關(guān)于幾類(lèi)分式函數(shù)迭代問(wèn)題的研究*

向靜婧，金渝光

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

現(xiàn)有的求函數(shù)迭代的方法有定義法、不動(dòng)點(diǎn)法和共軛相似法.迭代運(yùn)算比一般的代數(shù)運(yùn)算復(fù)雜得多，尤其是非線性的迭代.迭代普遍存在于自然界，因此，人們自然關(guān)心次迭代fn(x)的計(jì)算與估計(jì).文獻(xiàn)［1，2］給出一些可迭代的函數(shù)，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用共軛相似法和數(shù)學(xué)歸納法對(duì)某些分式函數(shù)求出它們的迭代式，同時(shí)，用序列方法求線性分式函數(shù)次迭代的一般計(jì)算公式.根據(jù)這一公式可以非常迅速地求出任意線性分式函數(shù)的次迭代.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 迭 代

設(shè)f(x)是定義于集合M上，且在其中取值的映射.若M是數(shù)集合，f(x)就是一個(gè)函數(shù)，這時(shí)，對(duì)于M中的任一個(gè) x，f(f(x))，f(f(f(x)))都是有意義的.記

稱(chēng)fn(x)為f(x)的次迭代，n為fn關(guān)于f的迭代指數(shù).

1.2 迭代的方法

介紹兩種求迭代函數(shù)的方法［1－2］.

數(shù)學(xué)歸納法:觀察函數(shù)f的低次迭代式的基本形式，找出迭代式的規(guī)律，再根據(jù)觀察到的規(guī)律猜想次迭代式的表達(dá)式，最后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明即可.

共軛相似法:把復(fù)雜的函數(shù)迭代化成較簡(jiǎn)單的函數(shù)迭代，直觀地說(shuō)，如果存在可逆函數(shù)h(x)，使函數(shù)f和 g 滿(mǎn)足 f=h－1·g·h 就稱(chēng) f和 g 共軛，也稱(chēng)為相似，記為 f～g.h(x)，稱(chēng)為橋函數(shù).

2 有理線性分式函數(shù)的迭代

由數(shù)學(xué)歸納法很容易得到g(x)=a+x的函數(shù)迭代式gn(x)=x+na.

從而有

2)求線性分式函數(shù)的迭代除了上述介紹的幾種基本方法外，還可化為矩陣的乘冪和函數(shù)序列的迭代問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算［3］.下述用函數(shù)序列［4］的方法得到線性分式函數(shù)n次迭代的一般計(jì)算公式.

首先定義序列 { an}和 {bn}，

其中 α，β 為方程 x2－ax－b=0兩個(gè)根.

證明方法同上.

3 無(wú)理非線性分式函數(shù)的迭代

利用上述有理線性分式函數(shù)迭代式通式的結(jié)論，可以解決一些非線性分式函數(shù)［5，6］的迭代問(wèn)題.

由上述討論線性分式函數(shù)的結(jié)論知，g(x)的n次迭代式

［1］張偉年.動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2001

［2］張景中，熊金城.函數(shù)迭代與一維動(dòng)力系統(tǒng)［M］.成都:四川教育出版社，1992

［3］熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義［M］.2版.北京:高等教育出版社，1997

［4］徐璐，徐紹元.關(guān)于線性分式函數(shù)的次迭代及其應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) ，2006，28(5):225-228

［5］樊汝萍.幾類(lèi)函數(shù)的橋函數(shù)［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，31(4):8-12

［6］張榮.關(guān)于幾類(lèi)函數(shù)的迭代問(wèn)題［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，24(1):22-25