以“分?jǐn)?shù)的意義”為例談“分?jǐn)?shù)的教學(xué)”

丁銀霞

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。分?jǐn)?shù)教學(xué)之難，不僅表現(xiàn)為其概念、規(guī)則、類型等內(nèi)容不易為學(xué)生所理解和掌握，更為根本的是難在其概念、規(guī)則與運(yùn)算的相互關(guān)聯(lián)與融合。而分?jǐn)?shù)及其相關(guān)概念作為分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其教學(xué)效果更是決定著后續(xù)教學(xué)內(nèi)容的順利推進(jìn)。如果學(xué)生在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)上就出現(xiàn)了理解的偏差，那么之后對(duì)于分?jǐn)?shù)意義和運(yùn)算的學(xué)習(xí)就可能遇到更多障礙、出現(xiàn)更多問(wèn)題。擬以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的“分?jǐn)?shù)的意義”為例談?wù)劇胺謹(jǐn)?shù)的教學(xué)”。

一、情境，激發(fā)興趣

興趣是最好的老師。有效的教學(xué)情境可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生自主探究的欲望。“分?jǐn)?shù)的意義”這節(jié)課，教師可以創(chuàng)設(shè)學(xué)生在春游中“分食物”的場(chǎng)景。在春游時(shí)平均分一個(gè)橘子、一個(gè)餅的過(guò)程，可以有效地喚醒學(xué)生的記憶，激活學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)已有的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生把一袋餅干平均分給2個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分到這袋餅干的幾分之幾？學(xué)生很自然地想到。此時(shí)學(xué)生并沒(méi)有感覺(jué)到“把一袋餅干平均分”與“把一個(gè)餅平均分”有什么不同。讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到一袋餅干是1個(gè)“單位”。再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)還有哪些物體也能用“1”來(lái)表示，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)物體、一些物體組成的整體都可以用單位“1”來(lái)表示。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境。”由于情境的表現(xiàn)形式是多種多樣的，所以創(chuàng)設(shè)情境的方法也是多種多樣的。對(duì)于中低年級(jí)學(xué)生，可以通過(guò)講故事、做游戲、表演、演示等方法創(chuàng)設(shè)情境;而對(duì)于高年級(jí)學(xué)生，則要側(cè)重創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的教學(xué)情境，用數(shù)學(xué)本身的魅力吸引學(xué)生。

二、問(wèn)題，引領(lǐng)思考

“分?jǐn)?shù)的意義”這節(jié)課的教學(xué)中，通過(guò)有目的地啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生思考，點(diǎn)燃學(xué)生的思維，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、集體交流討論的基礎(chǔ)上，循序漸進(jìn)地揭開(kāi)分?jǐn)?shù)的奧秘。在“探究新知”的過(guò)程中，教師給學(xué)生提供了一些學(xué)習(xí)材料：如一個(gè)圓形、一個(gè)正方形、一條線段、4根香蕉組成的一個(gè)整體和8個(gè)面包組成的一個(gè)整體，要求各個(gè)小組里的每位組員選擇一種材料，通過(guò)折一折、分一分、涂一涂等方法，自己創(chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)，并在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)：把（ ）看作單位“1”，平均分成（ ）份，涂色表示了這樣的（ ）。一人說(shuō)，小組其他成員仔細(xì)傾聽(tīng)，積極補(bǔ)充，最后到講臺(tái)上展示自己的作品，一邊展示，一邊介紹。在此基礎(chǔ)上教師追問(wèn)：“為什么涂色部分都可以用表示呢？”學(xué)生有些困惑，此時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行討論，引領(lǐng)學(xué)生自主探究問(wèn)題、解決問(wèn)題。讓學(xué)生明白不管是一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位還是一些物體組成的整體，只要平均分成4份，每份就是它的。既然都是，為什么涂色的香蕉是1根，而涂色的面包卻是兩個(gè)呢？通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)他們?nèi)ニ伎迹瑥亩寣W(xué)生明白單位“1”不同。

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許僅是一個(gè)科學(xué)上的實(shí)驗(yàn)技能而已。而提出新的問(wèn)題、新的可能，以及從新的角度看舊的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，更能引領(lǐng)學(xué)生思考。那么，學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題呢？一是教師的提問(wèn)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題;二是學(xué)生的解答中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題;三是數(shù)學(xué)的活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題……

小學(xué)數(shù)學(xué)中的“分?jǐn)?shù)教學(xué)”結(jié)束后，教師亦可拋出如下問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考：

1.一定要是平均分才能用分?jǐn)?shù)表示嗎？比如，EF是△ABC的中位線（E和F分別是AB和AC的中點(diǎn)），它將△ABC分成不相等的兩部分，△AEF的面積能用分?jǐn)?shù)來(lái)表示嗎？

通過(guò)作如圖的輔助線，可知△AEF的面積是△ABC的。

2.單位“1”是什么？我國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材曾長(zhǎng)期采用這樣的分?jǐn)?shù)定義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。此定義出來(lái)后，就引起了單位“1”是什么的長(zhǎng)期爭(zhēng)論。有的認(rèn)為單位“1”就是自然數(shù)“1”，有的認(rèn)為不是。引起爭(zhēng)論的原因，首先是因?yàn)閱挝弧?”的說(shuō)法本身就不妥，意義不清;其次是對(duì)分?jǐn)?shù)概念認(rèn)識(shí)不透徹。

從對(duì)分?jǐn)?shù)概念的分析可清楚地看到，分?jǐn)?shù)是由平分單位產(chǎn)生的。因此，“單位‘1”應(yīng)為“單位”。2009年版《辭海》把“分?jǐn)?shù)”定義為：“把一個(gè)單位分成若干等份，表示其中一份或幾份的數(shù)稱為‘分?jǐn)?shù)”，強(qiáng)調(diào)的是“一個(gè)單位”。

華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量。”數(shù)和量都離不開(kāi)單位。“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)中，通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)“單位”非常重要。如下圖：要求學(xué)生在括號(hào)中寫(xiě)出陰影部分所表示的數(shù)。

沒(méi)有規(guī)定單位是什么，向?qū)W生硬要“”是不是有些不講道理？如果以1個(gè)小正方形為單位，則應(yīng)填;以2個(gè)小正方形為單位，則應(yīng)填;以3個(gè)小正方形為單位，則應(yīng)填……

“平均分”并不是分?jǐn)?shù)概念的關(guān)鍵，“單位”才是分?jǐn)?shù)概念的關(guān)鍵。恰當(dāng)?shù)剡x擇單位是解答應(yīng)用題的好方法。不僅如此，分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算也是建立在“分?jǐn)?shù)單位”的基礎(chǔ)上的，分母相同就是分?jǐn)?shù)單位相同。單位相同就可以直接相加，這與量的加法一樣，學(xué)生很容易理解。

3.“”就是“三分之一”嗎？比如，判斷：比15多是15。（ ） 這道題其實(shí)是正確的。為什么呢？與整數(shù)對(duì)比一下就清楚了。在整數(shù)里，比15多3的數(shù)是18，所以在分?jǐn)?shù)里，比15多是15;在整數(shù)里可以說(shuō)“比15多它的3倍的數(shù)是60”，而不能說(shuō)“比15多它的3的數(shù)是60”，所以在分?jǐn)?shù)里只能說(shuō)“比15多它的倍的數(shù)是20”，而不能說(shuō)“比15多它的的數(shù)是20”。但是后一種說(shuō)法是非常普遍的。為什么都這樣說(shuō)呢？原因是這里把“”等同于“三分之一”了。

……

三、比較，感悟本質(zhì)

“分?jǐn)?shù)的意義”對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常抽象，怎樣讓學(xué)生在一次次分的過(guò)程中感悟分?jǐn)?shù)的本質(zhì)？可以采用“比較法”，比較法是一種自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)的研究方法，是通過(guò)觀察、分析找出研究對(duì)象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，它是認(rèn)識(shí)事物的一種基本方法。比較亦是一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

“分?jǐn)?shù)的意義”這節(jié)課通過(guò)把一個(gè)圓形、一個(gè)正方形、一條線段、4根香蕉組成的一個(gè)整體、8個(gè)面包組成的一個(gè)整體平均分成4份，每份都是它的。此時(shí)教師進(jìn)行拓展12個(gè)、16個(gè)、20個(gè)面包甚至更多的面包平均分成4份，每份是它的幾分之幾？為什么面包的個(gè)數(shù)在不斷地改變，而每份都是這些面包的呢？引導(dǎo)學(xué)生透徹把握一個(gè)“單位”的的本質(zhì)含義;通過(guò)一個(gè)圓形的、8個(gè)面包、12個(gè)面包、16個(gè)面包、20個(gè)面包的的對(duì)比，幫助學(xué)生厘清新舊各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別。在讓學(xué)生自主創(chuàng)造分?jǐn)?shù)時(shí)，教師提供的是同樣的12塊糖，為什么學(xué)生創(chuàng)造出了不同的分?jǐn)?shù)？通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)平均分成的份數(shù)不同，得到的分?jǐn)?shù)就不一樣了。此時(shí)出示、、、，讓學(xué)生說(shuō)出每個(gè)分?jǐn)?shù)各表示什么，讓學(xué)生自己概括出分?jǐn)?shù)的意義。

在練習(xí)環(huán)節(jié)教師精心設(shè)計(jì)了對(duì)比性練習(xí)：在下面每個(gè)圖里涂色表示。

提問(wèn)：（1）這三幅圖為什么都用表示呢？（2）這三幅圖，既然都表示，為什么涂色的桃子的個(gè)數(shù)卻不同呢？

通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生明白因?yàn)閱挝弧?”不同，所以同樣表示，但涂色的個(gè)數(shù)不同。看來(lái)，單位“1”是什么的確很重要。

下面圖中涂色部分的五角星可以用什么分?jǐn)?shù)表示？

自己先獨(dú)立思考，有困難的同學(xué)可以與同桌討論，最后全班展示交流。

生1：。

生2：涂色部分的五角星可以用和表示。

師：還有不同的分?jǐn)?shù)嗎？

生3：。

師：這一回，單位“1”一樣嗎？（生：一樣）涂色部分的五角星個(gè)數(shù)呢？（生：也一樣）為什么表示的分?jǐn)?shù)卻各不相同呢？

生1：因?yàn)樗鼈兤骄值姆輸?shù)不同。

生2：而且表示的份數(shù)也不同。

師：這樣看來(lái)，要準(zhǔn)確表示一個(gè)分?jǐn)?shù)，既要關(guān)注單位“1”是什么，還要關(guān)注單位“1”被平均分成了幾份，表示這樣的幾份。

通過(guò)這兩題的比較，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)含義有了更深的認(rèn)識(shí)。

欲深刻感悟分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，必須對(duì)分?jǐn)?shù)的定義做全面的了解。分?jǐn)?shù)該如何定義？一般地，有以下四種：1.份數(shù)定義：分?jǐn)?shù)是把一個(gè)單位平均分成若干份之后其中的一份或幾份。教學(xué)中，教師要強(qiáng)調(diào)“平均分”是必要的。同時(shí)，也要注意平均分只是各個(gè)部分的地位相同，外觀不一定相同。例如，12輛汽車(chē)中，8輛是卡車(chē)，4輛是轎車(chē)，問(wèn)轎車(chē)是全部汽車(chē)的幾分之幾？12粒糖中，巧克力有4粒，問(wèn)巧克力占多少？這里平均分的是汽車(chē)、糖，而不在乎具體內(nèi)容。2.商定義：分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教材大多回避這一定義，只是用“分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)是分子除以分母”這樣簡(jiǎn)單說(shuō)明。3.比定義：分?jǐn)?shù)是整數(shù)q與整數(shù)p（p≠0）之比。中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)常常這樣說(shuō)。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)課程的安排是先學(xué)分?jǐn)?shù)，再學(xué)比。因此，不可能一開(kāi)始就采用比作為分?jǐn)?shù)的定義。4.公理化定義：有序的整數(shù)對(duì)（p，q），其中p≠0。比的定義和商的定義相近，值相同，表達(dá)的方式不同。在教學(xué)處理上，第一階段的分?jǐn)?shù)教學(xué)，先出“份數(shù)”的分?jǐn)?shù)定義，然后過(guò)渡到“商”定義。“份數(shù)”定義顯示過(guò)程，“商”定義表示結(jié)果。到了六年級(jí)，自然而然地用比來(lái)加深對(duì)分?jǐn)?shù)的理解;到了中學(xué)再過(guò)渡到比的公理化定義。只有對(duì)分?jǐn)?shù)的四種定義有所“比較”，才能真正深刻地領(lǐng)會(huì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

由于分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)不僅涉及各種具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也與數(shù)學(xué)思維的滲透有著重要聯(lián)系，因此，分?jǐn)?shù)的理解就有一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，在教學(xué)中更可能出現(xiàn)“先掌握算法、再逐步理解”的情況，包括“由記憶通向理解，通過(guò)記憶加深理解”等。只有真正理解了分?jǐn)?shù)的意義，才能很好地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的各種性質(zhì)，包括清楚地理解各種算法的合理性，并切實(shí)避免對(duì)算法的機(jī)械記憶與純粹模仿。

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇

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