骨干粒子群算法兩種不同實現的優化特性

張 震,潘再平,潘曉弘

（浙江大學工學部,浙江杭州310027）

骨干粒子群算法兩種不同實現的優化特性

張 震,潘再平,潘曉弘

（浙江大學工學部,浙江杭州310027）

總結了骨干粒子群算法（BBPSO）的一般形式,指出決定BBPSO算法本質的4個要素.BBPSO在實施中,粒子不同維度采用的隨機變量值相同或不同,這將導致算法的特性及適合的優化對象不同.記相同的為I型實現,不同的為II型實現,通過實驗指出2種實現的差別：I型實現有各向同性的優點,但是粒子多樣性差；II型粒子多樣性更優,但各向異性,使用高斯、柯西、指數和均勻分布形式的II型BBPSO都傾向于沿坐標軸尋解.從理論上分析了這些差別的成因,指出I型實現總體性能較差,只適合優化梯度變化明顯的單峰函數；II型實現總體性能較好,擅長求解峰的方向平行于坐標軸的單峰或多峰函數.

骨干粒子群算法（BBPSO）；量子粒子群算法（QPSO）；粒子多樣性；各向異性算法

骨干粒子群（bare-bone PSO,BBPSO）是一種精簡的粒子群算法,取消了粒子的速度屬性,以隨機分布的形式完成進化.第一種BBPSO由Kennedy［1］提出,用高斯分布控制粒子進化,本文記為GBBPSO.隨后,Sun等［2］在量子空間內考慮粒子行為,得出一個帶指數分布的BBPSO進化方程.這一改進算法即量子粒子群算法（QPSO）,Sun等［3］對控制參數、粒子行為和算法性能作了詳細研究.近年來對QPSO的算法改進、分析與應用是最高產的骨干粒子群研究領域［4］.GBBPSO和QPSO是影響最大的2類基本骨干粒子群形式,本文重點分析這2類BBPSO.

在PSO中,粒子以鄰域內粒子的最優解為引導決定移動位置,鄰域選擇形式稱為拓撲結構.骨干粒子群中保留了這些概念,Zhang等［5-6］考察了不同拓撲結構對BBPSO的影響,結果表明拓撲結構的優化能進一步改進算法性能.基于此,本文將拓撲形式的不同作為分析中的一個變量.

英國學者Blackwell對BBPSO研究作出了比較突出的貢獻,與Richer［7］共同提出了Levy BBPSO（LBBPSO）,使用更長尾的Levy分布替代高斯分布,從而算法有可能在群體集中時產生較大的標準差讓粒子分散,這一改進在測試函數中獲得了較好的改進效果.針對BBPSO的坍塌問題,Blackwell等［8］提出基于高斯或柯西分布的跳躍機制.從理論上研究了GBBPSO坍塌的機理［9］,指出BBPSO還有更多的改善空間.

國內外學者從多方面對BBPSO進行了改進,近幾年的主要改進如下：Hsieh等［10］在GBBPSO的基礎上,對平均值和標準差各自增加了一個調節系數；Li等［11］在QPSO的基礎上引入合作機制,利用若干臨時個體的協作完成粒子的進化；Zhang等［12］在GBBPSO的標準差中引入一個帶參數的變異項并分析了其對算法收斂性的影響,隨后在算法中引入定向混合搜索方法［13］.由于算法簡潔、調節參數少（甚至沒有）、優化性能良好,BBPSO近兩年來成功應用于經濟調度［13］、故障診斷［14］、工程優化［6,15］等領域.

盡管國內外學者對BBPSO的改進和應用進行了大量研究,但在算法特性方面,除了Blackwell［9］分析了求解坍塌機理、Zhang等［12］分析了引入的變異項對算法收斂性的影響之外,較少出現相關工作.本文首次系統地對BBPSO的尋解特性進行分析.

BBPSO在實現中,針對粒子不同維度采用的隨機變量值是否相同有兩種實現,記相同的為I型實現,不同的為II型實現.為了分析2種實現的不同特性,本文開展以下工作.首先提出BBPSO的一般形式,指出算法的4個核心因素.結合實驗指出BBPSO 2種不同實現的特性：I型實現將導致粒子多樣性較差,而使用所有主流分布（高斯、柯西、指數和均勻分布）的II型實現都將導致粒子傾向于沿著坐標軸方向尋解.本文首次提出并從理論上論證了這BBPSO的這2個特性.基于這些結論,指出2種實現各自的優缺點及適合求解的問題.

1 BBPSO算法模型

1.1 基本GBBPSO及其改進簡述

在經典粒子群算法中,粒子i將收斂于歷史最優點Pi和鄰域最優點Gi中間的某一點.受此啟發,Kennedy提出的最初GBBPSO形式如下：

式中：xid表示點Xi第d維的位置；pid和gid分別為Pi和Gi第d維的值,以Pi和Gi的平均值為中心、差絕對值為標準差的高斯分布變量為基礎完成位置進化.

除取消了速度項之外,GBBPSO與經典粒子群的最大的區別是,下一移動位置不取決于當前粒子位置,而是當前的粒子歷史最優位置.這一改變使得PSO的差分方程模型不能用于此處,從而增加了算法特性分析的困難.針對GBBPSO基本模型的改進主要有以下兩方面.

1）鄰域拓撲的改進.Zhang等［5］分析了全鄰域和局部鄰域下BBPSO的不同性能和特征.Chang等［16］研究通過增加鄰域內的粒子最優位置信息來改進高斯分布平均值,得到更好的總體性能.

2）高斯分布標準差的控制.在式（1）中,算法是不帶控制參數的.Rifaie等［8,10］增加了一個系數α來控制標準差.引進系數的優點是顯然的,對不同函數、不同進化階段都可以用來調節粒子移動幅度,從而改進算法性能.

式中：K為鄰域內粒子數量,α為標準差調節系數.結合這兩點改進之后的BBPSO如式（2）所示.

1.2 鄰域模型的表示

本文用集合的方式來表示不同的BBPSO鄰域模型.對于一個由N個粒子組成的群體,以Pi表示第i個粒子的歷史最優位置,則所有粒子最優位置的全鄰域模型可以表示為集合S：

于是粒子i的鄰域Li為S的一個子集,對于局部環狀拓撲,Li＝｛Pi－1,Pi,Pi＋1｝；對于全鄰域拓撲Li＝S.粒子鄰域最優位置Gi即Li的最優元素.

1.3 BBPSO算法一般模型的建立

引入鄰域模型后,GBBPSO進化方程（式（2））可以表示為

記ξ為標準正態分布變量,即ξ＝N（0,1）,可將進化方程進一步轉換為

式（5）為BBPSO的一般模型.應該說明的是,式（5）雖然是從高斯骨干粒子群推導而來,但適用于所有的主流骨干粒子群形式.可以看出,骨干粒子群的一般模型中只有一個控制參數α,位置進化由4個因素決定：一是鄰域Li,二是進化中心位置μ（Li）,三是離散控制項σ（Li）,四是隨機分布變量ξ.對其中每一項的不同選擇都將產生不同的變異形式,原始GBBPSO［1］、LBBPSO［7］、QPSO_Type 1［2］這3種算法,與一般模型的各項對應關系如表1所示.

表1 3種BBPSO一般模型中的參數值Tab.1 Parameter mapping of three BBPSO to general model

LBBPSO把項Pi-Gi作為范圍調節參數內置于Levy分布中；QPSO中參數φ1和φ2為服從［0,1］均勻分布的隨機變量,鄰域中除了所有粒子的歷史最優位置,還增加了粒子當前位置.值得說明的是,研究者們提出的大量不同BBPSO的變異形式,主要都是對模型中的一項或幾項的改進.

1.4 BBPSO算法的兩種實現形式

觀察一般進化方程（5）可知,Xi、μ（Li）和σ（Li）都為向量,每個維度下的值互相獨立.在算法實施中,ξ有2種處理方式：1）將ξ視為標量,即每個維度進化時選用相同的值；2）將ξ視為向量,即每個維度進化時用獨立的值.這2種實現的偽代碼如下.

其中,變量D為粒子維度.

2 I型實現特性分析

在I型實現中,ξ為標量.由式（5）可知,粒子位置由向量μ（Li）和σ（Li）線性疊加得到,這一過程不依賴于具體的坐標系,因此算法具有平移不變和各項同性的特點.

在粒子群“駐態”情況下進行分析.駐態（stagnation）是指粒子的歷史最優位置Pi和鄰域最優位置Gi都保持不變的進化狀態.

粒子多樣性是衡量粒子群算法的一個重要指標.若粒子多樣性較好,則算法有更大的可能尋找到全局最優解,因而對多峰函數的優化性能更好.從運動自由度角度來考慮,各個維度使用相同的ξ導致粒子自由度降低,這必然導致粒子多樣性較差.分析GBBPSO和QPSO這2類形式在這種低粒子自由度下的表現.從粒子多樣性分析出發,首先通過對實驗說明GBBPSO和QPSO的I型實現將導致粒子沿著（或經過若干次迭代之后沿著）一條直線運動,然后從理論上說明這一現象的必然性.

2.1 粒子多樣性實驗

圖1 II型實現在二維下粒子的運動軌跡Fig.1 Particle trajectory of BBPSO-I in two-dimensional space

實驗1 選取算法形式為GBBPSO和QPSO的I型實現（算法詳情見表1）,系數α設為1,維度為2,固定Pi坐標為（30,60）,Gi為（60,－30）.粒子迭代100次,記錄運動軌跡.

實驗結果如圖1所示.可見,GBBPSO粒子運動完全沿著直線PG運動；QPSO粒子在經過10次左右迭代之后,軌跡完全進入直線PG.

2.2 理論分析

BBPSO一般模型中的離散控制項σ（Li）有2種情況：一種是只由鄰域內的粒子歷史最優位置Pi決定,如GBBPSO；另一種還將受粒子當前（或更早）位置Xi決定,如QPSO.圖2的2種粒子運動軌跡顯示了這兩種情況的區別,下面分析這兩種情況下的粒子特性.

定理1 對于I型實現,若BBPSO的離散控制項只由Li決定,則在鄰域狀態為的駐態中,粒子將只沿著經過點μ）、方向為σ（）的直線運動.

這一結果是顯然的,將隨機變量ξ視為自變量,由式（5）可得粒子的運動軌跡為

對于QPSO,進化中心μ（Li）實際上是由一個均勻分布變量產生的直線分布.此外,在離散控制項中加入了當前位置,對該類變異形式有以下結論.

定理2 對于I型實現,如果BBPSO符合2個條件：1）σ（Li）與μ（Li）具有相同的位置分布；2）離散控制項形式為σ（Li）－Xi,即粒子的當前位置會影響下一時刻的位置.在駐態中,粒子隨著迭代的進行將以概率1落入由σ（Li）概率分布所在的直線中.

證明：包含Xi項之后,離散控制項在駐態中并非為固定值,進化方程轉變為

對t取極限,再對式（7）兩邊求期望值,可得

由于ξ和Xi、ξ和μ（Li）之間都相互獨立,結合條件1）,從式（7）可得

即粒子位置的期望在μ（Li）的分布中心.若μ（Li）的分布為直線PG,則隨著迭代進行粒子落在PG上的概率為1.一旦落入PG上的任意一點,從式（7）可知,粒子將再不能逃離出直線PG.定理2得證.

QPSO中μ（Li）的分布即為連接Pi和Gi的直線PG,由定理2可知,實驗1中QPSO粒子在迭代若干次之后進入直線PG是必然的.孫俊在改進算法QPSO_Type 2中創造性地在σ（Li）項中引入“平均最優位置”,本質是使算法的σ（Li）與μ（Li）不相等,算法不再滿足條件1,粒子多樣性得到增強,從而獲得更好的總體性能.

3 II型實現特性分析

在II型實現中,ξ為矢量,每一個維度互相獨立,對σ（Li）各個維度的值根據其離坐標原點的遠近進行不同程度的放大（或縮小）,因此算法求解過程受坐標系選取的影響.

首先通過對GBBPSO和QPSO 2種骨干粒子群的II型實現進行實驗分析,指出II型實現粒子多樣性優于I型,但是有傾向于沿著坐標軸尋解的現象,隨后從理論上分析了該現象的產生.

3.1 粒子多樣性實驗

實驗2 選取算法形式為GBBPSO的II型實現,設置維度為2,固定Pi坐標為（30,60）,Gi為（60,－30）.粒子迭代100次,記錄運動軌跡.

實驗結果如圖2所示,可見粒子不再像I型實現一樣陷入一條直線,而是擴展到了全空間.這意味該粒子的空間多樣性優于I型實現,從而對多峰函數的優化性能更好,這是算法提出者使用II型實現的原因.

圖2 II型GBBPSO實現在二維下粒子的運動軌跡Fig.2 Particle trajectory of GBBPSO-II in two-dimensional space

3.2 坐標軸偏向實驗

前文已指出算法求解過程受坐標系選取的影響,筆者通過BBPSO的II型實現對函數優化時的粒子特性來進一步觀察這一點.

實驗3 選取算法形式為GBBPSO和QPSO的II型實現,優化目標函數為坐標距離原點偏離（100,200）的二維Sphere函數,即

設置系數α為1,粒子數量為10 000,初始化位置為［－100,100］范圍均勻分布.迭代10次后,記錄所有粒子的位置,粒子散點圖如圖3所示.

圖3 II型實現迭代10次后粒子分布Fig.3 Particles distribution of BBPSO II after 10 iterations

從圖3可以看出,不論是GBBPSO還是QPSO的粒子在迭代10次后,都以點（100,200）為中心,沿著坐標軸方向呈十字形分布.

為了進一步分析該現象,引入粒子“速度”的概念,即

重新以GBBPSO運行一次實驗3,每次迭代中保存粒子群的當前位置以及上一次位置,用以計算粒子“速度”.在第10次迭代時記錄所有粒子的速度,統計速度與x軸夾角θ的分布,結果如圖4所示.圖中,N為分布在θ角度的粒子數.可以看出,大部分粒子都沿著與x軸夾角為－90°、0°和90°的方向運動,即坐標軸方向.這一結果進一步確認了粒子的坐標軸偏向現象.

圖4 GBBPSO II型實現粒子移動速度的角度分布Fig.4 Velocity angle distribution of GBBPSO II

該現象不是實驗3中的設置導致的,使用其他目標函數、在更高維度下,也有坐標軸偏向的問題.

3.3 理論分析

Spears等［17］分析了標準粒子群中的坐標軸偏向問題,實驗3說明BBPSO的II型實現有坐標軸偏向問題.以下將說明II型實現中使用的隨機分布與這一現象之間的內在關系.

為了方便敘述,分析中略去粒子下標i.設在t時刻粒子位置為X,迭代一次之后位置為X′,則由式（5）有

二維下,速度V＝X′－X表示為

記ai＝μi（L′）－μi（L）,bi＝α·σi（L′）,ci＝－α·σi（L）,則速度V及其夾角θ簡化為

無論ξ取何種分布,取值多少,θ都有一個伴隨角度,記為θ*：

通過實驗4來分析θ隨θ*的變化情況.

實驗4 a1、a2、b1、b2、c1和c2這6個參數以高斯分布N（0,1 000）隨機取值,按照式（15）、（16）計算θ和θ*.分別取ξ為標準高斯、柯西、指數和［0,1］均勻分布,在每種分布下重復計算θ和θ*共1.8×107次；然后將θ*按照角度離散為180個區間,計算每個區間中θ的平均值和方差,結果如圖5所示.

由圖5可知,柯西分布與高斯分布的結果類似,指數分布和均勻分布的結果類似.觀察高斯分布的結果可知,θ的平均值都為0,但各個角度的θ的標準差呈現出一種規則的變化.當θ*為0°時,標準差為0,此時為一個穩定的狀態；當θ*遠離0°時,標準差不斷擴大,有一種將角度推向坐標軸方向的趨勢.當θ*為90°時,標準差為90,由于θ最大值為180°,可知此時θ只有0°和180°兩種狀態,即粒子速度都沿坐標軸方向.

指數分布和高斯分布的實驗結果稍有區別.當θ為－90°、0°、90°時,標準差都為0,穩定地沿著坐標軸方向.當角度偏離時,標準差增大,有將角度推向坐標軸方向的趨勢.

圖5 實現II中ξ取不同分布時θ的平均值和方差分布Fig.5 Expectation and deviation ofθin BBPSO II under different distribution ofξ

實現II的坐標軸偏向現象本質上是由采用的隨機分布導致的,各個分布的表現略有不同,但都導致同樣的偏向現象.

對于實現I,各個方向的ξ相同,即

圖6 實現I中取高斯分布時θ的平均值和方差分布Fig.6 Expectation and deviation ofθin BBPSO I

用高斯分布形式的實現I重復試驗4,可得相應的結果如圖6所示.與實現II不同,此時θ隨θ*均勻變化,方差恒為0.這進一步說明實現I是各項同性的.

上述說明了BBPSO實現II中若采用上述4種分布,都將導致粒子傾向于沿著坐標軸運動.GBBPSO采用的是高斯分布,QPSO采用的是指數分布,LBBPSO中的Levy分布實際上是高斯分布和柯西分布的混合,因此這3種算法都是各向異性的,且有坐標軸偏向現象.注意到論證過程中未使用駐態假設,此外與目標函數、算法參數設置都無關,因此坐標軸偏向是實現II導致的BBPSO的本質特點.

4 求解性能分析

由于2種實現具有不同的粒子運動特點,這必然導致不同的優化特性.本節分析2種實現的不同求解性能.

對于實現I,由于粒子易沿著直線尋解,在迭代早期將更快速地收斂.隨著迭代的進行,對多峰函數的求解非常容易陷入局部最優,對梯度變化不明顯的單峰函數則容易求解收斂于并非全局最優解的某一點.只有對梯度明顯的單峰函數才能獲得較好的優化性能.

對于實現II,粒子多樣性增強,因而總體求解性能較好.由于各向異性的特點,對同一函數在某些旋轉角度下優化性能較差.由坐標軸偏向現象可知,若“峰”的形狀不平行于坐標軸,則將導致求解困難；當峰形狀平行于坐標軸時,求解將非常高效.

采用2組實驗來驗證上述分析.優化對象為畸變的2維Sphere（F1）和Rastrigin（F2）函數、30維Rosenbrock（F3）和Rastrigin（F4）函數,最小值都為0,初始化和求解范圍統一設置為［－100,100］.

實驗5 分別選用GBBPSO的I型和II型實現,對函數F1和F2在各個旋轉角度下進行優化.設置粒子數為40,迭代次數為500.在每個旋轉角度下,計算重復10次,記錄最優目標函數值的平均值,結果如圖7所示.

圖7中,ln f為目標函數值的自然底數對數,由于計算精度表達限制,當函數值為0時,縱坐標記為－300.可見,實現II在不同旋轉角度下性能差別巨大,當旋轉角度在0°、90°和180°附近時效果最好.實現I則保持穩定的求解性能,對單峰函數F1的任意旋轉角度能都找到最優解,但是對多峰函數F2的表現遠不如實現II.

實驗6 分別以I型和II型GBBPSO求解F3和F4,粒子數為20,迭代200次,結果如圖8、9所示.圖中,ni為迭代次數.

I型實現在最初的迭代中性能遠遠優于II型,但是求解過程容易塌陷,過早收斂.II型實現則保持穩定良好的求解勢頭,在長期的迭代中性能遠優于I型,這進一步驗證了分析結果.

圖7 2種不同實現在函數旋轉時的性能區別Fig.7 Performance comparisons on rotated functions

圖8 2種不同實現在Rosenbrock函數上的對比Fig.8 Performance comparisons on Rosenbrock function

圖9 2種不同實現在Rastrigin函數上的對比Fig.9 Performance comparisons on Rastrigin function

5 結 語

本文首先提出了骨干粒子群算法的一般模型.該模型包含1個控制參數α以及4個核心因素：鄰域選擇、進化中心位置、離散控制方式以及隨機分布的類型.采用該模型分析算法的2種不同實現,可得以下結論.

（1）I型實現是各項同性的,但是由于各個維度使用同一個隨機變量,導致粒子自由度降低,粒子多樣性差.對于GBBPSO和QPSO這2種基本形式來說,在駐態時,粒子將沿著（或趨向于沿著）一條直線運動；當群體進化到另一個駐態時,粒子只是切換一條直線尋解.

（2）II型實現粒子多樣性較好,但是對于目前使用的4種主流隨機分布（高斯、柯西、指數及均勻分布）,粒子都有趨向于沿著坐標軸尋解的趨勢.

根據沒有免費午餐理論［18］可知,不可能找到對所有優化函數都能取得最優結果的隨機算法.每種算法都具有特定的優點和缺點,在應用中應該根據優化問題的特性來選擇合適的算法.本文工作的目標是討論BBPSO算法的特點,分析2種實現各自擅長的求解問題.在應用中,若求解目標是簡單單峰函數,則可用實現I求解；若不是,則應該用實現II求解.若了解函數的特征,則可以考慮將坐標系旋轉到合適的角度再進行求解.

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Different implementations of bare bones particle swarm optimization

ZHANG Zhen,PAN Zai-ping,PAN Xiao-hong
（Faculty of Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China）

A general bare bones particle swarm optimization（BBPSO）form was presented,which consists of four key elements.In the implementation of BBPSO,whether the different dimensions of a particle use the same random variable or not conduct to two different algorithms.Denote the former as BBPSO-I,and the latter as BBPSO-II.Experimental results indicate that BBPSO-I is a rotational invariant algorithm with poor swarm diversity,while BBPSO-II is rotational variant with better swarm diversity and general performance.The using of Gaussian,Cauchy,Exponential or Uniform distribution makes particles of BBPSO-II tend to move along the axes.These features were clarified by theoretical analysis.Some advice on the application of BBPSO was given.BBPSO-I is suitable for unimodal functions with obvious gradient descent,while BBPSO-II obtains generally better performance,especially on optimizing functions with peaks along axes.

bare bones particle swarm optimization（BBPSO）；quantum particle swarm optimization（QPSO）；swarm diversity；rotational variant algorithm

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.07.021

TP 301

A

1008- 973X（2015）07- 1350- 08

2014- 04- 24. 浙江大學學報(工學版)網址：www.journals.zju.edu.cn／eng

張震（1986－）,男,博士,從事算法分析、變壓器設計的研究.ORCID：0000-0002-6437-7195.E-mail：colabh＠hotmail.com

潘再平,男,教授.E-mail：panzaiping＠zju.edu.cn