用逆矩陣求某些常系數非齊次線性微分方程的特解*

強成秀

(蘭州商學院隴橋學院數學部，蘭州730100)

常系數線性微分方程的理論研究已很完整，它在工程技術等實際領域也有著廣泛的應用，可以用代數方法求它們的通解［1－3］.類似于線性方程組的解的結構，常系數非齊次線性微分方程的通解也等于它的對應齊次方程的通解與它本身的一個特解之和.在常微分方程理論中，可以用待定系數法來求其特解［4］.利用逆矩陣的方法求某些特殊函數的不定積分，并沒有從理論上給出結論和證明［1］，從而使得該方法在應用時候缺乏理論依據.此處將利用矩陣工具，給出求某些常系數非齊次線性微分方程特解的一般理論和方法.

1 主要結論

定理1 設V是實數域R上全體可微函數所構成的線性空間，D是V上一個求導變換，如果常系數非齊次線性微分方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f(x)中已知函數 f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fm(x)滿足fi(x)∈Si且D(Si)=D2(Si)=…=Dn(Si)=Si，i=1，2，…，m.其中Si是V的一個有限維子空間，則該常系數非齊次線性微分方程可用于逆矩陣方法來求其特解.

證明 令 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)，S1=L(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)).

設求導變換 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣為 A，A2，…，An，由定理 1 的條件知 S1在求導變換 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1下是封閉的，設線性變換 φ(D)=anDn+an－1Dn－1+…+a1D+a0ε(ε 是恒等變換)，很容易知道 φ(D)|S1(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))=(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))φ(A)，則 φ(D)在該組基下的矩陣為 φ(A)，其中 φ(A)=anAn+an－1An－1+…+a1A+a0E(E 是單位矩陣)，由 dim φ(D)|S1(S1)=n和線性變換的維數 dim S1=dim φ(D)|S1(S1)+dim(φ(D)|S1)－1(0)知 dim(φ(D)|S1)－1(0)=0，從而φ(D)|S1是可逆的線性變換，故

說明 若方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)右邊的函數換為 f2(x)，f3(x)，…，fm(x)，求解同上.若方程any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)右邊的函數為某幾個函數之和，則根據非齊次線性微分方程解的疊加原理可得該方程的一個特解.

用逆矩陣求常系數非齊次線性微分方程的特解的具體方法:

(1)當 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)時，步驟為

① 根據 f1(x)構造一個由基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)生成的子空間 S1=L(f11(x)，f12(x)，…，f1n(x))，并且 S1在求導變換 D|S1，D2|S1，…，Dn|S1下是封閉的;

② 求 D|S1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣 A=(aij)n×n;

③ 求線性變換(D|S1)n在基f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣為An，相應地線性變換(D|S1)n－1在基f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣為 An－1，依次求出 An－2，An－3，…，A2;

④ 求 φ(A)=anAn+an－1An－1+…+a1A+a0E，其中 E 為單位矩陣.根據代數知識求逆矩陣(φ(A))－1=(bij)n×n，則(φ(A))－1就是逆變換(φ(D)|S1)－1在基 f11(x)，f12(x)，…，f1n(x)下的矩陣;

⑤ 根據(φ(A))－1=(bij)n×n寫出(φ(D)|S1)－1(f1(x))=b1if11(x)+b2if12(x)+…+bnif1n(x)i=1，2，…，n;

⑥ 于是 any(n)+an－1y(n－1)+…+a0y=f1(x)的特解為

2 應用舉例

例1 利用逆矩陣求方程y″+y'－y=eax，a∈R的一個特解.

解 首先尋找一個包含eax的V的子空間S，且S在求導運算的作用下不變.通過x eax的連續求導運算，得到 S的一個基為eax，x eax，且有 D(eax)=a eax，D(x eax)=eax+ax eax，從而線性變換 D|S和(D|S)2在基 eax，x eax下的矩陣分別為

由于不定積分是求導運算的逆運算，從而可以利用φ(D)=(D|S)2+(D|S)－ε(ε是恒等變換)的逆變換(φ(D))－1=((D|S)2+(D|S)－ε)－1在基 eax，x eax下的逆矩陣(φ(A))－1來求 y″+y'－y=eax的一個特解，即

例2 利用逆矩陣求方程y″+y=x cos 2x的一個特解.

解 首先尋找一個包含x cos 2x的V的子空間S，且S在求導運算的作用下不變.通過x cos 2x的連續求導運算，得到 S 的一個基為 sin 2x，cos 2x，x sin 2x，x cos 2x，且有 D(sin 2x)=2cos 2x，D(cos 2x)= －2sin 2x 以及 D(x sin 2x)=sin 2x+2x cos 2x，D(x cos 2x)=cos 2x－2x sin 2x，從而線性變換 D|S和(D|S)2在基 eax，x eax下的矩陣分別為

使用方法是有條件的，f(x)必須滿足定理1的條件，如果取 f(x)分別為 ln x，tan x，cot x，sec x，csc x，arcsin x，arccos x 等一些基本初等函數時，不適用方法.f(x)為含有 xn，eax，sin ax，cos ax，x∈R 的初等函數時適用本方法.這進一步表明數學中逆過程的方法往往存在局限性.

［1］邱森，朱林生.高等代數探究性課題集［M］.武漢:武漢大學出版社，2008

［2］張守貴.一類二階常系數微分方程特解的教學探討［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2012，29(12):11-14

［3］方輝平，葉鳴.二階變系數齊線性微分方程的求解［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2011，28(1):14-17

［4］同濟大學數學教研室.高等數學［M］.5版.北京:高等教育出版社，2007

［5］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003