放縮法解數列與不等式綜合題

賈廣偉

放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒有定法. 它綜合性強，形式復雜，運算要求高，往往考查同學們思維的嚴密性、深刻性以及提取和處理信息的能力，較好地體現高考的甄別功能.本文列舉幾例放縮法證明數列不等式的方法，以期起到舉一反三的作用.

例1 ?已知數列[an]滿足[a1]=[12，]且[an+1=an-an2]（[n∈N*]）.

（1）證明：1[≤anan+1≤2（n∈N*）];

（2）設數列[an2]的前[n]項和為[Sn]，

證明：[12（n+2）≤Snn≤12（n+1）（n∈N*）].

分析 ?（1）首先根據遞推公式可得，[an≤12]，再由遞推公式變形可知，[anan+1=anan-an2=11-an∈[1，2]]，從而得證.（2）由[1an+1-1an=anan+1]和[1≤anan+1≤2]得，[1≤1an+1-1an≤2，]由此可得[12（n+1）≤an+1≤1n+2（n∈N*），]從而得證.

解 ?（1）由題意得，[an+1-an=-an2≤0]，即[an+1≤an]，[an≤12].

由[an=（1-an-1）an-1]得，

[an=（1-an-1）（1-an-2）…（1-a1）][a1>0.]

由[0

（2）由題意得，[an2=an-an+1]，

∴[Sn=a1-an+1]①.

由[1an+1-1an=anan+1]和[1≤anan+1≤2]得，

[1≤1an+1-1an≤2.]

∴[n≤1an+1-1a1≤2n].

因此[12（n+1）≤an+1≤1n+2（n∈N*）]②.

由①②得，[12（n+2）≤Snn≤12（n+1）].

點撥 ?本題主要考查了數列的遞推公式、不等式的證明等知識點，屬于較難題. 由于數列綜合題常與不等式、函數的最值、歸納猜想、分類討論等數學思想相結合，技巧性比較強，需要平時多訓練與積累，在后續復習時應予以關注.

例2 ?設[n∈N?]，[xn]是曲線[y=x2n+2+1]在點[（1，2）]處的切線與[x]軸交點的橫坐標.

（1）求數列[xn]的通項公式;

（2）記[Tn=x12x32…x22n-1]，證明[Tn≥14n].

分析 ?（1）對題中所給曲線的解析式進行求導，得出曲線[y=x2n+2+1]在點[（1，2）]處的切線斜率為[2n+2]. 從而寫出切線方程為[y-2=（2n+2）（x-1）].令[y=0，]解得切線與[x]軸交點的橫坐標[xn=1-1n+1=nn+1].（2）要證[Tn≥14n]，需考慮通項[x22n-1]，通過適當放縮能夠使得每項相消即可證明.

解 ?（1）[y=（x2n+2+1）=（2n+2）x2n+1，]曲線[y=x2n+2+1]在點[（1，2）]處的切線斜率為[2n+2].

從而切線方程為[y-2=（2n+2）（x-1）].

令[y=0，]解得切線與[x]軸交點的橫坐標[xn=1-1n+1=nn+1].

（2）由題設和（1）中的計算結果知，

[Tn=x12x32…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2].

當[n=1]時，[T1=14].

當[n≥2]時，

[x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=n-1n，]

所以[Tn>（12）2×12×23×…×n-1n=14n].

綜上可得，對任意的[n∈N?]，均有[Tn≥14n].

點撥 ?對于數列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮;一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進行放縮. 在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度和從哪一項開始放縮.

例3 ?在數列[an]中，[a1=3，an+1an+λan+1+μan2=][0n∈N*].

（1）若[λ=0，μ=-2，]求數列[an]的通項公式;

（2）若[λ=1k0k0∈N*，k0≥2，μ=-1，]

證明：[2+13k0+1

分析 ?（1）由于[λ=0，μ=-2]，因此把已知等式具體化得，[an+1an=2an2]，顯然由于[a1=3]，則[an≠0]（否則會得出[a1=0]），從而[an+1=2an]，所以[an]是等比數列，由其通項公式可得結論.（2）本小題是數列與不等式的綜合性問題，數列的遞推關系式[an+1an+1k0an+1-an2=0，]經過縮放后可變形為[an+1=][an-1k0+1k0?1k0an+1.]

解 ?（1）由[λ=0，μ=-2]，有[an+1an=2an2（n∈N*），]

若存在某個[n0∈N*]，使得[an0=0]，則由上述遞推公式易得[an0+1=0]，重復上述過程可得[a1=0]，此與[a1=3]矛盾，所以對任意[n∈N*]，[an≠0].

從而[an+1=2an（n∈N*）]，即[an]是一個公比[q=2]的等比數列.

故[an=a1qn-1=3?2n-1].

（2）由[λ=1k0，μ=-1，]數列的遞推關系變為[an+1an+][1k0an+1-an2=0，]變形為[an+1（an+1k0）=an2][（n∈N*）].

由上式及[a1=3，]歸納可得，

[3=a1>a2>…>an>][an+1>…>0].

因為[an+1=a2nan+1k0=a2n-1k20+1k20an+1k0]

[=an-1k0+1k0?1k0an+1，]

所以對[n=1，2，…，k0]求和得，

[ak0+1=a1+a2-a1+…+ak0+1-ak0]

[=a1-k0?1k0+1k0?1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0ak0+1]

[>2+1k0?13k0+1+13k0+1+…+13k0+1]

[=2+13k0+1.]

另一方面，由上已證的不等式知[a1>a2>…>ak0][>ak0+1>2]得，

[ak0+1=a1-k0?1k0+1k0?1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0ak0+1]

[<2+1k0?12k0+1+12k0+1+…+12k0+1=2+12k0+1.]

綜上，[2+13k0+1

點撥 ?數列是考查同學們創新意識與實踐精神的最好素材.從近幾年的高考試題來看，一些構思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰性的數列與方程、函數（包括三角函數）、不等式以及導數等的綜合性試題不斷涌現，這部分試題往往以壓軸題的形式出現.數列的問題難度大，往往表現在與遞推數列有關. 遞推不僅有數列前后項的遞推，更有關聯數列的遞推，更甚的是數列間的“復制”式遞推. 從遞推形式上看，既有常規的線性遞推，又有分式、三角、分段、積（冪）等形式.在考查通性通法的同時，突出考查思維能力、代數推理能力、分析問題和解決問題的能力.