綜合模態控制力下壓電致動器的優化布局

楊依領,婁軍強,魏燕定,傅 雷,田 埂,趙曉偉

（1.浙江大學現代制造工程研究所浙江省先進制造技術重點研究實驗室,浙江杭州310027；2.寧波大學機械與力學學院,浙江寧波315211）

綜合模態控制力下壓電致動器的優化布局

楊依領1,婁軍強2,魏燕定1,傅 雷1,田 埂1,趙曉偉1

（1.浙江大學現代制造工程研究所浙江省先進制造技術重點研究實驗室,浙江杭州310027；2.寧波大學機械與力學學院,浙江寧波315211）

針對智能撓性結構中致動器的優化布局問題,在分析撓性結構動力學方程和狀態空間方程的基礎上,采用模態理論,對系統控制矩陣進行奇異值分解,提出一種表征最大綜合模態控制力的評價準則,該評價準則兼顧保留模態和截斷模態對模態控制力的影響,綜合考慮模態權重.最后以粘貼有壓電致動器／應變傳感器的撓性梁為例,通過理論計算和改進的遺傳算法進行優化分析,得到綜合模態控制力最大時壓電致動器的布局位置,并建立實驗測控系統進行驗證.實驗結果表明：采用優化結果中的致動器布局時,系統具有較好的綜合模態控制力,控制效果也更優,所提出的評價準則和優化方法是可行的.

智能撓性結構；綜合模態控制力；壓電致動器；優化布局

由于具有質量輕、操作空間大、發射成本低和能耗低等優點,撓性結構被廣泛地應用在航空航天領域［1-2］.然而,在使用過程中,撓性結構因自身低剛度、低阻尼和低固有頻率等特性,很容易產生彈性振動,影響系統的性能,因此需要對撓性結構進行振動控制研究［3］.

壓電材料制成的致動器具有頻響寬、響應速度快和動態性好等優點,被廣泛地應用于智能撓性結構的主動振動控制［4-5］.致動器／傳感器的布局位置密切影響著撓性結構的控制性能,不當的布局位置會導致系統產生控制和觀測溢出等問題［6］,因此,有必要對智能撓性結構中致動器／傳感器的優化布局進行研究.

對于撓性結構中致動器／傳感器的優化布局問題,國內外許多研究者進行了相關研究.系統能控性／能觀性準則廣泛地應用在致動器／傳感器的優化布局中,錢鋒等［7］研究模態能控準則下致動器／傳感器的優化布局問題.考慮致動器的致動能力,Lindberg等［8］研究了簡單控制力準則下致動器的優化布局問題；考慮到模態截斷會導致溢出效應,Ambrosio等［9］和邱志成［10］通過采用H2范數準則,研究了智能結構中致動器／傳感器的布局問題；Bruant等［11］和Nestorovic等［12］在系統能控性／能觀性的基礎上,通過考慮截斷模態來限制溢出效應,提出了一種改進的控制力準則,并對簡支板上的壓電致動器進行了優化布局研究.然而,對于智能撓性結構而言,振動具有多模態特性［13］,在實際應用中,傳感器一般與致動器同位布局,而致動器的致動能力又往往有限,為了使控制效果達到最佳,又希望致動器對受控模態具有最大控制力［14］,因此需要對在綜合模態下如何實現致動器的控制力最優這一問題,進行深入地研究.

針對智能撓性結構中致動器的優化布局問題,本文首先提出一種表征最大綜合模態控制力的評價準則,然后以粘貼有壓電致動器／應變傳感器的撓性梁為例,通過理論計算和改進的遺傳算法進行優化分析,得到綜合模態控制力最大時壓電致動器的布局位置,最后建立實驗測控系統驗證所述評價準則和優化方法的有效性.

1 系統建模

描述撓性結構振動的動力學方程一般可以表示為

式中：M為質量矩陣,K為剛度矩陣,F（t）為廣義力矢量,x（t）為位移矢量.

考慮撓性結構的阻尼效應,得到撓性結構動力學方程的常微分方程形式：

式中：D為阻尼矩陣.

對式（2）作模態變換,得到撓性結構振動的模態坐標方程：

式中：q（t）為廣義模態坐標矢量；Dm、Km和Bm分別為進行模態變換后的阻尼矩陣、剛度矩陣和控制矩陣；u（t）為輸入矩陣.

為了對撓性結構進行特性分析,引入狀態變量X（t）,得到撓性結構動力學方程的狀態空間表達形式：

式中：X（t）為狀態變量,是2k×1矩陣；Y（t）為輸出變量,是p×1矩陣,具體表達式如下：

As,Bs,Cs分別為2k×2k狀態矩陣、2k×r控制矩陣和p×2k輸出矩陣,具體表達式如下：

式中：ζk為第k階模態阻尼比,ωk為第k階固有頻率,Bjr是與致動器位置有關的振型函數,Cpj是與傳感器位置有關的振型函數,j等于2k.

2 評價準則

系統能控性用來分析輸入變量u（t）對狀態變量X（t）的控制能力,由系統狀態方程中的狀態矩陣As和控制矩陣Bs決定,而狀態矩陣As取決于系統結構和內部參數,控制矩陣Bs則取決于控制力的施加位置.在智能撓性結構中,受致動器致動能力的制約,有必要對致動器的位置進行優化布局,希望致動器對受控模態具有最大控制力,以使控制效果達到最佳［14］.

根據式（4）,致動器控制力的表達式為

將式（5）兩邊分別左乘其轉置矩陣,得到

采用奇異值分解,令Bs＝WSNT

式中：W為2k×2k矩陣,WTW＝I；N為r×r矩陣, NTN＝I；S為2k×r矩陣,其表達式如下：

代入式（6）,并進行簡化可得

將v＝NTu代入式（7）,并進一步簡化得到

式中：Δi代表矩陣S中第i行第i列的元素.

由于vTv＝uTu,從能量輸入的角度來看,輸入變量v與輸入變量u等價.由式（8）可知,模態控制力與參數Δi和輸入變量vi有關,參數Δi的大小取決于致動器的位置和大小；參數Δi越大,用于抑制撓性結構振動的輸入變量越小；在同等輸入情況下,致動器所能產生的模態控制力也越大.

對于保留的模態,也就是受控模態,模態控制力越大,代表控制力越強,容易達到較好的控制效果；而對于未考慮的截斷模態,由于不需要進行控制,故希望模態控制力越小越好.因此,定義如下所示考慮模態權重比值的最大綜合模態控制力評價準則

式中：1≤i≤d1,d1為保留的模態數；1≤j≤d2,d2為截斷的模態數；1／ζiωi為第i階模態的權重,其大小反映了不同階次模態控制力能所占的比重.

由式（9）可知,Δi越大,受控模態的控制力越大；Δj越小,不予考慮的模態控制力越小；提出的綜合考慮模態權重比值的最大模態控制力評價準則的數值也越大,致動器所處位置也越好；當評價準則取最大值時,致動器所處布局位置最優.

3 改進的遺傳算法

針對日益出現在各領域中的多種復雜優化問題,一些學者提出采用仿生智能優化算法進行求解.其中,粒子群算法和遺傳算法是2種常用而典型的智能優化算法.粒子群算法較為簡單、易于實現,然而其理論基礎尚未完善、收斂速度較慢,容易陷入局部最優解,從而影響求解精度［15］.

遺傳算法具有算法簡單、尋優過程自適應和能夠并行處理等優點,廣泛應用于參數估計、函數優化和控制系統的最優設計等領域.但是傳統的遺傳算法存在容易早熟收斂和后期搜索效率較低的缺點,為了提高求解精度和算法求解效率,本文采用改進的遺傳算法進行求解.

與二進制編碼相比,浮點數編碼求解精度更高,無需解碼,使用起來更為方便.因此,根據數學模型所確定的搜索空間,將致動器位置xasn這一待優化變量,直接組成染色體串進行編碼.

與標準遺傳算法相比,自適應遺傳算法的交叉算子和變異算子可以根據個體適應度值進行相應改變,提高遺傳算法的求解效率和收斂能力,因此,交叉算子和變異算子可采用如下公式進行自適應調整［16］：

式中：zmax為種群中最大適應度值,zavg為種群的平均適應度值,z′為可能進行交叉的2個個體中較大的適應度值,z為要變異的個體適應度值；h1、h2、h3、h4∈［0,1］.

4 算例分析

具體的針對貼有n組壓電致動器的智能撓性梁結構,如圖1所示,撓性梁的長、寬和高分別為Lb、bb和hb,壓電致動器的寬和高分別為ba和ha,第n組壓電致動器起始和終止位置距梁固定端的距離分別為xasn和xaen.

圖1 智能撓性梁模型示意圖Fig.1 Model of smart flexible beam

假設撓性梁為Euler-Bernoulli梁模型,同時忽略壓電致動器的引入對原撓性梁系統的影響,以n組壓電致動器的控制電壓作為輸入變量,則智能撓性梁的控制矩陣為

φk（x）為一端固定一端自由邊界條件下,撓性梁的第k階模態振型函數,具體表達式如下：

式中：βk為第k階無量綱彎曲振動頻率,由撓性梁頻率方程（15）確定.

聯合控制矩陣Bs和評價準則F,最終建立撓性梁系統致動器優化布局問題的數學模型如下：

選取撓性梁的幾何尺寸Lb、bb和hb分別為620.0、30.0和3.0 mm,Eb＝34.6 GPa,ρb＝1 840 kg／m3.選取壓電致動器的La、ba和ha分別為40.0、10.0和0.8 mm,Ea＝117.0 GPa,密度ρa＝7 500 kg／m3,d31＝187×10－12C／N.設定撓性梁的模態阻尼比分別為0.02、0.01和0.006.

考慮到二階以上的模態對撓性梁系統的輸出貢獻非常小,首先研究單組壓電致動器的優化布局問題,如圖2所示給出了單組壓電致動器位置與評價準則F之間的對應關系.圖2（a）僅僅選取了撓性梁的一階模態作為保留模態,而圖2（b）則選取了撓性梁的前兩階模態作為保留模態.從圖2中可以看出,選取的保留模態不同時,致動器位置與評價準則F的關系曲線明顯不同,同時將單組壓電致動器布局在撓性梁根部時,評價準則F最大,綜合模態控制力也最大.

圖2 單組致動器位置與評價準則F關系圖Fig.2 Relationship between evaluation criteria F and location of single actuator

為了佐證評價準則的普適性,采用改進遺傳算法對2組壓電致動器的位置進行優化,并與理論計算結果相比較.取撓性梁的前兩階模態作為保留模態,撓性梁的第3階模態作為截斷模態,遺傳算法初始參數設置如下：群體規模15,最大進化代數50,遺傳優化過程如圖3所示,圖中G代表進化代數,R代表適應度函數,與評價準則F成倒數關系.由圖3可知,適應度函數R在40代左右收斂到最優值.

圖3 平均及最佳適應度的優化過程Fig.3 Optimization process of mean and best ftness

經過多次優化,當一組壓電致動器布局在距撓性梁根部0.004 m處,另一組壓電致動器布局在0.278 m處時,F取得最優解.如圖4所示給出了多組壓電致動器優化布局位置與評價準則的關系曲線,與優化結果對比可知：采用2組壓電致動器對撓性梁的前兩階模態進行控制時,一組致動器布局在撓性梁根部,另一組致動器布局在撓性梁中部時,獲得的綜合模態控制力最大.

圖4 多組致動器位置與評價準則F關系圖Fig.4 Relationship between evaluation criteria F and location of multiple actuators

5 實驗研究

建立如圖5所示的智能撓性梁實驗系統,撓性梁采用環氧樹脂材料制成.根據算例分析結果,并考慮實驗布線情況,在距離撓性梁的根部25和280 mm處分別對稱地粘貼一組壓電致動器（PZT-5型壓電材料制成）.為了檢測撓性梁的變形,在撓性梁根部粘貼有一組采用半橋接法的應變傳感器（電阻應變片,電阻值120Ω,靈敏度系數2.08）.

研制的最大放大倍數5 000的應變放大器,可將撓性梁的彈性變形轉換放大為±10 V的電壓信號；數據采集卡采用研華科技PCI-1742U多路數據采集卡,可以實現數據A／D、D／A轉換；研制的以運算放大器3 583芯片為核心的功率放大器,可將D／A轉換后的±10 V電壓信號放大輸出為±150 V.

實驗研究包括模態特性實驗、綜合模態主動激振實驗和沖擊信號下的振動控制實驗.通過沖擊錘敲擊激起撓性梁的自由振動,經過計算,得到撓性梁前兩階模態的固有頻率和阻尼比的理論值和實驗值如表1所示,其中f1、f2分別代表撓性梁的一階、二階固有頻率,ζ1、ζ2分別代表撓性梁的一階、二階模態阻尼比.

圖5 智能撓性梁實驗系統Fig.5 Experimental system of smart flexible beam

由表1可知,撓性梁固有頻率的實驗值與理論值有些差異,為了消除理論計算中忽略的黏結層和材料實際特性等因素對優化結果的影響,需要對優化結果中的致動器的布局效果進行實驗驗證.

表1 前兩階模態的固有頻率和阻尼比Tab.1 Natural frequency and damping ratio of first two modes

對布局在撓性梁根部和中部的壓電致動器分別施加16 s的綜合模態激勵信號為

在根部致動器施加綜合模態激勵信號,粘貼在撓性梁根部的應變傳感器的輸出信號如圖6（a）所示,其中U為傳感器時域輸出,t為時間；對中部致動器施加相同激勵信號后,應變傳感器的輸出信號如圖6（b）所示,2種情況下頻域信號的對比情況如圖7所示,其中M為傳感器頻域輸出,f為頻率.

圖6 不同位置致動器激勵下應變傳感器時域信號Fig.6 Time domain response of strain sensors actuated by piezoelectric actuators in different position

圖7 不同位置致動器激勵下應變傳感器頻域信號Fig.7 Frequency response of strain sensors actuated by piezoelectric actuators in different position

圖6和7實驗結果表明：在綜合模態激勵信號f（t）的作用下,雖然在10 s以后,布局在撓性梁中部的壓電致動器激起的綜合模態振動略大,但從總體來看,布局在撓性梁根部的壓電致動器激起的綜合模態振動更大,這說明對于撓性梁的綜合模態振動,單組壓電致動器布局在根部比布局在中部時,致動能力更強,綜合模態控制力也更大.

如圖8所示給出了經模態提取后得到的撓性梁一階模態響應.實驗結果表明：在相同激勵信號作用下,布局在撓性梁根部的壓電致動器激起的一階模態振動更大；這說明對于撓性梁的一階模態振動,單組壓電致動器布局在根部時比布局在中部時,致動能力更強,一階模態控制力也更大.而對于撓性梁系統,其一階模態占主導地位,因而根部致動器的綜合模態控制力也更大.

圖8 不同位置致動器激勵下撓性梁的一階模態響應Fig.8 Response of first mode of beam actuated by piezoelectric actuators in different position

為了從控制效果的角度來比較不同布局位置下壓電致動器的控制性能,在撓性梁的中部施加一沖擊激勵信號,并采用負反饋控制對撓性梁的振動進行抑制,如圖9所示給出了利用布局在撓性梁根部、中部的壓電致動器進行振動抑制的實際控制效果曲線,從圖中可以看出,根部和中部壓電致動器均能較為有效地抑制撓性梁的振動,但根部致動器的控制效果明顯要優于中部,因此,當采用單組壓電致動器時,將壓電致動器布局在撓性梁根部,所獲得的綜合模態控制力更大.

如圖10所示給出了僅利用根部壓電致動器和同時利用根部、中部壓電致動器進行振動抑制的實際控制效果曲線,從圖中可以看出,同時利用根部、中部壓電致動器的控制效果要優于僅利用根部壓電致動器,因此,當采用2組壓電致動器時,一組布局在撓性梁根部,另一組布局在撓性梁中部時,所獲得的綜合模態控制力更大.

圖9 單組致動器控制時應變傳感器的時域信號Fig.9 Time domain response of strain sensors for single actuator

圖10 單組與多組致動器控制時的應變片傳感器的時域信號Fig.10 Time domain response of strain sensors for single and multiple actuators

綜上,對比實驗結果和算例分析可知：在相同激勵信號下,當采用單組壓電致動器時,將致動器布局在撓性梁根部時,獲得的綜合模態控制力最大,當采用多組壓電致動器時,分別將其布局在撓性梁根部和中部時,所獲得的綜合模態控制力更大,與算例分析結果一致.

6 結 語

采用提出的表征最大綜合模態控制力的評價準則,對智能撓性結構中致動器的優化布局問題進行了研究,理論分析和實驗結果表明：采用優化結果中的致動器布局位置時,系統具有更好的綜合模態控制力,振動抑制效果也更優,所提出的評價準則和優化方法是可行的.雖然文中選擇的梁為簡單的撓性梁結構,但研究方法可以延伸到其他復雜的智能撓性板殼結構上,從而豐富了致動器優化布局的方法.

（References）：

［1］RAMOS F,FELIU V,PAYO I.Design of trajectories with physical constraints for very lightweight single link flexible arms［J］.Journal of Vibration and Control, 2008,14（8）：1091-1110.

［2］朱燈林,呂蕊,俞潔.壓電智能懸臂梁的壓電片位置、尺寸及控制融合優化設計［J］.機械工程學報,2009,45（2）：262-267.

ZHU Deng-lin,LV Rui,YU Jie.Integrated optimal design of the PZT position,size and control of smart cantilever beam［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering,2009,45（2）：262-267.

［3］魏燕定,婁軍強,呂永桂,等.振動主動控制中性二次型最優控制問題研究［J］.浙江大學學報：工學版,2009, 43（3）：420-424.

WEI Yan-ding,LOU Jun-qiang,LV Yong-gui,et al.Research on linear quadratic optimal control problem in active vibration control［J］.Journal of Zhejiang University：Engineering Science,2009,43（3）：420-424.

［4］HU Q L,MA G F.Vibration control of flexible spacecraft actuated by piezoceramics via variable structure strategy［J］.Journal of Harbin Institute of Technology, 2007,14（5）：604-608.

［5］DUTTA R,GANGULI R,MANI V.Swarm intelligence algorithms for integrated optimization of piezoelectric actuator and sensor placement and feedback gains［J］.Smart Materials&Structures,2011,20（10501810）：1-14.

［6］GURSES K,BUCKHAM B J,PARK E J.Vibration control of a single-link flexible manipulator using an array of fiber optic curvature sensors and PZT actuators［J］.Mechatronics,2009,19（2）：167-177.

［7］錢鋒,王建國,汪權,等.基于模態應變能分布的壓電致動器／傳感器位置優化遺傳算法［J］.振動與沖擊, 2013,32（11）：161-166.

QIAN Feng,WANG Jian-guo,WANG Quan,et al.Optimal placement of piezoelectric actuator／sensor using genetic algorithm based on modal strain energy distribution［J］.Journal of Vibration and Shock,2013,32（11）：161-166.

［8］LINDBERG R E,LONGMAN R W.On the number and placement of actuators for independent model space control［J］.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1984,7（2）：215-221.

［9］AMBROSIO P,RESTA F,RIPAMONTI F.An H2norm approach for the actuator and sensor placement in vibration control of a smart structure［J］.Smart Materials and Structures,2012,21（12）：125016.

［10］邱志成.撓性板振動抑制的敏感器與驅動器優化配置［J］.宇航學報,2002,23（4）：30-36.

QIU Zhi-cheng.Optimal placement of sensors and actuators for flexible plate of vibration suppression［J］.Journal of Astronautics,2002,23（4）：30-36.

［11］BRUANT I,PROSLIER L.Optimal location of actuators and sensors in active vibration control［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures,2005,16（3）：197-206.

［12］NESTOROVIC T,TRAJKOV M.Optimal actuator and sensor placement based on balanced reduced models［J］.Mechanical Systems and Signal Processing, 2013,36（2）：271-289.

［13］SUN D,MILLS J K,SHAN J,et al.A PZT actuator control of a single-link flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement［J］.Mechatronics,2004,14（4）：381-401.

［14］WANG Q,WANG C M.A controllability index for optimal design of piezoelectric actuators in vibration control of beam structures［J］.Journal of Sound and Vibration,2001,242（3）：507-518.

［15］BIGLAR M,MIRDAMADI H R,DANESH M.Optimal locations and orientations of piezoelectric transducers on cylindrical shell based on gramians of contributed and undesired Rayleigh-Ritz modes using genetic algorithm［J］.Journal of Sound and Vibration,2014, 333（5）：1224-1244.

［16］SRINIVAS M,PATNAIK L M.Adaptive probabilities of crossover and mutation in genetic algorithms［J］.Systems, Man and Cybernetics,1994,24（4）：656-667.

Optimal placement of piezoelectric actuators using synthetic modal control force

YANG Yi-ling1,LOU Jun-qiang2,WEI Yan-ding1,FU Lei1,TIAN Geng1,ZHAO Xiao-wei1
（1.Institute of Manufacturing Engineering,Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology of Zhejiang Province,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China；2.College of Mechanical Engineering and Mechanics,Ningbo University,Ningbo 315211,China）

This paper dealt with the optimal placement of actuators in smart flexible structures.Based on the analysis of dynamic equations and state space equations of flexible structures,the modal theory was adopted and the singular value decomposition of control matrices was employed.Then,a criterion of the maximum synthetic modal control force was proposed.The criterion involved the effect of reserved and residual modes to the modal control force.Meanwhile,modal weights were considered.Finally,a flexible beam with piezoelectric actuators／strain sensors was chosen as an example,theoretical calculations and the improved genetic algorithm were used for the optimal analysis.Thus,the optimal positions of piezoelectric actuators with maximum synthetic modal control force were found,and an experimental system was set up to verify the proposed method.The experimental results demonstrate that the system has a good synthetic modal control force and control effect by using the optimal placement result of actuators.The proposed evaluation criterion and optimal method is feasible.

smart flexible structures；synthetic modal control force；piezoelectric actuators；optimal placement

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.05.005

TP 24；TH 113

A

1008-973X（2015）05-0841-07

2014-10-17. 浙江大學學報（工學版）網址：www.journals.zju.edu.cn／eng

國家自然科學基金資助項目（51375433）；浙江省自然科學基金資助項目（LY13E050008）.

楊依領（1987－）,男,博士生,從事振動主動控制、壓電應用等方面研究.E-mail：meyangyl＠zju.edu.cn

魏燕定,男,教授.E-mail：weiyd＠zju.edu.cn