“近似法”在物理解題中的應用＊

劉俊娟

（河北師范大學附屬民族學院 河北 石 家莊 050091）

魏增江

（石家莊理工職業學院 河北 石 家莊 050091）

“近似法”是在分析處理和研究某些物理現象和問題時，根據所研究問題的需要，忽略研究對象和問題的次要因素，突出其主要矛盾和本質特征，科學合理地對所研究問題進行近似處理的方法.使用近似方法需要對所研究的問題和近似條件有足夠的了解和分析，并且能靈活應用所學知識.因此通過近似方法的應用，能檢驗我們掌握物理知識的深度、廣度和靈活程度，能培養邏輯思維能力和應用物理知識分析、處理、解決實際問題的能力.可見，近似方法在物理學中占有相當重要的地位.

下面就力學中的問題來舉例說明近似法的應用.

【例1】諧振動物體位在小區間的概率

一物體可視為質點沿x軸做振幅為A，圓頻率為ω的諧振動.某人對此物體作隨機觀察，求此物體出現在微小區間0≤x≤a內的概率［1］.

解：用3種近似方法求解

方法一：幾何圖形近似方法

質點做諧振動的參考圓如圖1所示，因a很小，故有如下近似關系：a＝Aθ，設物體經過區間a的時間為ta，因為一周期內物體兩次經過區間a，所以出現在該區間的概率為

圖1

方法二：函數關系近似方法

取x＝0，v＞0為計時起點，則物體振動方程為x＝Asinωt，當a很微小時，對應的ta及ωta也很微小，因而有如下近似關系

由此可得

所以有

方法三：物理關系近似方法

根據能量守恒

可得物體振動的最大速度

因為在0≤x≤a微小區間內物體振動加速度甚小，所以可以把物體在這區間內的運動近似當作“勻速”運動，因而有

所以

由以上3種方法可見，第一種用幾何圖形近似，直觀形象；第二種用函數關系近似，格式嚴密；第三種從物理關系“勻速”近似處理，思路清晰，概念清楚.3種方法實質上都是把“變當作不變”處理，故實質和結果是一致的.但必須指出，上述近似方法可行，是因為在該區間內物體的加速度近似為零，否則不能近似.

【例2】運動學問題

有一個球體在某液體中豎直下落，球體的初速度v0＝10j（SI），它在液體中的加速度a＝－1.0vj（SI）.問：

（1）經多少時間后可以認為小球已經停止運動？

（2）此球體在停止運動前經歷的路程有多長［2］？

解：由題意可得

所以有

解得

可見，球體的速度v隨時間t的增加而減小.又由速度的定義有

得

有

由式（1）可見，當v＝0時，時間t→∞.由式（2）可見，當t→∞時，y＝10m，這似乎有些不切合實際.為精確求解，可利用式（1），先求質點的速率v分別達到和時所經歷的時間如表1所示.

表1 質點達到各速率經歷時間

從表1可看出，在t＝6.9s和t＝9.2s時，球體已幾乎不再運動，而所經歷的路程已顯示出其極限值10m了.故本題答案為：小球在運動幾乎停止前運動了9.2s，經歷的路程約為10m.這種近似處理的方法，不但簡化了問題，而且準確.

【例3】勻質薄圓板與質點的引力勢能

一半徑為R，質量為M且質量均勻分布的薄圓板，在板的中垂線上有一質量為m的質點.若取無窮遠為勢能參考點，用類比方法求它們的引力勢能，討論質點距板極遠和距板很近的情況［3］.

解：由類比方法可得質點與薄圓板相距為r時的引力勢能為

當質點距圓板極遠時，rR，應用二項式定理展開上式可得

此式正是把圓板視為質點的結果.

當質點距板很近時，xR，圓板質量可視為面分布，可得

應該強調，在對引力勢能做近似計算時，引力勢能不能近似為零，也不能近似為常量.因為如果在某區域內引力勢能為常量，那么在該區域內引力就為零，這是不合理的.在近似計算中，應該特別注意這一點.在對結果進行近似處理時，可以根據具體情況，結合數學知識，采用不同的近似方法.比如利用泰勒級數或傅里葉級數展開，可以求得許多函數的近似解；再比如用有限過程代替無限過程；或者忽略一些較小項對結果的影響，進行數量級的估算等.

從以上的例題中看出，近似法的使用，不但能簡化物理問題，還可以抓住問題最本質的因素，建立正確的物理規律，得到最主要的科學依據.在建立物理模型、推導物理規律、處處滲透著近似處理的思想方法.可以說，善于對實際問題進行合理的近似處理，是學習的重要方法，也是科學素質和綜合能力的體現.

1 康穎.大學物理（新版）第一版.北京：科學出版社，2005.133～136

2 周繼芳.近似法在物理學中的應用.自然科學，2009（7）

3 馬文尉.物理學習題分析與解答.北京：高等教育出版社，2004.103