在活動中感悟思想、積累經驗

錢建兵

蘇教版五上P15“動手做”。

在方格紙上畫平行四邊形ABCD，連接對角線AC、BD，它們的交點O稱為平行四邊形的中心。

過平行四邊形的中心O任意畫一條直線，把平行四邊形分成了兩個什么圖形？這兩個圖形完全一樣嗎？先畫一畫，再把分成的兩個圖形剪下來比一比。

你能用上面的方法把下面這些圖形分成完全一樣的兩部分嗎？先畫一畫，再與同學交流。

【教學片段一】

出示一些平面圖形：正方形、長方形、平行四邊形、正六邊形、正八邊形。

師：這些圖形認識嗎？六邊形特別嗎？每條邊都相等、每個角都相等的叫正六邊形。

師：今天我們要學習這些圖形的分割。

師：你能在這個正六邊形上劃一條直線，將它分成面積相等的兩部分嗎？

生■：在中間畫一條。

師：有多少種畫法？

學生大都表示有4種，也有學生表示有6種。過了一會兒，有一兩位學生表示有無數種。

師：碰到復雜的問題可以從簡單的問題入手，你們覺得可以從哪個簡單的圖形入手？

生■：正方形。因為正方形的邊少。

師：可是長方形也只有4條邊啊？

生■：正方形不僅邊比較少，而且跟正六邊形相似，每邊都相等的。

【賞析】教師沒有直接出示正方形讓學生研究，而是故意將題目變復雜，“難為”一下學生。這種“顛倒法”產生的沖突，實際上是在向學生巧妙地滲透“從簡單想起”的數學思想。數學思想的基本教學形式是滲透，是師生間談話中的自然流露。“復雜的問題從簡單想起”，實際上是一種類比推理，是合情推理。“長方形也只有4條邊啊”很自然地將學生的視角引向類比的關鍵：兩事物之間必須有相同或相似的屬性，相似程度越高，推理的可信度就越高。

【教學片段二】

師：正方形上畫一條直線將它分成面積相等的兩部分，這樣的直線有幾條？請大家拿出正方形，折一折，畫一畫。

學生操作，教師找不同的方法加以展示。

生■：上下對折，完全重合，再左右對折，再對角對折。

師：看一看這4條，這4條雖然來自四面八方，但都——

生■：相交于中間的點。

師：我們把這樣的點叫中心點，在做的過程中我們有了新的發現。

生■：可以分成兩個梯形，這個梯形少的部分（指梯形的上底），在另一個梯形中也有，多的部分（指梯形的下底），在那個里也有。這樣兩個梯形就一樣了。

生■：這條不是隨便畫的，是圍繞中心點畫的。

師：只要找到怎樣的直線，就可以將這個正方形分成相等的兩部分？

生■：我感覺只要通過中心點，就可以了。

師：這位同學有很好的感覺，但我們還需要驗證。

生■：可以剪開分成兩份，看能不能重合。

學生操作，經過中心點任意畫一條直線，可以剪，也可以測量。

師：我看到了兩種不同的驗證方法，一種是經過中心點，有意地畫一條不一定就能確定的直線再剪開，另一種是沿對折的折痕剪開，你更欣賞哪一種？

生■：第一種，因為第二種不需要驗證了。

……

師：一開始都認為是4條，嘗試的過程中發現相交于同一個點，有部分同學有了大膽的猜想，我們就進行了驗證，最后發現了這個結論。

【賞析】大部分學生都知道“正方形中有4條直線能將它分成相等的兩部分”，基于對這一學情的把握，教師及時地將這種經驗進行提升，引導學生發現問題的關鍵——都相交于中心點。當學生憑直覺發現其他的經過中心點的直線可能也可以將正方形平均分成面積相等的兩部分時，進行驗證的想法自然產生。學生在此感受到“猜想—驗證”的探究過程。在這個過程中，教師的做法到位，但不越位，重視方法的指導，特別是驗證的方法對學生的適當啟發。

【教學片段三】

師：長方形呢？平行四邊形呢？

師：這些想法是對的嗎？是的，還需要科學的驗證。你準備怎么研究？

生■：先找中心。

師：為什么不從頭開始？是的，我們經常是借鑒之前的規律進行新的研究。

學生操作后交流。

師：研究到這兒，我們似乎找到了規律，借助這樣的研究，我們來看一開始的那個問題，正六邊形能有多少條將它分成相等的兩部分的直線？

生■：無數條。這無數條直線都經過中心點。

教師課件演示。

師：正八邊形，正二十邊形呢？你想說什么？

生■：我感覺只要有中心點的圖形都有無數條將它分成相等兩部分的直線。

生■：我覺得三角形不可以。普通的三角形不可以，直角三角形不可以。

生■：等邊三角形也沒有無數條。

師：同學們有這么多猜想與追問，把掌聲送給大家！

師：在研究數學的過程中，最重要的是我們要學會數學的思考。在研究過程中，對自己已有的結論產生新的猜想，這是非常可貴的。既然有了猜想與疑問就需要驗證，我給大家準備了一個正三角形，還準備了一個正五邊形。跟同桌一起想，有沒有直線能將它分成面積相等的兩部分，如果能，有多少條？把你找到的畫出來。

生■：正三角形找到了3條。找到中心點，隨便畫了經過中心點的一條線，結果發現不相等。

生■：經過正五邊形的中心點，只有5條能將它分成面積相等的兩部分的直線。

生■：每個圖形不都是有無數條將它分成相等兩部分的直線。

生■：我發現了一規律，邊數是雙數的正多邊形，有無數條將它分成相等兩部分的直線，邊數是單數的沒有無數條。

生■：圓沒有角，也有無數條的。

師：大家都有了新發現，這個發現是不是成立，還需要驗證。

【賞析】學生經歷了研究正方形、長方形、平行四邊形的過程，積累了確定中心點的經驗。正八邊形、正二十邊形的出現，以及相關的操作、驗證，進一步強化了“只要經過這個圖形的中心點的直線就可以將這個圖形分為面積相等的兩部分”的結論。同時，這些素材的出現，也是促使學生產生新猜想的因子——“是不是所有的圖形都有無數條將它分成相等兩部分的直線”。此前，學生經歷了猜想與驗證的過程，自然地想到要進行驗證，很快地發現這個猜想的缺陷，繼而又完善猜想。整個過程，教師給學生的空間很大，問題由學生提，方法也由學生想。學生積累了經驗，收獲了方法，課堂得以延伸。

【筆者感悟】

1.規律重要，但方法更重要。

數學教學，讓學生掌握知識、形成技能、發現規律，這固然重要，更重要的則是讓學生知道怎么研究這些規律。正如課的最后，莊老師引用畢達哥拉斯的話：“在數學的世界里，重要的不是我們已經知道什么，重要的是我們是怎么知道什么的。”本節課，莊老師站在讓兒童學會數學的思考的角度，把握整個教學，讓學生經歷了觀察、嘗試、猜想、驗證，并得出結論的過程。最后，當學生以為規律要塵埃落定時，又產生新的疑問：“所有的圖形都有無數條將它分成相等兩部分的直線嗎？”再次地反思、驗證，向學生展示了探索規律的方法與路徑——不斷地猜想、驗證、質疑、完善。學生收獲的是思想方法，數學的活動經驗在操作與交流反思中積累與沉淀。

2.教師要有課程意識。

數學不只有枯燥和呆板的一面，數學是生動與豐富的。兒童數學課是實踐活動課程，在活動中有數學思維的生長，數學思想的滲透、活動經驗的積累需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀。數學的世界有大量的素材，因此，教師應有課程開發意識，建立大數學教育觀。只有這樣，才能成為一個真正意義上的數學教師，是一位體現了數學、具有數學教育眼光并身體力行的人。在學生的世界里，數學教師就是數學。

（作者單位：江蘇省南通市通州區西亭小學 責任編輯：王彬）endprint