反函數(shù)求導(dǎo)定理的變體*

曾小林

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶400067)

在微積分中，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)法則是微分學(xué)的重點知識，不少文獻對此進行了探討，如文獻［1］介紹了用導(dǎo)數(shù)求極限的方法，文獻［2］結(jié)合極限、洛必達法則等辨析了導(dǎo)數(shù)的概念.反函數(shù)是微積分中另一個基礎(chǔ)概念，而反函數(shù)的求導(dǎo)定理是一元函數(shù)求導(dǎo)公式的重要組成部分.相比于其他求導(dǎo)法則，反函數(shù)的求導(dǎo)定理更深刻，它的證明除了使用導(dǎo)數(shù)的定義之外，還依賴于反函數(shù)的性質(zhì)，尤其是反函數(shù)連續(xù)性定理，因此可以說它是數(shù)學(xué)分析中一個比較深刻的結(jié)論.有文獻對反函數(shù)求導(dǎo)定理的條件可否減弱進行了仔細的分析［3］.此處從另一角度，即某些特殊情形入手，對此定理進行討論，目的在于拓廣反函數(shù)求導(dǎo)定理的使用范圍，進一步深化對反函數(shù)求導(dǎo)定理的認識.

在討論反函數(shù)求導(dǎo)定理之前，首先對反函數(shù)的概念進行簡單的回顧.

定義1 設(shè)y=f(x)是從定義域D(f)到值域Z(f)的一一對應(yīng)函數(shù)，則對每個y∈Z(f)，有唯一的x∈D(f)使得f(x)=y.記該對應(yīng)法則確定的函數(shù)為x=φ(y)，稱為y=f(x)的反函數(shù)，此時y=f(x)稱為直接函數(shù).顯然 D(φ)=Z(f)，Z(φ)=D(f).

關(guān)于反函數(shù)的下列事實將在文中用到:嚴格單調(diào)函數(shù)必然有反函數(shù)，并且反函數(shù)與直接函數(shù)具有相同的單調(diào)性，更深入地，有下列反函數(shù)連續(xù)性定理:

定理1［4］設(shè)y=f(x)在一個區(qū)間Ix上嚴格單調(diào)增加(或減少)，并且在其中每點連續(xù)，那么它的值域Z(f)=Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}也是一個區(qū)間，且它的反函x=f－1(y)在Iy上嚴格單調(diào)增加(相應(yīng)地，減少)且連續(xù).

為了介紹文中的主要結(jié)果，先回憶反函數(shù)求導(dǎo)定理如下:

觀察定理1，2，可知其中的x0點僅限于區(qū)間的內(nèi)點，而不包括區(qū)間的端點，因為這時函數(shù)至多存在單側(cè)導(dǎo)數(shù).文章首先在命題1，2中討論了當x0為區(qū)間端點時的情況，對反函數(shù)求導(dǎo)定理在區(qū)間端點處的特殊情形加以明確說明;然后，改變反函數(shù)求導(dǎo)定理的可導(dǎo)性條件，分別研究了當f'(x0)=0，f'(x0)=∞時反函數(shù)求導(dǎo)定理的各種表現(xiàn)形式.

1 主要結(jié)果及其證明

命題1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間［a，a+r］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，f(x)在點a的右導(dǎo)數(shù)f'+(a)存在且f'+(a)≠0，則y=f(x)在［a，a+r］上的反函數(shù)x=φ(y)在點y0=f(a)處右導(dǎo)數(shù)(相應(yīng)地，左導(dǎo)數(shù))存在，且有

證明 僅證當y=f(x)在［a，a+r］上是嚴格單調(diào)增加連續(xù)函數(shù)的情形，當y=f(x)在［a，a+r］上是嚴格單調(diào)減少連續(xù)函數(shù)的情形類似可證.

若記Δx=φ(y0+Δy)－φ(y0)，注意 a=φ(y0)，得 Δx+a=φ(y0+Δy)，從而 f(Δx+a)=f(φ(y0+Δy))=y0+Δy=f(a)+Δy，即 Δy=f(a+Δx)－f(a).現(xiàn)考慮極限式由定理1可知，φ(y)在區(qū)間［f(a)，f(a+r)］上連續(xù)且嚴格單調(diào)增加，故由Δy≠0可知Δx≠0且兩者同號.并注意當Δy→0+時，由φ的連續(xù)性及嚴格單調(diào)性知，Δx→0+，故

命題2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間［a－r，a］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，f(x)在點a的左導(dǎo)數(shù) f'－(a)存在且 f'－(a)≠0，則 y=f(x)在［a－r，a］上的反函數(shù) x=φ(y)在點 y0=f(a)處左導(dǎo)數(shù)(相應(yīng)地，右導(dǎo)數(shù))存在，且有

由于命題2與命題1的證明類似，故略去.

觀察y=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)為=0，而 y=x3的反函數(shù)在y=0處的導(dǎo)數(shù)為+∞.據(jù)此自然猜測:定理2中的可導(dǎo)性條件“f(x)在區(qū)間內(nèi)一點x0處可導(dǎo)，且f'(x0)≠0”可以換成下列條件:“f(x)在區(qū)間內(nèi)一點x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0”.精確地說，證明了定理2的下列變體(命題3).

命題3 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，x0∈(a，b)且f'(x0)=0，則y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)在點y0=f(x0)處不可導(dǎo)，且有φ'(y0)=+∞ (相應(yīng)地，φ'(y0)=－∞).

證明 僅證當y=f(x)在［a，b］上是嚴格單調(diào)增加連續(xù)函數(shù)的情形，當y=f(x)在［a，b］上是嚴格單調(diào)減少連續(xù)函數(shù)的情形類似可證.

從φ的連續(xù)性及嚴格單增性可知，當Δy→0時，Δx→0，且有0，得 φ'(y0)=

證畢.

正如命題1，2是定理2在區(qū)間端點處的表現(xiàn)形式，對于命題3來說，它也有在區(qū)間端點處的版本:命題4與命題5.

命題4 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，a+r］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，f'+(a)=0，則y=f(x)的反函數(shù) x=φ(y)在點 y0=f(x0)處不可導(dǎo)，且有 φ'+(y0)=+∞ (相應(yīng)地，φ'－(y0)=－∞).

證明 僅證當y=f(x)在［a，a+r］上是嚴格單調(diào)減少連續(xù)函數(shù)的情形，當y=f(x)在［a，a+r］上是嚴格單調(diào)增加連續(xù)函數(shù)的情形類似可證.

命題5 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a－r，a］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，f'－(a)=0，則y=f(x)的反函數(shù) x=φ(y)在點 y0=f(a)處不可導(dǎo)，且有 φ'－(y0)=+∞ (相應(yīng)地，φ'+(y0)= －∞).

命題5與命題4的證明類似，略去.

從上面的命題3，4，5知，定理2中的可導(dǎo)性條件“f(x)在區(qū)間內(nèi)一點x0處可導(dǎo)，且f'(x0)≠0”是可以改變的.下面進一步將其改變成不可導(dǎo)的特殊情況:“f'(x0)=∞”.

命題6 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，x0∈(a，b)且f'(x0)=∞.則f'(x0)=+∞(相應(yīng)地，f'(x)=－∞)，且 y=f(x)的反函數(shù) x=φ(y)在點 y0=f(x0)處可導(dǎo)，且有φ'(y0)=0.

證明 僅證當y=f(x)在［a，b］上是嚴格單調(diào)增加連續(xù)函數(shù)的情形，當y=f(x)在［a，b］上是嚴格單調(diào)減少連續(xù)函數(shù)的情形類似可證.

命題7 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，a+r］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，f'+(a)=∞，則f'+(a)=+∞(相應(yīng)地，f'+(a)=－∞)，y=f(x)的反函數(shù) x=φ(y)在點 y0=f(a)處滿足 φ'+(y0)=0(相應(yīng)地，φ'－(y0)=0).

證明 僅證當y=f(x)在［a，a+r］上是嚴格單調(diào)增加連續(xù)函數(shù)的情形，當y=f(x)在［a，b］上是嚴格單調(diào)減少連續(xù)函數(shù)的情形類似可證.

若記 Δx=φ(y0+Δy)－φ(y0)，注意 φ(y0)=a，得 a+Δx=φ(y0+Δy)，從而 f(a+Δx)=y0+Δy，即 Δy=f(a+Δx)－f(a).已知 f+'(a)=，并注意由f(x)的嚴格單調(diào)增加性可知當Δx→0+時，Δy與Δx同為正數(shù)，故f+'(a)=+∞.再由φ的連續(xù)性與嚴格單調(diào)增加性可知當Δy→0+時Δx→0+，從而φ+'(y0)=

命題8 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a－r，a］上是嚴格單調(diào)增加(或減少)的連續(xù)函數(shù)，f'－(a)=∞，則f'－(a)=+∞(相應(yīng)地，f'－(a)= －∞)，y=f(x)的反函數(shù) x=φ(y)在點 y0=f(a)處滿足 φ'－(y0)=0(相應(yīng)地，φ'+(y0)=0).

命題8的證明同命題7，略.

命題6，7，8可以看成當定理2中的可導(dǎo)性條件變?yōu)槟滁c處導(dǎo)數(shù)為無窮時，分別考慮該點為區(qū)間內(nèi)部的點、區(qū)間的左端點、區(qū)間的右端點3種情況得到的反函數(shù)求導(dǎo)公式的變體.

最后給出一個例子簡單說明文中結(jié)果的應(yīng)用.

例 1 設(shè) φ(y)=arcsin y，y∈［－1，1］，求 φ'+(－1)與 φ'－(1).

［1］李萍，成立花.巧用導(dǎo)數(shù)的定義式求極限［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(5):18-19

［2］吳永鋒.“微積分”課程教學(xué)中若干問題的辨析［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2014，31(12):38-41

［3］沈晨，金貴榮.關(guān)于反函數(shù)求導(dǎo)定理的注記［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(5):43-44

［4］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊)［M］.6版.北京:高等教育出版社，2007

［5］T.M.菲赫金哥爾茨.數(shù)學(xué)分析原理(第一卷)［M］.9 版.北京:高等教育出版社，2013