巧用柯西不等式

鄒同儉

求代數式的最值

例1 ? 已知[x+2y+3z=1]，求[x2+y2+z2]的最小值.

分析 ?這個題看起來與柯西不等式不沾邊，但注意到求最小值且又有定值，可以嘗試柯西不等式. 若構造[12+22+32?x2+y2+z2≥1?x+2?y+3?z2]，恰到好處.

解 ?[∵12+22+32?x2+y2+z2≥1?x+2?y+3?z2][=1，]

[∴][x2+y2+z2≥114，]當且僅當[x1=y2=z3]且[x+2y+3z=1，]即[x=114，y=17，z=314]時，[x2+y2+z2]取得最小值[114].

點撥 ?此題巧妙湊配出柯西不等式的結構形式是解題的關鍵和亮點.

例2 ?如圖，已知[△ABC]是等腰直角三角形，[CA=1，]點[P]是[△ABC]內一點，過點[P]引三邊的平行線，與各邊圍成以[P]為頂點的三個三角形（圖中陰影部分）.當點[P]在[△ABC]內運動時，以[P]為頂點的三個三角形的面積和的最小值為 ? ? ? ? ? .

分析 ?題目中隱含了三個三角形邊長之和為1這個條件，若分別設為[a，b，c.]而以[P]為頂點的三個三角形的面積和為[12a2+12b2+12c2=12（a2+b2+c2）]，則只需求出[a2+b2+c2]的最小值. 具有運用柯西不等式解題的可能性.

解 ?設三個陰影三角形的邊長分別為[a，b，c，]則它們的面積分別為[12a2，12b2，12c2，]并且[a+b+c=1]. 由柯西不等式得，[（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1]，所以[a2+b2+c2≥13]，故以[P]為頂點的三個三角形的面積和的最小值為[16]. 當且僅當[a=b=c=13]取得最小值.

點撥 ?本題具有一定的綜合性，要求我們讀懂題，思考要有深度，要能夠挖出隱含條件，合理轉化. 運用柯西不等式解題需要注意：是否有定值，最大值（最小值）以及取得最值的條件（等號是否成立）.

證明不等式

例3 ?設[a，b，c]為正數，且不全相等，求證：[2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c].

分析 ?[2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c]等價于[（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）>9，]而[9=32=（1+1+1）2，][（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）=[（a+b）+（b+c）+（c+a）]?（1a+b][+1b+c][+1c+a）.] 這樣就可以運用柯西不等式來證明了.

證明 ?[∵（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）]

[=2（a+b+c）?（1a+b+1b+c+1c+a）]

[=[（a+b）+（b+c）+（c+a）]?[1a+b+1b+c+1c+a]]

[=[（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2]?[（1a+b）2+（1b+c）2]

[+（1c+a）2]]

[≥[a+b?1a+b+b+c?1b+c+c+a?1c+a]2] [=32=9]，

又[a，b，c]為正數，且不全相等，所以等號不成立.

所以[2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c].

點撥 ?原題的形式不具有柯西不等式的特征，但是等價轉化后，有“柳暗花明”之感.

解方程或方程組

例4 ?解方程組[x2+y2+z2=2，3x+4y-5z=10.]

分析 ?三元二次方程組，按照常規看，似乎少了一個方程，但運用柯西不等式可以神奇解決.

解 ?由柯西不等式得，[（x2+y2+z2）?[32+42+（-5）2]≥][（3x+4y-5z）2].

由已知得，[2×50≥102].

所以有[（x2+y2+z2）[32+42+（-5）2]=（3x+4y-5z）2].

即不等式只有取等號時成立.從而由柯西不等式中等號成立的條件得，[x3=y4=z-5]，它與[3x+4y-5z=10]聯立解得[x=35，y=45，z=-1].

點撥 ?柯西不等式中含有相等關系，用好這個相等關系——取等號的條件，可以解方程或方程組（不定方程或方程組）以及求代數式的值.

求代數式的值

例5 ?若直線[f（x）=12x+t]經過點[P（1，0），]且[f（a）+][f（2b）+f（3c）=-12，]則當[3a+2b+c=] ? ? 時，[a2+2b2+3c2]取得最小值.

分析 ?直線過點[P]可以求出[t]，可以得到[a，b，c]的等式，從而考慮用柯西不等式. 再用柯西不等式取等號的條件求出代數式的值.

解 ?由直線[f（x）=12x+t]經過點[P（1，0）]得，[t=-12].

所以[f（x）=12x-12.]

又由[f（a）+f（2b）+f（3c）=-12]得，

[12（a+2b+3c）-32=-12]，即[a+2b+3c=2].

由柯西不等式得，

[a2+（2b）2+（3c）2?][12+（2）2+（3）2]

[≥（a+2?2b+3?3c）2=4].

由此可得，[a2+][2b2+3c2≥46=23].

等號成立的條件為[a1=2b2=3c3，]且[a+2b+3c=2，]即[a=13，][b=13，][c=13，]

所以[3a+2b+c=2].

答案 ?[2]

點撥 ?本題考查柯西不等式在求解三元條件最值上的應用.先由直線過定點[P（1，0）]可得[a+2b+3c=2]，然后再思考系數的匹配，構造柯西不等式的形式，可求出[a2+2b2+3c2]的最小值，最后由柯西不等式等號成立的條件，求出[a，b，c]，可得[3a+2b+c]的值.

在許多問題中，如果存在含有幾個變量的代數式是定值這個條件，我們可以考慮利用柯西不等式來解決，這樣往往能收到事半功倍的效果.