微積分一種重要類型極限的計算方法*

張付臣，孫祥凱

(重慶工商大學數學與統計學院，重慶400067)

學好微積分這門課程是學好其他課程的前提，微積分在經濟、管理、金融中有著重要的應用［1－4］.此處給出了一種類型函數極限運算的公式及其在微積分極限運算中的具體應用，應用此極限公式可以求某些極限運算中的參數的值，給出了一元函數在某一點連續性的充分條件和求一個曲線的漸近線等問題，同時給出了一個命題的證明方法.

1 主要內容

注釋1 在上述定理1中，可以把條件“x→x0”修改為“x→∞”.

應用定理1可以求某些極限運算中的參數的值，給出一元函數在某一點連續性的充分條件和求一個曲線的漸近線.

例3 若函數y=f(x)在點x0處的左右導數都存在(但不一定相等)，即有f'－(x0)=c1，f'+(x0)=c2(可以允許c1≠c2)，則y=f(x)在點x0連續.

命題1［4］若y=f(x)在(a，b)上嚴格遞增(減)，且在點a右連續，則y=f(x)在［a，b)上亦為嚴格遞增(減)，對右端點b可以類似討論.

這個命題在課本中沒有給出證明，下面給出一種簡單的證明.

證明 由已知，要證明y=f(x)在［a，b)上亦為嚴格遞增，只要證明對任意的z∈(a，b)，有f(z)＞f(a)即可.任取 z∈(a，b)，由實數的稠密性知，總可以取到 x，y∈(a，b)，滿足 a＜x＜y＜z，由函數 y=f(x)在(a，b)上嚴格單調遞增知 f(x)＜f(y)＜f(z)，令 x→a+，y=f(x)在 a右連續知，f(a)=)≤f(y)＜f(z)?f(a)＜f(z)，

這就證明了對任意的z∈(a，b)，有f(z)＞f(a).從而f(x)在［a，b)上亦為嚴格單調遞增.

注釋2 從函數的圖形上看命題1顯然是成立的，因為若y=f(x)在(a，b)上嚴格遞增，且在點a右連續，則保證了函數的圖形在點a沒有斷開，從而保證了f(a)為函數在［a，b)上的最小值，即f(x)在［a，b)上亦為嚴格單調遞增.

命題2 函數y=f(x)在點x0可導且f'(x0)＞0，則必存在δ＞0使函數y=f(x)在U(x0，δ)內嚴格單調遞增.

命題2是個假命題，舉出下面的一個反例說明命題2是不正確的.

注釋3 1)此題表明，即使函數y=f(x)在定義域內處處可導，但是由一點x0處f'(x0)＞0不能保證存在x0的某鄰域使該函數y=f(x)在該點鄰域內嚴格單調遞增.

2)如果知道f'(x0)＞0，且導函數f'(x)在點x0處連續，即)=f'(x0)＞0.則由連續函數的局部保號性知，一定存在 δ＞0，使在 U(x0，δ)內 f'(x)＞0，從而保證 y=f(x)在 U(x0，δ)內嚴格單調遞增.而上述例題4中f(x)的導函數f'(x)在x=0是不連續的，這是因為極限不存在，雖然

［1］丁宣浩，唐艷，李霄民，等.數學分析［M］.北京:高等教育出版社，2013

［2］丁宣浩，楊宜平.區間上連續函數的性質與構造證明法［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2011，28(4):410-416

［3］袁紅，張付臣，李小武.關于Hopf分岔中向量函數泰勒公式中算子系數表示的評注［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2012，29(10):6-10

［4］華東師范大學數學系.數學分析上冊［M］.3版.北京:高等教育出版社，2002