Exponent及Gauss型遙測數據建模初始化算法

王永生，杜彬彬，孫　瑾，楊海峰

（1.海軍航空工程學院a.兵器科學與技術系；b.指揮系，山東煙臺264001；2.中國航天科技集團513所，山東煙臺264003）

Exponent及Gauss型遙測數據建模初始化算法

王永生1a，杜彬彬1b，孫瑾1a，楊海峰2

（1.海軍航空工程學院a.兵器科學與技術系；b.指揮系，山東煙臺264001；2.中國航天科技集團513所，山東煙臺264003）

在對某大型航天電子設備的遙測數據建模時，經常遇到含有指數類變化規律的數據，對其進行建模可以為研究設備性能的變化規律、實際與設計的差異等提供手段。針對有指數變化趨勢的遙測數據，采用Exponent模型、Gauss模型對遙測數據建模，給出了這種數據模型的表達式，研究了2種模型的參數初始化算法。通過數值實驗說明模型參數初始化算法的有效性，為后續利用最優化理論求解模型精確參數提供了良好的初試點。

遙測數據；指數模型；Gauss模型；初始參數

利用大型航天電子設備的歷史采集數據，采用適當的數學模型，開發對電子設備遙測數據變化進行分析的工具，實現對航天電子設備采集數據進行建模，可以為研究大型電子設備性能的變化規律、分析實際變化與設計值的差異等提供手段。對于大量表現出指數類型變化的遙測數據，須要給出可行的數據模型。模型要求具有一定適用性，不局限于某一個特定的遙測數據。另外，從工程應用的實際需要考慮，還必須根據遙測的數據能夠快速計算出模型的初始參數，也就是要有模型參數的初始化算法［1］。求出的初始參數，未必是模型參數的精確解，但可為后續利用最優化理論的方法迭代求解更為精確的解模型參數提供較好的初始點，極大地提高迭代收斂速度［2-6］，滿足工程應用需要。

指數型數據［7-9］和Gauss型數據［10-11］是在工程中廣泛遇到的信號類型。本文結合遙測數據分析這2種類型遙測數據建模問題，著重探討模型參數初始化算法。為了工程應用需要采用的數據處理方法必須滿足時間復雜度需要，即要求盡可能短的時間完成建模，由于這2種模型的基礎都是指數函數exp（t），可以看作是在指數基礎上的t的一階函數和二階函數，而且Gauss型數據一般具有峰值，充分利用這些特點，并借助最小二乘算法利用大量數據來擬合得到好的模型參數初始值，相對于文獻［8-9］中同倫交替迭代法和差分進化算法等而言，不需要復雜的運算，計算速度快，而且獲得的模型初始點比較理想，后續就可利用最優化方法中的Levenberg-Marquardt算法［12-14］或者Trust-Region算法［15-16］通過較少次數的迭代計算求得精確模型參數。

為了方便計算，通常要先對數據進行預處理，剔除野值，對采樣數據進行去均值并進行必要的尺度壓縮，即將數據大小幅值和坐標寬度變換到一定數值范圍內，文中假設已完成上述預處理過程。將要處理的遙測數據序列轉換為（y，t），其中y和t均為m維列向量，m即為所獲得的原始遙測數據的個數。

1　Exponent模型

1.1模型表達式

Exponent模型能夠較好地建模擬合具有指數變化趨勢的數據，具有比多階多項式模型更簡潔的表達形式，但是考慮到指數迅速上升的情況，本文僅考慮1～2階指數模型。這里給出其2階Exponent模型，該模型如下：

1.2參數初始化算法

模型的初始參數對后續模型求解影響極大，初始參數如選取不當，一方面可能得不到好的最終模型參數，另一方面可能造成循環迭代搜索次數過多，計算時間過長，不具備實用性。求取Exponent指數模型時，注意除剔除野值外不要進行縱橫坐標壓縮及去均值操作，盡可能保持數據的指數變化趨勢不改。

注意到Exponent模型的指數特點，通過合理的數據分段化并計算累加和，利用對數比來確定關鍵的指數項上ti的系數，并求線性系數。下面分別給出1階和2階指數模型的參數初始化算法。

算法1：求1階Exponent模型初始參數。

2）計算橫坐標 t的差分序列，并取均值，即tav=mean（diff（t））。

4）最后用最小二乘求取另外一個系數a1：

記為B×a1=Y，即

或者直接估計

注意，在算法1中要適當調整選取的數據段，避免出現s1=0。

算法2：求2階Exponent模型初始參數。

3）計算橫坐標 t的差分序列，并取均值，即tav=mean（diff（t））。

5）最后，用最小二乘求取另外2個系數（a1，a2）：

2　Gauss模型

2.1模型表達式

對于一些呈現拱形特點的遙測數據，還可以采用Gauss模型進行擬合總體趨勢，但要注意Gauss模型不適合做長期預測。這里給出3階Gauss模型，該模型表達式如下：

2.2參數初始化算法

考慮到Gauss模型可以看作是指數函數exp（t）基礎上的t的2階函數，并且Gauss模型數據具有峰值的優點，通過擬合方法先求含最大峰值的模型階中t的2階函數參數bi、ci，再從原數據消除該階Gauss模型，逐步求取余下各階Gauss模型參數。

以3階Gauss模型為例，說明模型參數初始點x0（即初始參數）的求取過程：依次尋找3次數據序列的最大值，每次找到最大值的索引并記錄其值（作為ai）和橫坐標（作為bi）；尋找數據中大于0和小于最大值的所有數據，根據Gauss數據特點，求出一個擬合的ci；然后消除數據中的該階Gauss函數影響，繼續求其他階Gauss函數參數；如果在求某一階模型參數時不存在大于0和小于最大值的特例時，則由橫坐標插值得到bi，ai仍取余下數據序列的最大值，而ci取前面2階參數b的差值。具體算法如下。

算法3：求Gauss模型初始參數。

步驟1：循環3次求取3個Gauss函數參數。

1）找到數據中的最大值的索引k，令a等于最大數據值，即a=yk，b等于最大值對應的坐標，即b=tk。

2）尋找所有大于0且小于a的數據值；如果沒有滿足條件的數據則退出，不再尋找其他階Gauss函數參數。

3）根據上次尋到的數據索引，估算該階Gauss函數的c值，即

式（8）中：分子部分是對尋找的滿足要求的數據計算均值，分母部分中的Rank是采用的模型階數，本例即為3；k是已經找到初始參數的Gauss函數個數。

從數據序列中除去該階Gauss函數數據。

步驟2：如果步驟1中2）出現找不到滿足條件的數據，則采用如下措施。

1）先找到還差幾階Gauss函數參數沒有找到。

2）根據最小和最大橫坐標進行差值排序（說明：主要用在數據沒有按照橫坐標大小順序排列的情況）。

3）待求的其余階Gauss函數參數的b即取前面排列的最后幾個數據。

4）待求的其余階Gauss函數參數的a均取余下數據序列y的最大值。

5）待求的其余階Gauss函數參數的a均取2）排序后的第2個數減第1個數的值。

3　數值實驗

3.1Exponent模型實驗

考慮 1階 指 數函數 y=0.05exp（0.000 5t），t=1，2，…，2 000，用算法1求出模型參數初始點后擬合結果如圖1 a）所示；再考慮2階指數函數y=0.05exp（0.000 5t）+0.3exp（0.006t），t=1，2，…，2 000，用算法2求出模型參數初始點后擬合結果如圖1 b）所示。

事實上，分別用算法1和算法2求出的上述模型參數初始點與真實參數幾乎相同。

圖1　典型指數模型初始點擬合效果Fig.1 Fittingeffectusing classical exponent model initial parameters

對如圖2中所示某遙測的均勻緩變類型數據，剔除粗大誤差后，考慮分別用1階指數模型和2階指數模型和算法求取模型參數初始點，在初始點處的擬合結果分別如圖2 a）和b）所示。

圖2　均勻緩變遙測數據初始點擬合數據Fig.2 Slow-changing style fittingeffect using exponent model initial parameters

3.2Gauss模型實驗

考慮3階Gauss模型

t=1，1.01，1.02，…，100，原始數據和采用算法3求出模型參數初始點擬合后的數據如圖3所示。事實上，分別用算法3求出的3階Gauss模型參數初始點為（1.800 0，80.200 0，4.120 3，1.500 0，45.600 0，3.189 1，1.200 0，11.700 0，4.922 8）與真實參數十分逼近。

圖3　3階Gauss模型初始點擬合效果Fig.3 Fittingeffectusing three rank Gauss model initial parameters

對圖4中所示某遙測的拱形數據，考慮用3階Gauss模型對其建模擬合，求取模型初始參數。圖4 a）圖給出了用算法3中前2個步驟求取初始點后擬合結果圖；用步驟3采用最小二乘求取系數后，在初始點處擬合結果如圖4 b）所示。可以看出，最后用最小二乘有效地解決處理了一段奇異數據的影響。

圖4　拱形遙測數據Gauss模型初始點擬合效果Fig.4 Vaulted style fitting result using Gauss model initial parameters

有了上述模型初始點，后續再采用最優化方法中的Levenberg-Marquardt算法或Trust-Region算法迭代幾次就能求出較為精確的3階Gauss模型參數，滿足實時性建模要求，最終建模結果如圖5所示。

圖5　拱形遙測數據Gauss模型建模結果Fig.5 Gauss modeling result of arched telemetry data

4　結束語

對于指數類型的遙測數據，給出能夠較好實現對這種數據建模的Exponent模型和Gauss模型，根據數據規律研究了2種模型的參數初始化算法，并對遙測數據進行了數值實驗，實驗結果說明模型初始化算法可以提供了良好的初始點，計算復雜度低，有利于進一步采用優化算法快速求得全局最優點，獲得更為精確的模型參數，實現對某大型航天電子設備遙測數據的準確建模。

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Telemetric Data Modeling and Its Parameters Initial Algorithm of Exponent and Gauss Model

WANG Yongsheng1a，DU Binbin1b，SUN Jin1a，YANG Haifeng2
（1.Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Ordnance Science and Technology；b.Department of Command，Yantai Shandong 264001，China；2.No.513 Institute of China Aerospace and Technology Corporation，Yantai Shandong 264003，China）

The telemety data of the large-scale spaceflight electronic equipment usually appears the similarly exponent style change.The performance abnormity and the different between the practice and the designed would be discovered ear?ly through modeling on these data.In order to modeling the exponent style telemety data，the two models of Exponent and Gauss were introduced.The formula of the two mathematic models were put forward.Then the initial algorithms for the pa?rameters of these models were researched.Lastly the numerical experiments results showed the validity of these initial pa?rameters algorithms，which afforded the favorable initial starts points for the subsequent optimization theory to compute the accurate model parameters.

telemety data；exponent model；Gauss model；initial parameters

TP399

A

1673-1522（2015）06-0547-06DOI：10.7682/j.issn.1673-1522.2015.06.010

2015-08-23；

2015-10-08

王永生（1978-），男，副教授，博士。