基于多目標有效全局優化算法的直線感應電動機優化設計

宮金林　王秀和

（山東大學電氣工程學院　濟南　250061）

基于多目標有效全局優化算法的直線感應電動機優化設計

宮金林王秀和

（山東大學電氣工程學院濟南250061）

直接針對有限元模型的電機優化設計周期長、效率低。多目標有效全局優化算法基于Kriging代理模型引導采樣，從而可以減少優化過程中有限元模型的迭代次數，縮短優化設計周期，并且保證了優化結果的準確度。同時將并行計算的方法與多目標有效全局優化算法相結合，進一步提高了算法的效率。最后成功地將該算法應用于直線感應電動機的三維有限元模型的優化設計中，得到了經過有限元模型分析值組成的二維Pareto最優前沿解集，為基于有限元模型的直線感應電動機優化設計提供了新方法。

多目標有效全局優化Kriging代理模型三維有限元模型直線感應電動機

0　引言

由于直線電動機及其系統具有結構簡單、加速度大、傳動零部件間機械損耗少、噪聲低等優點，使得直線電動機技術在最近幾十年來得到了迅速的發展，其研究也更加的深入和廣泛，應用效果也越來越好。因此越來越多的科研機構、高校加入到直線電動機技術研究的行列中，同時更多的公司開始開發、制造和采用直線電動機技術[1]。

隨著計算機輔助設計技術的不斷完善和發展，一些數值分析方法，為電機設計及控制提供了新的途徑，大大縮短了產品的設計周期并降低了開發成本。有限元分析方法可以應用于任何微分方程所描述的各類物理場中，并且在電磁場問題的求解中取得了很好的效果，也是現今電機設計中應用最為廣泛的方法之一[2]。相比于二維有限元方法，用三維有限元方法對直線電動機進行分析，不但可以考慮所用材料的非線性、縱向邊端效應，還可以同時考慮橫向邊端效應，獲得較高的計算準確度[3]。

電機優化設計是一個分析—修改—再分析的循環迭代過程，需要多次調用仿真模型對性能進行比較和評估。三維有限元模型計算準確度高，但是分析時間長，從而導致整個優化設計周期長。此外，有限元模型在網格的離散化和網格的自適應劃分過程中會產生數字化噪聲，這樣會影響優化算法的收斂性。解決上述計算準確度和優化時間之間矛盾的一個可行方法是采用基于代理模型的優化方法，即根據有限元模型的分析結果構造一個計算量小，但計算結果與有限元數值分析結果相近的數學模型來“代理”相應的有限元模型，而原優化問題在代理模型上來實現。這樣可以減少有限元模型的調用次數，從而減少優化時間[4,5]。然而直接基于代理模型的優化結果是代理模型的預測值，存在近似誤差，所以這種方法十分依賴于最初所建立的代理模型的準確度，且優化算法容易陷于局部最優解。針對此問題，M. Schonlau等[6]提出以Kriging模型為代理模型的單目標有效全局優化算法（Efficient Global Optimization，EGO）算法，該算法在選取校正點時綜合考慮了Kriging模型的預測值和預測準確度，以期望提高（Expected Improvement, EI）為加點準則，避免了優化過程局部收斂的風險。該方法是綜合考慮預測值和預測誤差估計值來增加樣本點，提高代理模型的近似準確度并進行序列優化設計的優化方法[7,8]。為了解決工程設計中的多目標優化問題，Kreuawan Sangkla[9]將PI（Pseudo distance）準則引入到EGO算法當中，提出了基于Kriging模型引導采樣的多目標有效全局優化算法MEGO，優化得到的Pareto解集均為高準確度模型的評估值。本文將并行計算的方法與MEGO算法相結合，進一步提高了MEGO算法的效率，并將算法成功地應用于直線感應電動機的三維有限元模型的優化，得到經過有限元模型分析值組成的Pareto最優解集。

1　三維有限元模型分析

1.1直線感應電動機基本結構

雙邊直線感應電動機的結構如圖1所示。電機有兩個完全一樣的面對面放置的初級和一個次級組成。初級線圈采用同心式繞組，次級由一定厚度的鋁制導軌組成。電機是為軌道交通用的牽引電機，初級作為動子安裝在機車上，次級（鋁制導軌）作為定子安裝在鋼軌中間。當在初級繞組中通入三相對稱正弦電流后，在氣隙中產生了一個行波磁場。次級導條在行波磁場切割下，將會產生感應電動勢及感應電流，并和氣隙磁場相互作用產生電磁推力。在這個電磁推力的作用下，初級就順著行波磁場運動方向推動目標前進。

圖1　直線感應電動機基本結構Fig.1　Basic structure of linear induction motor

1.2三維有限元模型分析

直線電動機與旋轉電機本質的區別在于前者的鐵心是長直的、兩端開斷的鐵心，從而會引起各相繞組互感不相等以及存在脈振磁場、反向磁場的現象，這種現象稱為直線感應電動機的靜態縱向邊端效應。直線電動機氣隙內磁場的分布是不均勻的，并且隨著電機速度的增加，這種不均勻性更加明顯，這種現象被稱為直線電動機的動態縱向邊端效應[10,11]。此外，由于直線感應電動機初級和次級的寬度都是有限的，次級電流以及次級板對氣隙磁場均會產生影響，這種影響稱為直線電動機的橫向邊端效應。利用傳統的解析方法很難對這兩種邊端效應進行分析，然而三維有限元方法可以同時考慮縱向和橫向兩種邊端效應以及材料的非線性，從而得到準確度較高的模型。

利用商業有限元軟件Vector Fields[12]建立了如圖2所示的三維有限元模型。

圖2　三維有限元模型及t=0時刻磁通分布情況Fig.2　3D finite element model flux distribution at t=0

圖3所示為直線電動機在一定速度下氣隙磁場的磁通密度幅值的分布情況。直線電動機的縱向邊端效應會在次級進入端和滑出端產生渦流，且僅在初級覆蓋的范圍內存在。次級進入端的表面磁場從零增大到氣隙合成值，滑出端是從氣隙合成值衰減到零，而且兩端磁場的不對稱性會隨著初級速度的增大而增大[13,14]，從而驗證了直線電動機的縱向邊端效應。

圖3　氣隙磁通密度振幅分布Fig.3　Amplitude of flux density in the air gap

2　多目標有效全局優化算法

有效全局優化算法是基于Kriging代理模型引導采樣的算法。它可以同時利用Kriging模型的計算速度和有限元模型的分析準確度。

2.1Kriging模型基本理論

Kriging模型具有良好的高度非線性近似能力、在訓練樣本點處無偏估計，并且能夠對未知樣本點處的誤差估計其值，非常適合作為代理模型[15]。

有效全局優化算法利用Kriging模型分別替代目標函數和約束函數。利用Kriging模型方法，一個未知函數y( x)可以表示為[16]

式中，B( x)為回歸模型，一般為多項式模型，可以給出未知函數y( x)的全局近似；Z( x)為隨機分布的誤差，提供對未知函數局部偏差的近似，其具有如下統計特性

式中，R(θ,xi, xj)是以θ為參數關于xi、xj的相關函數；R(R(θ,xi, xj))為相關函數矩陣。Kriging模型中常用的核函數為高斯函數。

式中，nv為變量的數量；pk∈[0,2]可以控制未知函數y( x)的平滑度；θk通過極大似然估計法獲得θk≥0且θk的大小決定著Kriging模型的平滑度及準確性的選擇：當θk數值較小時（比如θ=10-3），Kriging模型具有較好的平滑度，當θk數值較大時（比如θk=20），Kriging模型在已知樣本點處具有無偏估計，但是在未知點會有較大的誤差。

Kriging代理模型的預測值表示為

相比于其他代理模型，Kriging模型最大的優勢在于可以給出函數在未知點的預測值與實際值的誤差估計值

2.2有效全局優化算法

圖4為采用并行計算的有效全局優化算法的流程圖。此算法采用了多點加點準則和并行計算的方法，在保證優化結果準確度的前提下，顯著地縮短了優化時間，提高了算法的有效性。

2.2.1初始樣本點的選擇

優化算法開始于初始樣本點的選取。有效全局優化算法對初始Kriging代理模型準確度沒有很高的要求。優化過程中，算法選取的樣本點會逐漸逼近實際的Pareto最優解集，因此Kriging模型的準確度在最優解集周圍不斷提高。針對有限元模型的特點，采用空間填充的方法[4]——拉丁超方體方法選取30個初始樣本點。根據有限元模型的評估值，對每個目標函數和約束函數建立初始Kriging模型。

圖4　采用并行計算的多目標有效全局優化流程Fig. 4　Flowchart of multi-objective efficient global optimization

2.2.2基于代理模型引導采樣的加點準則

利用Kriging代理模型中提供的預測值的標準誤差的估計值構建的多目標PI（Pseudo distance）加點準則。新的樣本點的選取是通過對PI的最大值的求取來確定的。基于Pareto最優解集中非支配性的概念，PI由兩部分組成：支配距離Dd（dominated distance）和相鄰距離Dn（neighboring distance），其表達式為式（9）～式（11）。

式中，m為目標函數的個數；ndom為具有非支配性的點的個數；fi_min、fi_max分別代表當前迭代第i個目標函數的最大值和最小值；）為Kriging代理模型對第i個目標函數的預測值；i（x）為與相關的標準差；為距離Pareto最優解集所有點最近點的第i個目標函數值。

圖5中給出了兩個例子，用來解釋如何利用PI準則選取新的樣本點。圖5a給出了具有最大非支配性距離Dd的樣本點的選取。假設當前得到Pareto最優解集是由P1、P2、P3、P4和P5五個點組成的，那么迭代新產生的T1、T2兩點中，將會選取T1點為新的樣本點。因為T1點到其他五個點的非支配性距離大于T2點。圖5b中，根據相鄰距離Dn的定義，如何選取新的樣本點。Dn的距離的目的是為了使得Pareto最優解集在解空間中具有良好的覆蓋性，所以選取T3點為新樣本點而不是T4點。

圖5　PI準則Fig.5　PI criteria

2.2.3并行計算方法

利用并行計算的方法，可以充分利用多核計算機的計算能力，提高優化算法的效率，減少優化時間，其具體步驟如下。

（1）首先根據加點準則選取樣本點。

（2）利用Kriging代理模型對新樣本點的預測值來重新構造新的代理模型。

（3）以上兩步循環，直到新選取的樣本點數等于計算機核數。

利用Matlab中的并行計算工具箱，將上述方法中選取的多個樣本點用有限元方法在多核計算機上同時分析，然后對分析結果進行判斷，進行到流程圖4的下一步，直到滿足算法終止條件，優化過程結束。

3　基于三維有限元模型的直線電動機多目標優化

針對直線感應電動機的特點，提出了多目標優化問題，利用多目標有效全局優化算法對電動機的三維有限元模型進行優化。

3.1多目標優化問題

直線感應電動機的多目標優化問題的數學描述如式（12）所示。優化問題中含有兩個目標函數和兩個約束函數，目的是盡可能地減少電動機的質量和降低電動機的損耗。根據直線電動機中三相電流的不平衡性，設計了Eq≤10%的約束。

式中，Mass為電動機的重量；Losses為電動機的總損耗（鐵耗+銅耗）；Force為電機產生的推力；Eq為電機繞組三相電流平衡性；tw1為電機鐵心兩端齒的寬度；tw2為同心式繞組中心齒的寬度；U為施加的初級電壓有效值。

優化問題中涉及到的電機的幾何參數如圖6所示。

圖6　優化問題中的幾何參數Fig.6　Geometrical variables of the optimization problem

3.2優化結果

優化算法共設置選取100個樣本點用于有限元模型分析。其中前30個樣本點采用拉丁超方體方法選取，用于構建初始Kriging代理模型，后70個樣本點采用多目標有效全局優化算法中介紹加點準則選取。整個優化過程共耗時大約一個星期的時間，得到了如圖7中所示“●”組成Pareto最優前沿解集。此外，為了和傳統的基于代理模型的優化算法相比較，還利用NSGA-II遺傳算法直接對初始的Kriging代理模型進行優化，為初始種群個體隨機選定100個，共交叉選取100代，此優化過程共耗時半個小時。優化結果為圖7中“*”組成的Pareto最優前沿解集。圖7中“◆”表示直線電動機的初始設計方案，與多目標有效全局優化算法得到的Pareto最優前沿解集相比較，無論是電動機的損耗，還是電動機的質量都有可以改善的空間。

用傳統的基于代理模型的直接優化設計周期短，但是得到的Pareto最優解是代理模型的預測值，十分依賴初始代理模型的準確度。采用多目標有效全局優化算法優化設計周期相對較長，但是對初始Kriging代理模型準確度依賴性小，得到Pareto最優解均是三維有限元模型的分析值，準確度高，可以為進一步的樣機設計提供更可靠的選擇。

圖7　Pareto最優前沿解集Fig.7　Pareto front solution

4　結論

本文首先利用三維有限元方法對雙邊直線感應電動機進行分析，驗證了直線電動機的邊端效應。其次將并行計算方法和多目標有效全局優化算法相結合，成功應用于直線感應電動機的三維有限元模型的優化，得到了經過有限元模型分析值組成的Pareto最優前沿解集。該方法不但降低了對代理模型準確度的依賴性，而且進一步減少了有限元模型分析環節的時間，縮短了優化周期。優化結果與初始設計方案相比，無論是電動機的重量，還是電動機的損耗都可以得到很大的改善。因此本文為針對電動機有限元模型的多目標優化設計提供了新方法。

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Optimal Design of a Linear Induction Motor Using Multi-Objective Efficient Global Optimization

Gong JinlinWang Xiuhe
（Shandong UniversityJinan250061China）

Integration of finite element models (FEM) in the optimal design process of electrical machine is complex and time-costly. The multi-objective efficient global optimization (MEGO) algorithm uses Kriging surrogate model as a guide on the optimization problem. The computationally expensive FEM is replaced by Kriging surrogate model, which can reduce the iterations of the FEM in the optimal design process. A Parallel strategy is integrated with MEGO in order to further save the time of optimization. A multi-objective optimization is achieved, by applying the MEGO algorithm to a 3D FEM of the linear induction motor. A 2D Pareto set composed of 3D FEM solutions is obtained with an affordable time-cost. This paper provides a new method for the optimal design of linear induction motor with FEM.

Muti-objective efficient global optimization, Kriging Surrogate model, 3D finite element model, linear induction motor

TM351

宮金林男，1983年生，博士，講師，研究方向為直線電機優化設計。

王秀和男，1967年生，教授，博士生導師，研究方向為電機優化設計。

國家自然科學基金青年項目（51307099）和山東大學自主創新基金項目（2013HW002）資助。

2013-11-21改稿日期 2014-05-30