漂浮基柔性臂空間機器人輸出力矩受限的自適應PID輸出反饋

張麗嬌，陳 力

（1.福州大學機械工程及自動化學院，福州 350108；2.福建省高端裝備制造協同創新中心，福州 350116）

漂浮基柔性臂空間機器人輸出力矩受限的自適應PID輸出反饋

張麗嬌1，2，陳 力1，2

（1.福州大學機械工程及自動化學院，福州 350108；2.福建省高端裝備制造協同創新中心，福州 350116）

針對輸出力矩受限的漂浮基柔性臂空間機器人的控制問題，結合系統動量守恒關系和拉格朗日方法建立了系統動力學模型；利用奇異攝動法，慢變子系統設計了輸出力矩受限情況下僅有位置傳感、建模不確定性及干擾的空間機械臂系統協調運動的自適應PID輸出反饋控制算法，快變子系統設計了線性二次最優控制方法主動抑制。該算法采用高精度濾波器估計機器人關節速度，使得整個系統的閉環控制僅需位置輸出反饋；在控制率中引入飽和函數，保證輸出力矩在給定限制范圍內，同時采用自適應PID控制器補償建模不確定性和干擾?；贚yapunov穩定性理論證明了該算法可確?？刂葡到y是漸近穩定的，針對平面兩關節漂浮基柔性臂空間機器人的仿真結果表明了所提出的控制方案良好的跟蹤性和快速收斂性。

柔性臂空間機器人；奇異攝動；自適應PID控制；輸出力矩受限

1 引言

空間機器人是用于空間探測活動的特種機器人。目前，有關空間機器人系統的結構設計和控制方法研究已成為空間科學研究和機器人技術研究的重點［1-6］。在空間實際應用當中，空間機器人的機械臂往往質量較輕、慣量較小，這使得機械臂在高速運動過程中容易發生變形，因此空間機器人的機械臂常使用柔性桿來進行操作，對柔性空間機械臂的研究也成為自20世紀80年代后空間機器人的研究重點。

考慮到柔性臂空間機器人系統動力學方程的階數多于地面剛性機械臂，且由于柔性桿的振動頻率一般比系統剛性振動頻率高，使用奇異攝動法將可以對柔性臂空間機器人系統的包含振動模態的動力學方程進行降階處理，將其分解為兩種時間尺度的奇異攝動模型。文獻［7］使用奇異攝動法考慮了一類機械系統的高階滑?？刂茊栴}并進行了實驗研究。本文將奇異攝動方法應用到柔性臂空間機器人控制器設計中，討論了載體位置不受控、姿態受控情況下，漂浮基柔性臂空間機器人輸出力矩受限的自適應PID輸出反饋問題。首先，利用拉格朗日假設模態法并結合系統線動量守恒關系，建立了柔性臂空間機器人系統的動力學方程。以此為基礎，使用兩種時間尺度的假設，將系統分解為軌跡跟蹤控制器和振動控制器可分開設計的奇異攝動系統。

針對實際機器人軌跡跟蹤控制中存在的問題，例如僅位置傳感、驅動器飽和、存在建模不確定性及干擾，為滿足高精度運動控制的要求，提出了眾多先進控制和智能控制算法，如，計算力矩法、自適應控制、變結構控制、迭代學習控制、魯棒控制、模糊控制、神經網絡控制等［8-9］。但這些算法因假設條件較多，計算復雜，針對性強等限制其實際的應用。迄今為止，實際工業應用中的大多數商品化的機器人控制器的控制策略是基于獨立關節PID伺服算法，該算法結構簡單，易于設計，在一定程度上滿足控制系統的要求［10］。

對于系統模型存在不確定性和干擾的研究較多，典型的是采用魯棒控制和自適應控制算法［11］；對于只基于關節位置信號的輸出反饋控制，較為典型的是采用觀測器［12］和濾波器［13］；在輸出力矩飽和受限的情況下，典型的是采用基于tanh（x），sat（x）等飽和函數的飽和PD+控制器［14］。

針對上述問題，本文對于快變子系統，使用全局最優控制來對柔性桿件的振動進行主動抑制。對于慢變子系統，設計了輸出力矩受限情況下僅有位置傳感、建模不確定性及干擾的空間機械臂系統協調運動的自適應PID輸出反饋控制算法。

2 柔性臂空間機器人系統動力學分析

考慮作平面運動的自由漂浮基柔性臂空間機器人的幾何模型如圖1所示。其中，B0為系統的剛性載體基座，B1為系統的剛性連桿，B2為系統的柔性連桿（可視為Euler-Bernoulli懸臂梁且僅產生橫向振動），Bi-1和Bi（i=1，2）間均使用剛性旋轉鉸進行聯接。建立各分體Bi（i=0，1，2）的主軸聯體坐標系（Oi-xiyi），O1、O2分別為相應兩個轉動鉸的中心；x0通過O0與O1的連線，x1和x2分別是B1和B2的對稱軸，ei為沿xi（i=0，1，2）軸方向的基矢量；C為系統總質心。mi、ji分別為Bi（i=0，1，2）的質量與中心轉動慣量，B2單位長度的均勻質量密度為ρ，均勻彎曲剛度為EI，M為系統總質量；并定義q0為航天器載體姿態角，q1和q2為關節O1、O2的相對轉角。

圖1 漂浮基柔性臂空間機器人系統Fig.1 Free-floating flexible manipulator space robot system

由彈性理論可知，基于假設模態變形描述法，橫向彈性變形v（x2，t）可描述為式（1）：

其中，?i（x2）和δi（t）分別為柔性桿的第i階模態函數及其坐標，n為截斷階數?？紤]到低階模態對桿件的彈性振動起主導效應，本文取前二個低階模態進行研究，即式（2）：

利用拉格朗日法和動量守恒關系，可導出式（3）所示載體位置不受控和姿態受控的柔性臂空間機器人動力學方程：

其中，M（q，δ）∈R5×5為正定、對稱慣性陣；H（q，δ，q·，δ·）∈R5×5為從包含離心力、科氏力列向量中分離出來的矩陣；q=［q0q1q2］T，δ= ［δ1δ2］T分別為系統廣義坐標列向量的剛性變量、柔性變量；Kδ=diag［kδ1kδ2］為系統的抗彎剛度陣；τ=［τ0τ1τ2］T為系統的控制力矩列向量。

3 系統動力學奇異攝動分解

據式根據式（3），姿態受控柔性臂空間機器人的動力學模型可展開為式（4）：

若約定式（5）：

則式（4）可轉化為式（6）：

若定義μ=1/min［kδ1，kδ2］為奇異攝動因子σ=δ/μ、Ks=μKδ，則式（6）可變換為式（7）：

令μ=0并將其代入式（7），得式（8）所示慢變子系統：

其中，帶“—”的變量表示機器人的慢變分量，τs表示慢變控制律。則慢變子系統（8）滿足如下性質［15］：

令μ=0，并結合快、慢時標的相互獨立性及式（7），可得到式（10）～（11）所示快變子系統的動力學方程：

于是，可得快變子系統如式（12）：

最終，式（8）和式（12）共同構成了系統的奇異攝動模型且τ=τs+τf。

4 控制方法設計

4.1 慢變子系統的自適應PID輸出反饋控制法設計

據第3節可知，柔性臂空間機器人系統式（4）可被降階分解為快、慢變兩個子系統式（8）和式（12）。由于這兩個子系統在時標上具有獨立性，故我們可分別對每個子系統進行相應控制器的設計，并最終組成系統的總控制器。

基于式（8），將設計一種基座姿態與關節協調操作運動的模糊終端滑模慢變子控制器。若令q=［q0q1q2］T為系統的實際輸出，qd= ［q0dq1dq2d］T為其理想輸出，則系統追蹤誤差可描述為式（13）：

考慮只有位置信息可測，定義濾波誤差函數為式（14）：

其中，Λ為一正定矩陣，Λ=ΛT＞0，則有（15）：

考慮參數的不確定性和外部擾動，式（8）可以表示為式（16）：

根據式（21）可以表示為式（17）：

連續型PID控制設計如式（18）：

其中，Kp，Ki，Kd分別為比例、微分、積分增益。

式（18）可以寫成如式（19）形式

PID控制器τpid（e|θk）可以一致逼近系統不確定項，因此，存在一最優參數向量θ*，使得近似誤差有界。即式（20）：

其中，θ*滿足式（21）：Ωθ、Ωe分別為θ、e的期望約束集。

這里僅需要知道存在最優參數向量θ*，用于收斂分析，而不必知道其確定值，它對控制器的設計不是必需的。令滿足式（22）：

控制器設計如式（23）～（25）：

其中，v為濾波器的輸出，kw＞0，Γ為一正定矩陣。K=diag［k1，…，kn］，β=diag［β1，…βn］，tanhv=［tanhv1，…，tanhvn］T，tanhv∈Rn，K，β∈Rn×n，k1，…，kn，β1，…，βn，α皆為正常數。

定義Lyapunov函數如式（26）：

式（26）為一正定函數，沿閉環系統軌跡的微分如式（27）：

其中，

根據F范數的性質［16］，有式（28）：

則

由式（27）、式（28）、式（29）得式（30）：

其中參數c1、V1分別滿足式（31）、（32）：

由式（31）、式（32）可知，當選取較大的K和較小的kw，可以得到較大的收斂區域。

由式（14）、式（24）可知，濾波器的輸出只和關節位置信號及e·有關，因此，不需要關節速度和加速度信號。

4.2 快變子系統—柔性臂振動主動抑制的基于狀態觀測器的最優控制方法設計

為抑制彈性振動，本節擬采用基于狀態觀測器的最優控制策略來對快變子系統式（12）進行控制?？熳冏酉到y經變換后呈線性系統，故采用簡單的最優控制即可快速有效地抑制振動。因此定義系統性能指標函數如式（33）：

其中，Rf∈R3×3和Qf∈R4×4分別為正定、半正定常值陣。被積函數中第一項表示動態過程中對控制的約束或要求，是用來衡量控制功率大小的代價函數。被積函數中第二項Lz=zTQfz，是用以衡量誤差z大小的代價函數，z越大，則支付的代價越大。最優控制的目標是使Jf→min，則其實質在于用不大的控制，來保持較小的誤差，從而達到能量和誤差綜合最優的目的。

設Pf為式（34）所示Ricatti方程的唯一解［17］：

則快變最優控制律可定義為式（35）：

5 仿真算例

以圖1所示作平面運動的兩桿漂浮基柔性臂空間機器人系統為例。仿真過程中我們假定系統中各參數為：m0=40.0 kg，m1=2.0 kg，j0= 34.17 kg·m2，j1=1.5 kg·m2，l0=1.5 m，l1= 3.0 m，l2=3.0 m，ρ=1.0 kg/m，EI=200 N·m2。并假設柔性桿B2的桿長l2和單位長度的均勻質量密度ρ為系統未知參數，仿真過程中其真值取為l2=3.0 m，ρ=1.0 kg/m。

系統的柔性桿B2被視為Euler-Bernoulli懸臂梁，其模態試函數?i（x2）取為?i（x2）= Ai［cos（υix2）-cosh（υix2）］+［sin（υix2）-sinh（υix2）］，其中，Ai=-［sin（γi）+ sinh（γi）］/［cos（γi）+cosh（γi）］，（i=1，2），υi=γi/l2，γ1=1.8751，γ2=4.6941。

建模不確定與干擾力矩為：τd1=sint，τd2= cost。

仿真時間：t=25 s，控制參數為K= diag［10，6，4］，Γ=［1］，α=diag［4，3，2］，kw= 0.001，Λ=diag［2.5，2，1.5］，β=diag［5，2，1］。

PID初始值為：Kp=diag［50，50，10］，Kd= diag［100，100，5］。

圖2 載體姿態運動軌跡Fig.2 The trajectory of the base's attitude

仿真結果如圖2～圖7所示。其中，圖2為載體姿態的運動軌跡跟蹤圖；圖3為機械臂關節絞的運動軌跡跟蹤圖；圖4為機械臂關節絞的運動軌跡跟蹤誤差；圖5為漂浮基柔性臂空間機器人系統完成軌跡跟蹤所需的驅動力矩圖；圖6為柔性臂的模態坐標變化曲線圖；圖7為柔性臂末端變形曲線圖。

圖3 機械臂關節絞運動軌跡Fig.3 The trajectories of the manipulator's joints

圖4 機械臂關節絞的運動軌跡跟蹤誤差Fig.4 The trajectory tracking errors of the manipulator's joints

圖5 驅動力矩Fig.5 The driving torques

圖6 柔性臂模態坐標的變化曲線Fig.6 Curves of the mode coordinates of the manipulator

圖7 柔性臂末端變形曲線Fig.7 Curves of the flexible manipulator's deformation

由圖2和圖3可看出，在本文所提出的混合控制方法的控制下，漂浮基柔性臂空間機器人的載體姿態和機械臂的關節絞都能夠精確且穩定地跟蹤上他們的期望運動軌跡，完成控制任務；圖4可看出，本文所提出的自適應PID輸出反饋控制算法能夠適應輸出力矩受限的實際應用情況；圖6和圖7可看出，柔性臂的彈性變形得到了有效的補償，且柔性臂所引起的系統彈性振動也得到了有效的抑制，系統的控制精度和穩定性得到了保證。

6 結論

本文對柔性空間機械臂系統進行動力學分析，結合系統總質心定義得到的系統動力學方程對一組選擇的系統參數組合函數呈線性關系。使用奇異攝動理論和兩個時間尺度的假設，將系統分解為快變和慢變兩個子系統的奇異攝動模型。針對實際機器人軌跡跟蹤控制中存在的問題，慢變子系統使用自適應PID飽和輸出反饋控制，給出系統穩定性的條件；同時，快變子系統使用最優控制理論來對柔性桿的振動進行主動振動抑制。仿真結果表明，本文所提出控制算法能使系統機械臂關節快速地追蹤上期望軌跡并在短時間內對產生的振動進行抑制。此外，由于不需控制整個系統載體的位置，還大大減少了噴氣裝置的燃料消耗，延長了空間機械臂的有效使用壽命。

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Adaptive PID Output-Feedback Control of Free-floating Flexible Manipulators Space Robot with Bounded Torque Output

ZHANG Lijiao1，2，CHEN Li1，2
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou 350108，China；2.Collaborative Innovation Center of High End Equipment Manufacturing，Fuzhou 350116，China）

The control problem of the free-floating flexible manipulators space robot with bounded torque outputs was discussed.With the momentum conservation relations，system dynamics model was set up by the Lagrange method.Based on the singular perturbation method，an adaptive PID output-feedback control algorithm was designedin the slow subsystemwith only position measurements，modeling uncertainties and disturbances under space robot manipulators'coordinated motion with limited output torque，and a linear-quadratic optimal control was designed in the fast subsystem. High precision filter was used in the algorithm to estimate the joint velocity of the manipulators，which made the whole closed-loop control with only position feedback measurements.A saturation function was introduced in the control law，which guaranteed the output torque within any specified range.While an adaptive PID controller was used to compensate the modeling uncertainties and interferences.Based on Lyapunov stability theory，this algorithm is proved to be able to ensure that the control system is asymptotically stable.The simulation results based on a planar two-joint freefloating flexible manipulators space robotshow that the proposed control scheme is designed with good trajectory tracking and fast convergence.

flexible manipulators space robot；singular perturbation method；adaptive PID control；bounded output torque

TP242.3；V447

A

1674-5825（2015）06-0568-07

2014-09-10；

2015-09-08

國家自然科學基金資助項目（11372073）

張麗嬌（1989-），女，博士研究生，研究方向為空間機器人控制。E-mail：lijiaoz@126.com