從虛位移原理到拉格朗日方程

劉偉偉

（滄州師范學(xué)院物理與電子信息系，河北滄州　061001）

從虛位移原理到拉格朗日方程

劉偉偉

（滄州師范學(xué)院物理與電子信息系，河北滄州061001）

由虛位移原理出發(fā)結(jié)合達(dá)朗貝爾原理得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，再有這個(gè)普遍方程得到拉格朗日方程。容易看出理論力學(xué)比經(jīng)典力學(xué)有更深的理論基礎(chǔ)和靈活性。尤其是廣義坐標(biāo)、廣義力的引入，以能量為基本概念的動(dòng)力學(xué)方程比牛頓第二定律更具有理論優(yōu)勢(shì)。通過(guò)方程的應(yīng)用實(shí)例可揭示出這兩個(gè)方程在分析力學(xué)中具有非常重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

廣義坐標(biāo)廣義力虛位移拉格朗日方程

分析力學(xué)是理論力學(xué)的重要組成部分，它給出了與牛頓第二定律等價(jià)的力學(xué)基本方程，提供了解決力學(xué)問(wèn)題的不同方法，拉格朗日方程也是分析力學(xué)中一個(gè)重要的基本方程。拉格朗日方程是在動(dòng)力學(xué)的普遍方程（達(dá)朗伯—拉格朗日方程）的基礎(chǔ)上，將各點(diǎn)的坐標(biāo)xi 、及其虛位移變換為δxi廣義坐標(biāo)qj及其變分δqj后得到的。為了加深對(duì)拉格朗日方程的認(rèn)識(shí)和理解，以便能更好地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題，下面將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來(lái)推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。

1　從虛位移原理動(dòng)力學(xué)普遍方程

設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由達(dá)朗伯→原理知，在質(zhì)點(diǎn)→系運(yùn)動(dòng)的任一→瞬時(shí)，任一質(zhì)點(diǎn)Mi上作用的主動(dòng)力，約束反力及其慣性力三者構(gòu)成形式上的平衡力系，即：

（3）式是通過(guò)達(dá)朗伯虛加慣性力手段和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果，稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程，也稱達(dá)朗伯——拉格朗日方程。

2　從動(dòng)力學(xué)普遍方程到拉格朗日方程

由分析力學(xué)，可設(shè)主動(dòng)力為F=（F1，F(xiàn)2，···，F(xiàn)n），廣義力Q=（Q1，Q2，···QN）

如果將位矢對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo) qj求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，則得到

如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，根據(jù)有勢(shì)力的廣義主動(dòng)力

引入拉格朗日函數(shù)L=T－V，T是動(dòng)能，V是勢(shì)能，得到主動(dòng)力為有勢(shì)力的拉格朗日方程

動(dòng)力學(xué)普遍方程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是直角坐標(biāo)來(lái)描述的，而拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，兩者都可用來(lái)解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動(dòng)力學(xué)普遍方程簡(jiǎn)便得多。

3　應(yīng)用舉例

為了說(shuō)明分析力學(xué)在解決力學(xué)問(wèn)題靈活、方便且科學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葍?yōu)勢(shì)，我們可通過(guò)以下面例題的求解來(lái)彰顯。

如圖1所示，試用拉格朗日方程求單擺的微振動(dòng)方程和周期。

解：設(shè)單擺的擺長(zhǎng)為l，擺錘質(zhì)量為m，取θ為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日函數(shù)為：

在解題過(guò)程中，并沒(méi)有用大家所熟悉的牛頓第二定律與拉格朗日方程對(duì)比來(lái)求解。但仍能明顯的感覺到，用分析力學(xué)解題比用牛頓第二定律的方法簡(jiǎn)單靈活的多。

圖1　

4　結(jié)語(yǔ)

在分析力學(xué)中，關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律有兩種不同的表述，其中之一便是拉格朗日表述，在這種表述中，就是用拉格朗日方程來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

拉格朗日方程的基本特色在于：（1）由于采用廣義坐標(biāo)作基本變量，微分方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由s度數(shù)目相同，微分方程的數(shù)目是最少的。（2）由于微分方程中不包含約束反力，以及所使用的函數(shù)（動(dòng)能函數(shù)、勢(shì)能函數(shù)等）多為標(biāo)量函數(shù)，這和牛頓的力學(xué)方程相比較，在解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)有很大的優(yōu)越性。（3）第二類拉格朗日方程是力學(xué)系統(tǒng)在具有最一般意義的廣義坐標(biāo)描述下保持形式不變的動(dòng)力學(xué)方程，因此利用該方程來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)具有極大的普遍性。因此，可以說(shuō)，拉格朗日方程是力學(xué)中一個(gè)非常重要的理論工具。

［1］顧致平.理論力學(xué)［M］.中國(guó)電力出版社，2011.

［2］周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.人民教育出版社，1979.

［3］肖士珣.理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程［M］.人民教育出版社，1979.