考慮測控約束的非特殊點雙沖量變軌規劃算法研究

呂紀遠，張海聯，葉東明，李九人

（載人航天總體研究論證中心，北京 100094）

考慮測控約束的非特殊點雙沖量變軌規劃算法研究

呂紀遠，張海聯，葉東明，李九人

（載人航天總體研究論證中心，北京 100094）

非特殊點雙沖量變軌問題中，使用近地點遠地點雙沖量變軌可以得到最優的速度增量，但沒有考慮測控覆蓋范圍的約束。針對這個問題，對一般橢圓軌道的雙脈沖變軌問題進行了介紹，在此基礎上，將測控約束與非特殊點雙脈沖變軌問題進行綜合考慮，借助軌道外推、測控覆蓋分析得到一套變軌規劃算法，能夠在考慮測控覆蓋的約束下得到非特殊點雙沖量變軌的最優解。仿真結果表明，規劃算法優化出的速度增量與特殊點變軌相比增加很少，且發動機工作期間滿足測控約束。

非特殊點變軌；雙脈沖；測控約束

1 引言

軌道機動和軌道控制方法很多，尤其對于軌道面內的升降軌機動，研究頗為成熟。已知兩個共面圓軌道之間的過渡，霍曼變軌是最省燃料的方式；而對于共面同軸同向橢圓軌道之間的過渡，文獻［1］中亦有證明：在小橢圓近地點和大橢圓遠地點施加脈沖最省燃料。但是，在具體與工程實際結合方面，常規的軌道控制理論仍有諸多需要補充的地方。對于有測控弧段約束，無法在特殊點變軌的共面橢圓，如何在測控弧段內實現其最省燃料的機動方式，是許多航天器軌道控制必須解決的關鍵問題。

本文針對共面橢圓軌道之間的非特殊點變軌進行研究，軌道機動位置不在近地點或遠地點。Lawden［2］和Bender［3］早在1962年就對這種一般性軌道控制問題開展了研究，提出了180°對稱周向控制的最佳模式，但是我國的實際測控條件并不一定能滿足相位差180°的要求，這就對實際工程應用提出了較為苛刻的約束。本文對一般性軌道控制算法進行推導，然后借助優化算法，解決了機動控制中從任意范圍的真近點角施加脈沖，將小橢圓軌道變為大圓軌道的最優控制問題。

2 一般橢圓雙脈沖軌道控制數學模型

首先介紹一般橢圓的雙脈沖變軌算法［4］。

令（1）、（2）、（T）分別表示初始軌道、目標軌道和轉移軌道，下標1、2、T表示軌道（1）、（2）、（T）的參數，第二下標表示在第一下標軌道上該參數的條件（見圖1）。例如，f1T表示在初始軌道上向轉移軌道過渡的脈沖作用點的真近點角。由于轉移軌道的拱線與初始軌道的拱線并不一定重合，因此一般情況下f1T≠fT1。

圖1 雙脈沖拱線變軌示意圖Fig.1 Two-impulses orbit transfer method

令轉移軌道相對于初始軌道的轉動控制值為ΔωT，目標軌道相對于初始軌道的轉動控制值為Δω，則脈沖作用點真近點角的關系如式（1）：

如圖1所示，在第一脈沖作用點，有式（2）：

在第二脈沖作用點，有式（3）：

上述各式中vr、vt表示徑向、切向速度。兩次脈沖總的速度增量Δv可以由（2）和（3）聯立得式（4）：

確定雙脈沖拱線變軌最省燃料的過渡方式，就是在一定的約束條件下求Δv的極小值。

3 考慮約束的軌道機動規劃算法

3.1 約束條件

我國地面測控覆蓋范圍有限，對變軌時刻存在較大約束。為確保機動過程可控，一般情況下，要求軌控發動機工作時航天器要在測控弧段內?；诠澥∪剂系目紤]，變軌點通常選在近地點和遠地點附近，考慮測控約束條件下一般的做法是，對近地點和遠地點測控覆蓋情況進行篩選，在滿足測控條件的圈次對軌道機動的速度增量進行迭代優化。

航天器初始軌道與初始目標軌道是另一組約束條件。本文設定目標橢圓與原軌道共面，且指定其偏心率e2和長半軸a2作為目標約束。

3.2 規劃算法

規劃算法分為三步，具體為：

1）軌道外推和篩選第一次變軌點

根據初始軌道要素和高精度軌道動力學模型對軌道進行外推，同時按照測站位置數據篩選每圈會經過哪些測站，以距離測站最近的點作為變軌點，進而得到一系列可用的脈沖變軌點集合，用真近點角表示為｛f1T｝。

2）用優化算法確定最佳轉移的Δv1和Δv2

首先分析兩次變軌所需的速度增量與哪些變量相關：

根據橢圓運動方程，可知在第一次變軌點，有式（5）：r1T

是第一次脈沖作用點的地心距，令rT1為轉移軌道上第一次脈沖作用點的地心距，則r1T=rT1，并且有式（6）：

式（6）中有三個未知數，fT1、eT和pT，可將fT1作為待優化的變量，列方程組求解轉移軌道的偏心率eT和半通徑pT。

方程組的第一個方程根據r1T=rT1給出，第二個方程可根據第二次脈沖作用點的r2T=rT2給出，即式（7）：

式（7）中，fT2同（6）中的fT1一樣作為待優化變量。由于目標軌道只約束軌道長半軸a2和偏心率e2，沒有約束f2T，因此f2T也需要作為待優化變量。式（5）、（6）和（7）構成方程組如式（8）：

方程組（8）中，已知量為初始軌道的e1、p1、f1T和目標軌道的e2、p2，待優化變量為三個真近點角fT1、fT2和f2T，可以用這些量表示et和pt如式（9）：

進而根據（2）、（3）和（4）求得速度增量Δv。

在上述理論的基礎上，選擇一套優化算法對三個脈沖變軌點fT1、fT2和f2T進行優化即可，即在給定的初始軌道和脈沖變軌點集｛f1T｝，以及目標軌道長半軸a2和偏心率e2的條件下，使用方程組（9）和（2）、（3）、（4）求得最小的雙脈沖轉移速度增量Δv。

此規劃算法適用于目標軌道為任意橢圓的情形，當目標軌道的偏心率e2=0，待優化變量減少為fT1和fT2兩個時，計算可簡化。

3）得出整個變軌規劃的結果

根據第二步的優化結果，將Δv1在對應的位置上進行施加，考察在給定的發動機推力下，施加速度增量Δv1會不會導致開關機點在測控覆蓋范圍外，從而篩選出第一次變軌的施加圈次；然后考察在給定的發動機推力下，施加Δv2時的第二變軌點經過哪些測站，并確保開關機點在測站覆蓋范圍內，從而篩選出第二變軌點的變軌圈次，得出整個變軌規劃的結果。

對于第一步和第三步，通過測控覆蓋分析完成；對于第二步優化，可考慮使用0～360°遍歷三個待優化角度的方法獲得最小速度增量Δv，以得到全局最優解。

4 仿真

4.1 參數設置

以常見的近地小偏心率橢圓軌道為例，驗證雙沖量變軌算法有效性，此變軌需求常見于入軌后軌道圓化或航天器升軌控制。設航天器的初始軌道歷元為2014年7月30日00：00：00，初始軌道參數見表1，變軌的目標軌道為400 km圓軌道。

表1 航天器初始軌道要素Table 1 The initial six orbit elements

航天器質量設置為5000 kg，推力器推力為1000 N，大氣阻力面質比為0.004，考慮地球J2攝動，所使用的地面測站包括目前我國在全球的所有可用測站。

規劃和仿真的步長為1 s，考察航天器過測站的情況，以5°仰角為測站觀察范圍。

4.2 規劃結果

按照3.2節規劃算法的第一步，得到的可用真近點角集合｛f1T｝整理如表2（僅截取第四圈過測站的結果）。

表2 第四圈過測站情況統計Table 2 The statistics of passing the measurement stations in circle 4

此時可以根據其它工程具體約束選擇施加第一次變軌脈沖的真近點角，本文選擇在遠望五1的測控覆蓋區內實施第一次脈沖，即真近點角為11.07°時作為標稱脈沖施加點。

然后根據步驟二優化得到相應的速度增量和轉移軌道參數，結論如下：

此方法所需總的速度增量為56.56 m/s，而理論上最優的近地點遠地點變軌方案所需的總的速度增量為56.32 m/s，可見差別很小。

然后按照3.2節第三步，以第四圈的f1T點為基準，考察第二次脈沖時間點過測站情況（截取第五圈情況統計，見表3）。

其中在測站圣地亞哥附近，可以實現施加航天器軌控發動機工作時的測控覆蓋，從而得到整套變軌流程：以第四圈f1T=11.07°為基準施加第一次速度增量，Δv1=8.69 m/s；以第五圈fT2=180.00°為基準施加第二次速度增量，Δv2= 47.89 m/s?？偟乃俣仍隽績H比理論最優方案增加0.34 m/s。

表3 第五圈過測站情況統計Table 3 The statistics of passing the measurement stations in circle 5

本算例僅針對一次一般性的變軌需求進行了算法驗證，事實上，此算法可對任何涉及測控覆蓋約束的共面變軌需求進行求解，從結論中可以看出，相對于最優的霍曼轉移，變軌速度增量增加很小。

5 結論

本文所設計的變軌規劃策略，從算法角度就考慮了非特殊點變軌問題，并將測控范圍作為基本約束，與現有做法相比，優點在于不需要多次迭代計算，可直接求得在考慮實際測控覆蓋范圍約束下的共面軌道機動策略。此外，由于求解過程中引入優化，最終所需速度增量與特殊點變軌相比也增加很少。本文從工程實際角度引入約束并進行求解，所得算法可為實際應用提供參考。

（

）

［1］ 劉暾，趙鈞.航天器軌道動力學［M］.哈爾濱工業大學出版社.哈爾濱.2011：41-45.

Liu Dun，Zhao Jun.The Spacecraft Orbital Dynamics［M］. Harbin：Harbin Institute of Technology Press，2011：41-45. （in Chinese）

［2］ Lawden D F.Impulsive Tranfer between Elliplical Orbits in Optimization Techniques［M］.Leitmann G..Academay Press，1962：107-122

［3］ Bender D F.Optimum coplanar two-impulse transfer between elliptic orbits［J］.Aerospace Enginering 1962（10）：56-63.

［4］ 章仁為.衛星軌道姿態動力學與控制［M］.北京航空航天大學出版社.北京，2006：77-79.

Zhang Renwei.Satellite Orbit Attitude Dynamics And Control ［M］.Beijing：Beihang University Press，2006：77-79.（in Chinese）

Research on Non-special Points Two-impulse Orbit Transfer Planning with Tracking，Telemetry and Control Constraints

LV Jiyuan，ZHAGN Hailian，YE Dongming，LI Jiuren
（Manned Space System Reasearch Center，Beijing 100094，China）

The problem of non-special points two-impulse orbit transfer was studied.In general，the application of special points orbit transfer method can get optimal result.However，this method doesn't take into account the tracking，telemetry and control（TT&C）constraints.In this paper，the two-impulse transfer of ellipse orbit was introduced at first.Then，considering the TT&C constraints，the method of orbit extrapolation and TT&C coverage analysis were used to get a new algorithm.Simulation result shows that the velocity increment obtained by the new algorithm is only a little more than that of the optimal result，and can meet the TT&C constraints during the engine firing.

non-special points orbit transfer；two-impulse；tracking，telemetry and control（TT&C）constraints

V556

A

1674-5825（2015）06-0560-04

2014-07-30；

2015-08-24

呂紀遠（1984-），男，博士，助理研究員，研究方向為載人航天任務分析與仿真。E-mail：kokyo52@163.com