可靠性約束下系統全壽命周期成本優化建模

陳光宇,鄭舒揚,馮 毅

(電子科技大學經濟與管理學院,四川成都611731)

可靠性約束下系統全壽命周期成本優化建模

陳光宇,鄭舒揚,馮 毅

(電子科技大學經濟與管理學院,四川成都611731)

單純依據全壽命周期成本最小或系統可靠性最高進行系統設計具有一定的局限性.在系統壽命服從Weibull分布的條件下,給出預防性維修策略,構建設計費用、制造費用和維護費用函數,從而建立可靠性約束下的系統全壽命周期成本的優化模型;接著完整地提出包括系統全壽命周期成本、可靠性設計水平和預防性維修次數在內的系統設計均衡區域的決策方法.最后,以某大型裝置的光學系統為例,說明該方法在工程應用上的實效性,也為系統設計均衡區域的決策過程提供系統的思路和方法.

系統設計;可靠性;全壽命周期成本;預防性維修;均衡區域

1 引 言

全壽命周期成本(lifecycle costs,LCC)是系統在預定有效期內發生的直接、間接的費用之和,它是設計、制造、開發、使用、維護、退役等過程中發生的費用的總和[1].全壽命周期成本管理于20世紀60年代源起于美國軍方,主要用于軍事物資的研發和采購.合理地規劃系統全壽命周期成本是非常必要的,比如美國設計的F-16戰斗機,運用了LCC方法仔細地比較各種候選設計方案,最終選擇了一個尺寸小、重量輕、結構簡單和技術風險小的低成本方案.據分析,若F-16的設計不采用此方法,就要多花費42億美元的全壽命周期成本, F-16的LCC設計既提供了符合要求的性能,又保證了較低的成本[2].近年來,LCC理論在裝備和復雜系統領域得到了廣泛的研究.¨Oner等[3]建立了受組件可靠性和備件庫存水平影響的包括設計費用、制造費用以及維修和停機費用在內的產品全壽命周期成本模型,通過平衡可靠性和基礎庫存水平使產品的全壽命周期成本最小.Jin等[4]在系統使用度不確定的情況下提出一個解析模型來表示系統的使用可用性,并在系統可用度的要求下研究了機群全壽命周期成本最小和利潤最大化條件下的LCC決策模型.Lu等[5]從LCC優化角度研究了電力系統的維護策略,運用機械工程學的退化理論,分析每次維修周期內的故障率,建立優化問題的模型,通過遺傳算法得到最優維修策略.Waghmode等[6]提出了一個可修復系統的廣義LCC模型,該可修復系統的壽命服從兩參數的威布爾分布,采用隨機點過程法描述了系統的維護和維修成本,但這篇文章并沒有給出維修費用和系統可靠性之間的關系.

隨著系統復雜性的增加,其維護和使用費用也日益昂貴,在某些工業領域維修費用在LCC中占據了最大的份額.1962年在美國國防部長的報告中披露:1961年美國國防預算至少25%用在維修費上,并且得出結論認為把全部壽命周期內的維護費壓縮到最低才是產品研制的基本思想[7].在多種維修方法中,預防性維修(preventive maintenance)是很有代表性的方法.預防性維修的研究可追溯到20世紀60年代Barlow和Hunter的開創性工作[8].其后,研究者對預防性維修模型進行了擴展和推動.程志君等[9]針對故障信息監測下的多狀態劣化系統,其劣化階段停留時間和檢測間隔時間服從一般分布且“修復如新”,利用位相型(PH)分布近似方法,提出系統預防性維修的優化模型及簡化求解過程和改進的值迭代算法,解決了同一模型中檢測與預防性維修策略綜合優化的問題.隨著模型復雜性的提高,更多預防性維修的研究考慮了維修成本因素,研究如何以最低的費用保持設備的固有可靠性.韓幫軍等[10]提出了等效役齡的概念,建立了預防性維修周期間的故障率遞推關系,以威布爾分布為例展開研究,構建了可靠度約束條件下有限時間區間的預防性維修的優化模型,但沒有在LCC框架下對系統的可靠性和全壽命周期成本進行優化.

鑒于上述研究的不足,本文從全壽命周期成本優化的角度展開研究,系統投入使用后采用預防性維修策略,即在頻繁故障期之前對系統進行維修,以減少隨機故障的產生;并考慮預防性維修活動與系統故障率之間的動態變化而非“修復如新”的情況.在系統壽命服從威布爾分布的條件下,引入各預防性維修周期內系統的可靠度作為全壽命周期成本函數的約束條件,構建可靠度約束下的LCC模型,并提出了系統均衡設計區域的決策方法.

2 維修模型

對于造價昂貴、發生故障損失巨大的系統,如果能夠根據系統故障的規律,在元件損傷加速之前就將其換下并進行修復,就可大大延長系統的壽命[11].為了預測故障率的變化,韓幫軍等在文獻[10]中提出了等效役齡的概念,建立了生產系統預防性維修周期間故障率的遞推關系.因為該模型能夠反映生產設備在這一時間段內維修成本與維修周期之間的關系,可以揭示預防性維修活動與設備故障率之間的動態變化規律.這里借鑒此思路,針對研究對象的特點,做出以下假設.

1)假設系統在壽命區間[0,T]內共進行n次預防性維修,并采用以下的故障控制策略.

a)系統運行到ti時刻時進行第i次預防性維修,預防性維修時間為θi,i=1,2,...,n;

b)當系統在第i個預防性維修周期Ti內出現故障時進行最小維修,小修會使系統恢復應有的功能,但不會改變系統維修后的故障率;

c)系統在故障后或到達預防性維修時間點時能立即進行維修;

d)進行小修的維修時間相對于運行時間很小,可忽略不計;

e)運行使用無停歇.

2)預防性維修的效果采用等效役齡τi和役齡回退因子αi(αi∈(0,1))度量.由于預防性維修降低了系統的故障率,提高了系統的性能,等同系統的役齡時間向前推移了一段時間.設在第i個預防性維修周期后,系統的役齡向前推移了αiTi,則經過預防性維修后相當于系統在第i個周期內只使用了Ti?αiTi,即等效役齡τi=Ti?αiTi.等效役齡τi的遞推關系如下

引入役齡回退因子和等效役齡后,則第i個預防性維修周期內發生的故障次數Fi可以表示為

當系統壽命服從威布爾分布時,故障率如下

其中m為威布爾分布的形狀參數,故障率函數遞增或遞減的趨勢由m的取值決定:當01時,故障率遞增.預防性維修能夠減少系統的老化或者磨損,在故障率為常數和故障率遞減時,預防性維修對系統可靠性沒有任何影響,因此預防性維修主要考慮m>1的情況.η為尺度參數,它影響分布函數的均值和廣度,也稱離散度,當η增加時,相同時間點上的可靠度遞增.

當失效時間服從威布爾分布時,故障次數為

Weibull分布的MTTF可由下式確定.此時，平均失效時間為

由于MTTF表示壽命均值,即系統平均能夠正常運行多長時間,才發生一次故障.系統的可靠性越高,平均無故障時間越長.對于高傾斜數據而言,當m較小(小于3)時,可以用MTTF代替中值,來表征系統可靠性的設計要求[12].

為了使系統達到費用與性能之間的最佳平衡,就需要以最低的壽命周期費用使系統達到規定可靠性要求,對系統的可靠性和經濟性進行綜合權衡.開展預防性維修應該保證系統在每個預防性維修周期內具有一定的可靠度.設系統的最低可靠度要求為R0,在已知故障率函數的情況下,每個預防性維修周期內可靠度可以表示為

如果只考慮n個預防性維修周期內的可靠性,可能導致從最后一次預防性維修周期結束到T這段時間內系統運行可靠度很低.因此還要考慮從第n次預防性維修后到T時刻的系統可靠度

3 全壽命周期成本分析

從全壽命周期角度對系統的LCC進行分析,除了維修費用,設計費用和制造費用也需要納入考慮.下面分別討論系統的設計費用、制造費用和維修費用.

3.1 設計費用CD

目前的研究普遍認同隨著系統可靠性的增加,系統的設計費用也隨之增加.Huang[13]和Jin[4]在研究中提到設計費用隨著可靠性呈指數級增長,他們在系統壽命服從指數分布和失效率為常數的條件下,提出了設計費用函數.

在系統壽命服從威布爾分布的條件下,故障率不再是常數,因此,用引入系統壽命中值的倒數,令h=1/MTTF來表征系統可靠性的設計值,對設計費用函數做如下改進.

設計費用CD可以表示為

其中h表征系統的可靠性設計要求,hmax和hmin的值由ηmin和ηmax決定,分別表示系統能被接受的可靠性最低設計要求和能達到的最高可靠性設計要求.A1是hmax下的基本設計費用,B1表示為了提高系統可靠性所需的設計費用增量.常數k(k∈(0,1))表示在材料和資源約束下提高可靠性的難度系數.在給定基本設計費用A1的情況下,k和B1越大,表示在提高系統可靠性越困難,花費的設計成本也越高.

3.2 制造費用CM

系統可靠性的提高將對設計工藝、材料選擇、制造精度提出更高的要求,因而制造費用會隨著可靠性的改善持續增高.參考¨Oner[3]在故障率恒定的條件下提出了制造費用函數,對制造費用CM做如下改進

其中A2表示基本制造費用,B2表示在制造階段為了提高系統可靠性需要增加的制造費用,υ表示提高系統可靠度的難度系數,取值為(0,1)之間的實數.從模型可看出,在給定A2的條件下,B2和υ越大,需要花費的制造費用越多.

3.3 維護費用CR

考慮系統在運行區間[0,T]內的維修的情況.預防性維修能夠降低系統的故障修復費用,但進行預防性維修需要花費一定的時間和費用,過多的預防性維修活動會使總維修成本增加,造成“過維修”;而維修活動不足會使故障發生的頻率增高,增加系統的故障維修成本,造成“欠維修”.因此,必須合理的規劃預防性維修在特定時間區間內的次數以及開始時間等,使系統的總維修成本降到最小.維護費用主要由系統的故障小修費用和預防性維修費用構成.

1)故障小修費用

其中Cb為發生一次故障的小修費用,Fi為第i個預防性維修周期內的發生故障次數.

2)預防性維修費用

因此,維護費用CR可表示為

3.4 LCC優化模型

綜上,全壽命周期成本π等于設計費用CD、制造費用CM、維護費用CR之和.由于系統在使用壽命周期內的可靠度不得低于設計要求的最低可靠度,所以全壽命周期成本的優化需要在可靠度的約束下進行.因此,以系統全壽命周期成本最小為目標函數,在系統可靠度要求下,建立以下模型

模型中的決策變量包括威布爾分布的形狀參數m(m>1),尺度參數η(η>0),預防性維修次數n(n= 1,2,...),預防性維修周期Ti(Ti,i=1,2,...,n)以及預防性維修時間θi(θL<θi<θU),其中,θL和θU分別為進行預防性維修所需要的最短和最長預防性維修時間.約束條件1和2確保系統在預防性維修周期各階段內的可靠度大于設計要求值.約束條件3保證維修時間和工作時間之和不超過系統的壽命周期.約束條件4限定了預防性維修時間的取值范圍.由于模型涉及到整數規劃和非線性規劃的復雜性,需要通過編寫一個優化算法求解.

為了說明預防性維修的必要性,式(15)考慮不進行預防性維修的系統全壽命周期成本,其中系統的維護費用僅包括小修費用,即

4 系統設計均衡區域的決策方法

從系統設計的角度來看,系統的可靠性指標體現了生產研制工作的可靠性設計水平和使用方對系統性能的要求.可靠性指標過高,將增加研制難度、周期和成本,甚至使研制工作失敗.而可靠性指標過低,則影響系統使用效能,增加維護使用的工作量和費用.因此,綜合來看,系統可靠性設計要求的確定,必須充分平衡上述兩方面的影響,尋找既符合系統性能要求,經濟性又最好的設計方案.

頻繁的預防性維修,雖然可以降低系統LCC,但降低了系統可用性,因此,系統最優設計區間的確定不能僅根據LCC最小值確定,而應權衡系統LCC、可靠性水平和預防性維修次數,找到一個系統設計的均衡區域.

系統設計均衡區域的決策步驟如下:

步驟1對式(13)、(14)和式(15)優化求解.

優化后,可分別得到系統在進行預防性維修情況下的LCC和不進行預防性維修情況下的LCC.在不同可靠性水平下,可繪制出三條曲線:曲線I是在常規維修的條件下,即不考慮預防性維修時,系統在不同可靠性水平下的LCC曲線,是一條連續的曲線.曲線II是開展預防性維修后,在不同可靠性水平下,通過優化系統LCC和最優預防性維修次數得到的一組最優點連接而成的一條離散的曲線.兩條曲線對應點的差值,表示開展預防性維修對系統LCC的減少帶來的效用,即曲線III.

步驟2根據系統LCC函數,確定可靠性設計區間.

步驟3確定最優預防性維修次數.

在可靠性水平η?下的最優預防性維修次數n?的確定,就是將η?代入式(13)和式(14).預防性維修次數在[Round(n?)?1,Round(n?)+1]的范圍內都是合理的.

步驟4確定系統設計均衡區域.

結合曲線I和曲線II,依據步驟2和步驟3確定的可靠性設計值η的區間,就可確定系統設計的均衡區域.在這一區域內,系統LCC,系統可靠性設計水平η和預防性維修次數得到最優平衡.

當工藝水平得到改善,或成本函數發生變化時,利用上述提出系統設計均衡區域的決策思路和方法,可以重新得到系統新的均衡設計區域,將為系統的綜合優化設計提供解決思路和有效的方法.

5 數值算例

以某大型裝置的光學系統為例,驗證上述構建的可靠度約束下系統全壽命周期成本優化模型的正確性.

該大型裝置上使用的光學系統材料稀缺,加工工藝復雜,成本很高,極難獲取,因而非常昂貴和珍貴,在高通量運行條件下,如果不加控制,激光誘發的損傷很快就會使元件報廢,造成裝置運行成本的急劇增加,極大地影響裝置的效用.如果在光學元件沒有出現災難性損傷之前將元件換下,去除拋光雜質,對損傷區域進行維修,就能使元件循環使用,從而延長光學元件使用壽命、提高裝置高效穩定運行能力[14].

形狀參數m的取值通常是根據工程經驗和歷史數據來確定,如過去的故障數據及故障的失效機理等.參照文獻[15],根據已有的工程經驗和數據,考慮m=2時,對尺度參數η、全壽命周期成本和維修策略進行綜合優化.假設每次預防性維修的役齡回退量相同,即αi=0.95,i=1,2,...,n.

表1和式(16)的參數取值參照現有工程數據給定,式(13)和(14)的求解在Lingo軟件環境下實現.

表1 相關參數Table 1 Relevant parameters

優化結果如表2所示.從表2可以看出,隨著η的減小,預防性維修的次數增加.原因是在m給定的情況下,隨著η的減小,相同時間段上的系統可靠度遞減,因此,需要加大維修力度,使系統的可靠度滿足要求.另外,以表2第4列為例:當η=134.7時,需要對系統進行4次預防性維修,系統全壽命周期成本為219 229元,各預防性維修周期的長度分別為63.6,60.5,57.7,55.2(單位h).從計算結果看出,由于等效役齡的影響,各預防性維修周期不再是等周期而是周期越來越短,這說明隨著系統故障率的增加,需要對系統進行越來越頻繁的預防性維修,這與工程實際情況相一致.θi的優化值為維修時間下限2.5h,即要求每次預防性維修活動盡可能用最短的時間恢復系統狀態.

表2 優化結果Table 2 Optimized results

圖1 最優LCC與η的關系Fig.1 Relationship between optimal LCC and η

進行預防性維修和不進行預防性維修的系統全壽命周期成本的比較如圖1所示,在任何可靠度水平下,進行預防性維修的系統全壽命周期成本都要低于不進行預防性維修的系統全壽命周期成本,并且隨著可靠度的降低,即η的減小,曲線I和曲線II的差值越來越大,即預防性維修的效用越來越明顯.這是因為預防性維修降低了故障率,大大減小了系統的維修費用.進一步研究發現:

曲線I是系統在常規維修,即不考慮預防性維修的情況下的系統LCC值.曲線I呈拋物線狀,是研制費用和維修費用共同作用的結果.隨著η的增加,即隨著系統可靠性的增加,相應的設計費用和制造費用大幅增加,而維護費用降低.在拐點之前,維修費用的降低多于設計費用和制造費用的增加.而在拐點之后,維修費用的減少已經不能消抵研制費用的快速增加,因此系統全壽命周期成本呈現上升趨勢.曲線I驗證了LCC曲線最低點的存在性.

曲線II由離散的點組成的,這些點表示在給定的可靠性水平下,尋找最優預防性維修策略后,優化的系統全壽命周期成本的最小值.曲線II位于曲線I之下,說明在系統壽命服從威布爾分布(m>1)的條件下,開展預防性維修后的優化LCC低于不開展預防性維修的LCC.曲線II也代表了開展預防性維修后,系統LCC的下限值,即系統LCC不會低于曲線II.曲線II隨著可靠性水平的增加呈現遞增趨勢,說明在最優預防性維修策略下,隨著η的增加,系統LCC增加的趨勢不變.選取曲線II上的三個點A、B、C做具體分析:A點雖然LCC最低,但是需要進行頻繁的預防性維修,影響了系統的可用性.C點可靠性的設計值高,所要求的工藝水平高,需要投入的總成本大,但開展預防性維修的效用值低.B點對應的η值雖然不高,但系統LCC和性能處于比較合理的位置,可以滿足系統的正常使用.

曲線III是一條效用曲線,是曲線II與曲線I對應點的差值,表示在優化LCC條件下,開展預防性維修帶來的成本減少效用.在給定的可靠性水平區間內,預防性維修的效用隨可靠性水平的增加呈遞減趨勢.

此外,當m(m>1)取值不同時,上述LCC優化模型依然成立,采用系統設計均衡區域決策方法依然可以得到相應的系統設計均衡區域.例如,可利用該模型優化得到m=1.5時,η∈[142.6,170.0]以及n=4和n=5所對應的系統設計均衡區域;m=3時,η∈[130.0,170.3]以及n=2和n=3所對應的系統設計均衡區域.

6 結束語

LCC優化研究應充分體現全局性和系統性的思想.針對系統全壽命周期的各階段費用及其關鍵影響因素的全局優化問題,上述構建可靠性約束下的LCC優化模型,將設計階段的可靠性目標值與運維階段的維修策略進行跨階段的綜合分析,找出不同維修策略下的可靠性設計水平與最優LCC的關系曲線,由此得到的效用曲線揭示了預防性維修的成本效用隨可靠性水平的增加呈明顯遞減趨勢.緊接著,提出的系統均衡設計區域決策方法,可以幫助設計師找出系統可靠性設計水平、維修策略和系統LCC的均衡區域.當技術的進步和工藝的不斷改進時,雖然關鍵影響參數發生變化,但利用上述的優化模型和決策方法,設計師依然可以找到系統改進的新的均衡區域,因此,具有一定的工程應用價值.

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Optimization modeling of system lifecycle costs under reliability constraints

Chen Guangyu,Zheng Shuyang,Feng Yi
(School of Management and Economics,University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731,China)

System design has some limitations if solely depending on lifecycle costs minimum or system reliability maximum.Under the condition that the life of a system follows Weibull distribution,preventive maintenance strategies,a design cost function,a manufacturing cost function and a repair cost function are presented, and then a lifecycle costs optimization model under reliability constraints is given.A decision method of equilibrium area for system design is put forward completely,which includes lifecycle costs,reliability design level and the times of preventive maintenance.An example analysis of optical systems of a large-scale facility is shown to demonstrate the applicability and effectiveness of our proposed model,and to provide solutions and methods for the decision process of system design of the equilibrium area.

system design;reliability;lifecycle costs;preventive maintenance;equilibrium area

TP273

A

1000?5781(2015)04?0 442?09

10.13383/j.cnki.jse.2015.04.00?

2013?08?20;

2014?06?19.

國家自然科學基金資助項目(71172095);科技部創新方法工作專項資助項目(2011IM020100).

陳光宇(1969—),男,四川雅安人,博士,副教授,碩士生導師,研究方向:系統可靠性工程,E-mail:chenguangyu@uestc.edu.cn;

鄭舒揚(1989—),女,四川西昌人,碩士,通訊作者,研究方向:質量管理與可靠性工程,E-mail:zhengraul@163.com;

馮 毅(1970—),男,四川彭州人,博士,副教授,碩士生導師,研究方向:決策理論,供應鏈管理,E-mail:fengyi@uestc.edu. cn.