待定系數法求數列通項

王庶

數列是高中數學的重難點問題，也是高考考查的重點內容. 由于它是一個特殊的函數，因此在解題的過程中經常會用到一些函數的思想方法，其中待定系數法求數列通項就是一種非常不錯的思想方法. 尤其是在已知數列遞推關系式求數列通項問題上的應用，一般是先運用待定系數法構造一個新的遞推關系式，然后與原遞推關系式對應系數相等從而解決問題. 本文就這類問題做一個歸類分析，以供大家參考.

[an+1=pan+q（p，q均為常數）]型

此類型屬于數列線性遞推關系式求通項問題，用待定系數法求這類通項問題是一種比較常規的方法. 一般將[an+1=pan+q（p，q均為常數）]構造成[an+1+r=p（an+r）]（[p]為常數）形式，注意參數[r]的引入.

例1 ?若[a1=1]，[an+1=2an+3，]求數列[an]的通項.

解析 ?令[an+1+r=2（an+r）]，則[an+1=2an+r].

[∵][an+1=2an+3，]

[∴]由待定系數法可得，[r=3，]即[an+1+3=2（an+3）].

[∴][an+1+3an+3=2].

[∴]數列[{an+3}]是一個公比為[2]的等比數列，其通項為[an+3=a1?2n+1].

又[∵a1=1]，

[∴數列{an}的通項為an=2n+1-3].

[an+1=pan+qn]（[p，q]為常數）型

此類型屬于數列非線性遞推關系式求通項問題，一般將原式[an+1=pan+qn]（[p，q]為常數）構造成[an+1+λqn+1][=p（an+λqn）]（[p，q]為常數），注意參數[λ]的引入和[an]的系數[p]的提取.

例2 ?若[a1=1，][an+1+an=3?2n，]求數列[an]的通項.

解析 ?令[an+1+λ?2n+1=-（an+λ?2n）]，

則[an+1+an=-λ?2n+1-λ?2n=-3λ?2n].

由待定系數法可知，[λ=-1].

即[an+1-2n+1=-（an-2n）]，

[∴an+1-2n+1an-2n=-1].

[∴]數列[{an-2n}]是公比為[-1]的等比數列.

又因為[a1=1]，

所以其通項為[an-2n=（a1-2）?（-1）n-1=（-1）?（-1）n-1.]

[∴an=2n+（-1）n].

例3 ?若[a1=1，an+1+2an=3?2n，]求數列[an]的通項.

解析 ?例3是例2的一種變式，方法同例2.

令[an+1+λ?2n+1=-2（an+λ?2n），]

則[an+1+2an=-λ?2n+1-2λ?2n=-4λ?2n]

由待定系數法可得，[λ=-34]，

即[an+1-34?2n+1=-2（an-34?2n）.]

[∴an+1-34·2n+1an-34·2n=-2].

[∴]數列[{an-34·2n}]是公比為[-2]的等比數列.

又[a1=1]，

所以其通項為[an-34·2n=（1-34·2）?（-2）n-1][=（-2）n-2].

[∴an=34·2n+（-2）n-2].

[an+1=pan+nq+r（p，q，r均為常數）]型

此類型屬于數列線性遞推關系式求通項的另一類問題，它是在第一種類型的基礎上多了一個非常數項[nq]. 對于這類遞推關系，一般將其構造為[an+1+x（n+1）+y][=p（an+xn+y）]（[p]為常數）的形式，注意引入了兩個參數[x，y.]

例4 ?已知[a1=2，][an+1=2an+3n+1，]求數列[an]的通項.

解析 ?令[an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y）]，

則[an+1=2an+xn-x+y].

由待定系數法對應系數相等可得，

[x=3，-x+y=1，?x=3，y=4.]

[∴an+1+3（n+1）+4=2（an+3n+4）.]

所以數列[{an+3n+4}]是公比為[2]的等比數列，其通項為[an+3n+4=（a1+7）·2n-1=9·2n-1].

[∴an=9·2n-1-3n-4].

[an+1=pan+qn+r（p，q，r均為常數）]型

此類型屬于數列非線性遞推關系式求通項問題，它是在第二類型問題基礎上多了一個常數[r]. 對于這類遞推關系，一般將其構造成[an+1+xqn+1+y][=p（an+xqn+y）]（[p，q]為常數）的形式，然后根據題目條件，運用對應系數相等的方法求出相關系數，其中要注意參數[x，y]的引入.

例5 ?已知[a1=1]，[an+1=2an+3n+1，]求數列[an]的通項.

解析 ?令[an+1+x3n+1+y=2（an+x3n+y）]，

則[an+1=2an-x3n+y].

由待定系數法對應系數相等可得，[x=-1，y=1.]

[∴an+1-3n+1+1=2（an-3n+1）].

即數列[{an-3n+1}]是公比為[2]的等比數列，其通項為[an-3n+1=（a1-2）·2n-1].

又[a1=1，]

[∴]通項公式為[an=3n-2n-1-1].

數列求通項問題在每年的高考中都有考查，其方法多種多樣，靈活多變. 待定系數法作為數學的基本思想方法，應用非常廣泛，它在已知數列遞推關系式求通項問題中的應用，只不過是它的冰山一角. 如果我們在平時的學習中注意積累，做個有心人，你將會有意想不到的收獲.