的互相影響.同時，每套問卷包含《北師版》和《人教版》兩個問題情境是為了消除學生能力差異對于測試結果的影響.兩份問卷不僅要求學生給出正確的答案，同時也要求學生書面描述自己的思維過程，以便研究者了解學生對有理數加法意義的理解，以及得到算式得數的思維過程.

2.3評價標準

對于測試題一和測試題二的評價，可以從列式的正確率、結果的正確率、完整答案的正確率3方面進行評價.列式正確是指能夠用正負數正確表示情境中的量，并選擇加法運算.得數正確是指能夠根據情境正確得出算式的結果.答案正確是指列式和得數都正確.

2.4測試過程

測試工作分別在兩所不同發展水平的學校完成，參與測試的每個班級隨機選擇一半學生完成問卷一，另外一半學生完成問卷二.

3　結果描述與分析

3.1不同問題情境對學生正確列出等式影響的比較

依據問題情境列出等式是形成法則的第一步，等式包括兩部分，一部分是等號一端的兩個有理數之和，另一部分是基于認知工具獲得的得數.北師版和人教版情境中學生列式、得數、答案正確個數的均值和標準差如表1所示（括號內數據為標準差）.

表1　兩種情境學生正確個數的均值和標準差

從表1可以看出，相對于人教版情境，北師版情境在學生列式、得數、答案正確的個數方面都略勝一籌.但是，應用spss19.0統計軟件的分析結果來看，在兩個問題情境中，只有學生得數的正確率有顯著性差異（t(324)= –2.461, P=0.01<0.05），而列式的正確率位于顯著性水平的邊緣值（t(324)= –1.932, P=0.054>0.05），答案的正確率無顯著性的差異（t(324) = –1.827, P=0.69>0.05）.

3.2學生思維過程的描述與分析

從列式情況來看，與人教版情境相比，北師版情境更容易促進學生列出正確的加法算式（雖然二者的差別沒有達到顯著性的水平），產生這種差別的主要原因可能是由于不同語義的加法問題情境對學生加法意義遷移的影響是不同的.加法的語義情境有合并、變化、比較3種類型[9].合并和比較類型是靜態的，變化類型是動態的.因此，北師版情境的語義是靜態的，即將兩個部分合并求整體是多少，而人教版情境的語義是動態的，即，兩次同一方向的連續運動變化的結果.合并情境的有理數加法更容易和小學學過的加法產生聯結，而變化情境的有理數加法容易和小學學過的減法產生聯結.這樣導致有些學生雖然能用正負數將人教版情境中相反意義的量統一，但是他們還是不知道選擇加法來解決問題.

除了上述的不同之外，學生在面臨兩個問題情境時候，列式上也有一些相同的表現，即他們基本上都能清楚地認識到正數和負數可以表示相反意義的量，例如，對于問題“小強第一次答對3個題，第二次答錯2個題，小強兩次的總分是多少？”學生將答對3個題用“+3”表示，答錯2題用“–2”表示，但是大部分同學直接將兩個量羅列在一起，例如，“+3–2”.當要求他們解釋“+3”和“–2”兩個相反意義量（即，異號兩數）之間的運算關系時，僅僅極少部分學生明確是加法，很大一部分學生選擇了減法，剩下的學生選擇了不知道.學生選擇減法的理由是“答對題目個數的得分減去答錯題目個數的得分是答案”.而當學生面對相同意義兩個量（兩數同號）之間的運算關系時，例如，對于問題“如果物體先向左運動3 m，再向左運動5 m，那么兩次運動后的最后結果是什么？”大部分學生能夠正確選擇加法運算，并能夠給出恰當的理由，即，先向左運動的數加上再向左運動的數就得到結果.

學生在有理數加法學習的過程中為什么會產生上述的認知困難呢？這個問題的產生和數學學習的本質有著緊密的聯系.數學是空間形式和數量關系的科學，數學學習是一種逐步運用符號來表達現實世界的一種數學化的過程，這種過程是漸進的[10].首先，學生根據情境的信息，運用已經學習過的知識表征情境中的數學對象；接著，利用具體數學模型去表達數學對象之間的關系；之后，通過具體情境獲得的方法和策略逐步概括化、一般化，并能夠遷移到類似的問題情境之中；最后，通過情境獲得的數學模型能夠為其它形式化數學知識的獲得提供土壤.在該研究中，學生有理數加法法則建構的過程也遵循上面的發展階段.首先，學生根據問題情境提供的信息用正負數來表達情境中的數學對象；接著，學生應用加法來表達相同意義的兩個量之間的關系，以及相反意義的兩個量之間的關系；之后，學生進一步體會列出的有理數加法式子并深入理解有理數加法的意義，并為解決其它有理數加法問題做準備；最后，學生根據一系列有理數加法的算式抽象概括出有理數加法法則.如前文所述，該研究關注的是有理數加法法則建構的前3個階段.從學生的表現來看，第一個階段學生基本沒有產生認知困難，往往是在第二個階段產生了認知困難，這說明該階段的有理數在學生的頭腦中往往和情境緊密聯系，并沒有脫離情境像正有理數一樣扎根于學生的頭腦之中，這方面的不足導致部分學生即使能用正負數表示出來相反意義的量，也不清楚為什么這樣做，進而不能把有理數加法和小學學過的加法產生有效聯結，所以部分學生對于統一之后的兩個量之間選擇什么運算是很模糊的，甚至部分學生選擇減法.選擇減法的可能的原因是，在根據情境尋找算式答案的過程中，學生錯誤地認為意義相反兩個量之間的抵消行為是他們之間的減法關系.

從學生算式得數的情況來看，與人教版情境相比，北師版情境中學生更容易根據正負圈之間的互相抵消得出算式的正確得數，例如，對于問題“小華第一次答錯3個題，第二次答對2個題，小華兩次的總分是多少？”，學生描述的思維過程為“答錯3個題用3個○一表示，答對2個題用2個○+，抵消后剩一個○一，就是–1.”產生這種結果的主要原因是北師版情境和人教版情境的本質區別是兩個情境的認知工具不同.北師版情境的認知工具是分散的帶圓圈的正號和帶圓圈的負號來表示得分和扣分，通過正負號之間的一一抵消得出結果，比較形象直觀.而人教版情境是將現實的問題轉化為數軸，將物體的運動轉化為數軸上點的運動，向左或向右運動的距離用數軸上線段的長度來表示，通過線段之間的部分抵消得出結果，不是很形象直觀.

另外，與王傳兵的研究結果一致，在學生列式中也發現學生混淆了性質符號的“正號”和運算符號的“加號”，例如，對于問題“如果物體先向右運動3m，再向左運動5m，那么兩次運動后的結果是什么？”學生給出算式“+3–5”的運算為減法的理由是“向右為正，向左為負，所以先加后減”.產生這種錯誤的主要原因追根究底還是學生沒有深刻理解加法的意義.因此，在有理數加法引入之初，學生對于加號和正號，減號和負號認識產生了混淆.

4　結論與建議

對比兩個情境，北師版情境在算式得數的得出方面存在一定的優越性，但是在加法算式和完整正確答案得出方面兩個情境差別不大.此外，學生在兩個問題情境中構建有理數的加法法則時，也存在一些相同的認知困難，即，在兩個版本的問題情境中，部分學生在相反意義量的問題解決中混淆了加法運算與減法運算、運算符號和性質符號.鑒于上述認知困難，對有理數加法法則的教學給出如下建議.

首先，從研究結果可以看出，學生在六年級末，甚至七年級初，并沒有真正達到將意義相反的量統一并選擇正確的數學運算來解決問題的認知水平.因此，在學生自主建構有理數加法法則的第一階段，北師版教科書在導入情境之后直接給出有理數加法的算式，只要求學生通過情境給出算式的得數，并根據有理數加法等式抽象概括得出有理數加法的法則是合理的.對于人教版教科書要求學生根據情境思考、探究有理數加法算式的處理方式，建議教師在學生列加法算式的過程中提供一些的輔助性幫助與指導.例如，在有理數加法的初始教學中，教師恰當地使用引導性問題和括號是切實可行的方法.對于人教版情境中“如果物體先向左運動3 m，再向右運動5 m，那么兩次運動后的最后結果是什么？”這個問題，具體的教學方法可為，將物體同向運動的情況作為該問題的鋪墊與小學階段的加法意義取得有效聯結.例如，用“如果物體先向左運動3 m，再向左運動5 m，那么兩次運動后的最后結果是什么？”這個問題引導學生深入剖析為什么用加法？即，兩次相同方向的連續運動是加法，以此來加深學生對加法的理解，便于后面相反方向運動的正遷移.接著，教師通過問題引導學生首先將相反意義的量表示出來，例如，物體向左運動3 m可以表示為向右運動多少米？這樣做的結果可以將相反方向的運動統一為相同方向的運動.之后，教師可以引導學生先用正數和負數表示出來左運動3 m，和向右運動5 m兩個量，并強調用括號將兩個量分別括起來羅列在一起，即，(–3)(+5)，最后，通過和小學學過的加法取得聯結，引導學生去發現這兩個量之間用什么運算來連接.這種引導性問題和括號的方法可以持續1～2節課的時間，當學生能夠統一相反意義的量并區分運算符號和性質符號之后，可以逐漸弱化.例如，引導性問題可以不出現，(–3)+(+5)可以表示為(–3)+5.

其次，從數學自身發展角度來看，數系從自然數擴充到有理數后，需要研究自然數的運算法則和運算律是否對有理數也成立.在自然數系中，學生熟悉數量之間的關系，即意義相同用加法，意義相反用減法.例如，問題“8月份小明基本工資收入2 000元，其它收入1 000元，8月份小明收入多少錢？”用加法解決.問題“8月份小明收入2 000元，支出1 000元，8月份小明收入多少錢？”用減法解決.當引進了有理數之后，通過正負號可以將相反意義的量統一為相同意義的量.但是由于學生對于負數的理解和加法意義的理解不深入，因此學生一旦被要求將這些正負數之間的運算關系表示出來的時候，學生又將負號表示的含義和情境中的具體信息聯系起來，這樣又回到了自然數減法的怪圈之中.

[1]Vamvakoussi, Van Dooren, Verschaffel. Naturally biased? In Search for Reaction Time Evidence for a Natural Number Bias in Adults [J]. Journal of Mathematical Behavior, 2012, (3): 344.

[2]Vamvakoussi, Van Dooren, Verschaffel. Educated Adults are Still Affected by Intuitions about the Effect of Arithmetical Operations: Evidence from a Reaction-Time Study [J]. Educational Studies in Mathematics, 2013, 82(2): 323.

[3]王傳兵.七年級學生對負數概念的理解[D].華東師范大學，2007.

[4]胡趙云.立足學生原有認知結構重構有理數加減運算[J].數學教育學報，2004，13（4）：59.

[5]鞏子坤.有理數運算的理解水平及其教與學的策略研究[D].西南大學，2006.

[6]鞏子坤.基于學生的理解水平制定課程目標——以“小數乘法運算”為例[J].數學教育學報，2010，19（2）：34.

[7]張澤慶.數學問題情境對小學生解決問題能力的影響研究[D].西南大學，2011.

[8]戴聰.不同情境對于MHD問題解決的影響[J].社會心理科學，2011，（129）：1 408.

[9]Verschaffel L, De Corte E. Number and Arithmetic [A]. In: Bishop A, Clements K, Keitel C. International Handbook of Mathematics Education [C]. Dordrecht: Kluwer, 1996, (l4): 99-137.

[10] Van den Heuvel-Panhuizen M. Realistic Mathematics Education as Work in Progress [A]. In: F L Lin. Common Sense in Mathematics Education-Proceedings of 2001 the Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education [C]. Taipei, Taiwan. Retrieved from: http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/4966.pdf. 2001.

Research on the Influence of Problem Contexts on Students’ Constructing the Rule of Rational Number Addition

CHEN Li-min1, JING Min2
(1. Liaoning Research and Training Center for Basic Education, Shenyang Normal University, Liaoning Shenyang 110034, China;
2. Teacher Education College, Shenyang Normal University, Liaoning Shenyang 110034, China)

163 six graders were administered two problem contexts in order to explore the influence of different problem contexts selected from two versions of seventh grade math textbooks on pupils’ constructing the rule of rational number addition. Results revealed that, first, students had cognitive difficulty in the learning of the concept of addition from natural numbers to rational numbers. Second, students’ performance on correct computational results in the two contexts was significantly different. Third, there was no significant difference between pupils’ performance on the correct mathematical operations and correct answers (i.e., computational results and mathematical operations are both correct) from the two contexts.

rational number addition; problem context; cognitive difficulty

G623.5

A

1004–9894（2015）04–0064–04

[責任編校：陳雋]

2015–07–10

遼寧省教育科學“十二五”規劃2015年度課題——數學學案導學教學實施中的問題與對策研究（JG15CB006）；全國教育科學“十二五”規劃2011年度教育部重點課題——校本教研與農村初中數學教研組建設案例研究（GIA117011）

陳麗敏（1976—），女，遼寧沈陽人，講師，博士，主要從事數學教育研究．