任意梯形孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射＊

羅宏超

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué)理學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng) 110136）

成泰民

（沈陽(yáng)化工大學(xué) 數(shù)理系 遼寧 沈陽(yáng) 110142）

1 引言

衍射現(xiàn)象是光傳播過(guò)程中的一種基本現(xiàn)象，是光的波動(dòng)性重要體現(xiàn)，在實(shí)際中有很多重要應(yīng)用：如孔徑形狀檢測(cè)，微小物體形狀識(shí)別等［1～4］.值得注意的是，在衍射過(guò)程中，孔的形狀與衍射斑并不完全相像，隨孔的形狀不同衍射干斑形狀會(huì)發(fā)生明顯的變化，因此了解孔的形狀與衍射干斑形狀之間關(guān)系就顯得十分重要.

從基爾霍夫衍射理論公式出發(fā)，推導(dǎo)了任意梯形孔的Fraunhofer衍射光強(qiáng)分布特征，進(jìn)而找出了不同的梯形孔在屏幕上出現(xiàn)的Fraunhofer衍射圖樣的規(guī)律，并可以擴(kuò)展到矩形、平行四邊形等形狀，具有一定代表性，對(duì)透徹理解Fraunhofer衍射規(guī)律具有重要意義.

2 不同梯形孔的Fraunhofer衍射強(qiáng)度

任意形狀孔的Fraunhofer衍射可采用基爾霍夫衍射理論公式

其中，UP（X，Y）是在屏幕上任意點(diǎn)P（X，Y）的電磁波函數(shù)的值，r是孔的某一微小面源至屏上的點(diǎn)P（X，Y）為止的距離，k是光的波矢值，C是與光源和觀察點(diǎn)位置相關(guān)的一些物理量來(lái)確定的復(fù)常數(shù).

圖1 梯形孔與屏上各點(diǎn)的坐標(biāo)表示

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系，經(jīng)簡(jiǎn)化可得

其中

對(duì)于任意的梯形孔而言

在屏幕上任意點(diǎn)（X，Y）的光的強(qiáng)度為

在屏幕中央點(diǎn)（0，0）上的光的強(qiáng)度為

計(jì)算積分式（3），代入式（4）、（5）可以得到在屏幕上任意點(diǎn)（X，Y）的光的相對(duì)強(qiáng)度為

其中

當(dāng)a1－a2＝2a時(shí)，由式（6）可以回歸到平行四邊形孔情形，當(dāng)a2＝－a；a1＝a時(shí)，由式（6）可以回歸到矩形孔情形.因此，可以利用式（6）模擬任意形狀的梯形孔在屏上的Fraunhofer衍射圖樣.

3 不同的梯形孔在屏上的Fraunhofer衍射圖樣的模擬

根據(jù)式（6），并利用 Mathematica軟件中的DensityPlot函數(shù)［5～7］模擬了不同的梯形孔在屏上產(chǎn)生的Fraunhofer衍射圖樣，并以明暗表示二元函數(shù)值，如表1所示.

表1 不同梯形孔在屏上產(chǎn)生的Fraunhofer衍射圖樣

4 結(jié)論

根據(jù)表1的10張圖可知，梯形孔的形狀與Fraunhofer衍射圖樣之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律如下：

（1）不共線梯形的不同的邊在單孔Fraunhofer衍射中，對(duì)屏幕處產(chǎn)生的衍射圖樣起很大的作用.明暗相間的衍射條紋與對(duì)應(yīng)梯形的平行的兩邊垂直［如表1中圖（1）～（5）］，對(duì)于不平行且不相鄰的兩邊，將在兩邊各自垂直的方向上出現(xiàn)衍射亮紋［如表1中圖（6）～（10）］.中央亮紋強(qiáng)度最大，強(qiáng)度隨著級(jí)數(shù)的增加，迅速減弱.

（2）明暗相間的衍射條紋的寬度與兩平行邊之間的距離密切有關(guān)，兩平行邊之間的距離越小，對(duì)應(yīng)的與平行邊垂直方向的衍射條紋越寬，平行方向的越窄.

（3）只要梯形孔中有兩條邊平行，就會(huì)出現(xiàn)明暗相間的條紋.當(dāng)兩條邊互不平行時(shí)，與梯形中不平行各邊垂直的方向上出現(xiàn)連續(xù)的亮紋［如表1中圖（7）～ （10）］.

1 姚啟鈞著.光學(xué)教程.北京：高等教育出版社，1989.94～151

2 馬科斯.玻恩，埃米爾.沃爾夫著.光學(xué)原理 上冊(cè).北京：電子工業(yè)出版社，2005.342～428

3 羊國(guó)光，宋菲君編著.高等物理光學(xué).合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版，2008，87～103

4 Eugene Hecht，Optics，4thed.（Addison－Wesley，New York，2002），447～464

5 Stephen Wolfram.Mathematica.（Addison－Wesley，New York，1993），134

6 丁大正著.Mathematica4教程.北京：電子工業(yè)出版社，2002

7 成泰民，曹連剛.不同三角形孔的Fraunhofer衍射圖樣模擬.廣西物理，2010，31（1）：33～36