帶電粒子在正交的重力場和磁場中運(yùn)動(dòng)探悉＊

張爭光

（咸陽師范學(xué)院 陜西 咸 陽 712000）

帶電粒子在正交的重力場和均勻磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡，一般來說比較復(fù)雜，通常要對粒子的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析入手，運(yùn)用牛頓第二定律列出微分方程來求解.該求解過程對數(shù)學(xué)要求比較高，而且往往把問題的物理原理湮滅在紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，使得學(xué)生的物理思維和物理圖像模糊不清，即使得到了正確的答案，也不能深入地理解其內(nèi)涵和實(shí)質(zhì).出現(xiàn)知其然，而不知其所以然的尷尬情景.然而，在近年的高考中，該類問題卻成為壓軸題命題的一個(gè)熱點(diǎn)類型，比如2013年福建高考的第22題，2008年江蘇第14題等.因此本文就粒子豎直入射的情況下，在相互垂直的重力場和磁場中粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，探討粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，揭示其所蘊(yùn)藏的美妙的物理結(jié)論.

問題：如圖1所示，空間存在一個(gè)范圍足夠大的垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，讓質(zhì)量為m，帶正電q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)沿y正向入射，初速度為v0，重力加速度為g，請對該粒子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律予以討論.

分析：帶電粒子從原點(diǎn)豎直向下射入，除了有重力的作用之外，粒子在向下運(yùn)動(dòng)的過程中也會(huì)受到洛倫茲力的作用，因此合外力的方向不斷變化，物體將做曲線運(yùn)動(dòng)，過程復(fù)雜而難以直接使用牛頓第二定律來分析.如果堅(jiān)持使用牛頓定律來求解，就應(yīng)該用到微分方程，這對于中學(xué)生的物理學(xué)習(xí)來說顯然是不妥當(dāng)?shù)模虼吮疚牟捎弥袑W(xué)生可以理解的運(yùn)動(dòng)合成與分解的方法來探討.

圖1

探討1：帶電粒子究竟應(yīng)做什么運(yùn)動(dòng)？

首先我們將初速度水平方向的零分量分解成等大反向的矢量之和，即0＝v1＋（－v1），如圖2所示.且使得v＝，因此可以矢量法則求得v的值，即12

圖2

這樣一來初速v0就可以分解成v1和v2，因而粒子受到的洛倫茲力被分成兩部分f1和f2.因此帶電粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，看成受到3個(gè)力的作用：1個(gè)重力，兩個(gè)洛倫茲力f1和f2.分速度v1使粒子受到的洛倫茲力f1正好和重力等大反向，相互抵消，將以速度v1沿x軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，分速度v2使粒子受到的洛倫茲力f2的作用，將以繞回轉(zhuǎn)中心O′做勻速圓周運(yùn)動(dòng).綜上所述，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的疊加，一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是以v＝沿軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)；另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是在1xOy平面內(nèi)做以速率大小為v2＝的勻速圓周運(yùn)動(dòng).這兩部分疊加的實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條復(fù)雜的曲線，該粒子的分運(yùn)動(dòng)方程可以表示如下：

第一分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

第二分運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此分運(yùn)動(dòng)的速率為

回轉(zhuǎn)的半徑為

回轉(zhuǎn)中心O′坐標(biāo)為

回轉(zhuǎn)的角速度為

第二分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

由于兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成，故將式（1）和（2）相加可以得到粒子在正交重力場和磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡方程

其中

依據(jù)該運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程用軟件畫圖，得到圖3中的虛線就是粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，可見該軌跡是一條沿x軸方向延伸的長輻擺線.該圖像也進(jìn)一步說明帶電粒子一方面在xOy平面內(nèi)繞回轉(zhuǎn)中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又隨著回轉(zhuǎn)中心沿x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng).使用這種運(yùn)動(dòng)合成的方法，學(xué)生對物理圖像就會(huì)比較清楚，理解比較深入.不會(huì)出現(xiàn)求解微分方程以后，只有從數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果中確認(rèn)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，卻不能深入理解為什么粒子會(huì)這樣運(yùn)動(dòng)的情況.

圖3

探討2：該運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)藏哪些美妙的規(guī)律？

（1）擺線的周期

由于粒子參與兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，只有第2個(gè)分運(yùn)動(dòng)才具有周期性，即在xOy平面內(nèi)繞回轉(zhuǎn)中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因此擺線必定具有周期性，其運(yùn)動(dòng)的周期也就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期.

（2）粒子運(yùn)動(dòng)過程中下降的最大距離yL

所謂粒子下降的最大距離yL是指粒子經(jīng)x軸下降的最大距離（如圖3所示）.粒子下降過程最低點(diǎn)時(shí)的速度是最大速度，該速度的值一定等于v1和v2速度大小之和.由于該擺線運(yùn)動(dòng)具有周期性，只需要算出第一個(gè)周期內(nèi)的下降的最大距離即可.粒子從原點(diǎn)O下落的的過程中只有重力做功，而洛倫茲力始終不做功，則根據(jù)動(dòng)能定理有

（3）擺線運(yùn)動(dòng)過程中上升的最大距離yH

粒子經(jīng)過x坐標(biāo)軸上升到最高點(diǎn)時(shí)的速度是最小的速度，該速度的值一定是v1和v2速度大小之差.

故有以下結(jié)論

其中R為粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑.由此可見，上升的最高點(diǎn)和下降的最低點(diǎn)的距離正好是第2個(gè)分運(yùn)動(dòng)的直徑，這完全符合前面對該擺線運(yùn)動(dòng)合成規(guī)律的分析.

（4）vx與y 的比值

依據(jù)圖2可得粒子在任意時(shí)刻的速度方程如下

粒子速度的x分量與所在位置的y坐標(biāo)之比

該結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)美妙的結(jié)論，即任意時(shí)刻粒子速度的x分量與所在位置的y坐標(biāo)成正比，該比例系數(shù)是一個(gè)常量，僅僅由粒子的質(zhì)量、電荷量和磁場強(qiáng)弱來決定，與粒子的初速度等物理量無關(guān).

（5）初速為零的運(yùn)動(dòng)特例分析

（1）運(yùn)動(dòng)的圖像

將初速為零代入式（3）中，可以得到如運(yùn)動(dòng)軌跡方程如式（9）.

由上述該軌跡方程得到圖4，從圖中曲線來看，該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一條普通的擺線.

圖4

（2）粒子運(yùn)動(dòng)過程中下降的最大距離

（3）粒子運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)的曲率半徑

此類情況下v1＝v2，因此最低點(diǎn)的速度等于2v1，且最低點(diǎn)時(shí)重力和洛倫茲力的合力充當(dāng)向心力，故有

R＝2yL這一有趣的結(jié)論表明，在場強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m，帶正電q的粒子在O點(diǎn)由靜止釋放，粒子運(yùn)動(dòng)曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑正好為該點(diǎn)到x軸距離的2倍.

該擺線運(yùn)動(dòng)周期及其速度的水平分量和豎直速度的比值等規(guī)律因?yàn)榍拔囊呀?jīng)進(jìn)行描述，其大小與初速無關(guān)，因此無需做進(jìn)一步的討論分析.