基于行(列)展開(kāi)的行列式性質(zhì)證明

趙偉舟，楊 萍

(第二炮兵工程大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與軍事運(yùn)籌教研室，西安710025)

行列式在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和應(yīng)用中不是很多，即使在“線性代數(shù)”的后續(xù)章節(jié)中也只是在求逆陣和特征值中有所應(yīng)用.但是多數(shù)教材［1－4］的編寫(xiě)均從排列的逆序數(shù)和對(duì)換開(kāi)始，從二階、三階行列式推廣到n階行列式.行列式作為數(shù)表的一種復(fù)雜運(yùn)算，具有特殊的抽象性和不易板書(shū)等特點(diǎn).從教的方面看，嚴(yán)格按照教材編寫(xiě)順序進(jìn)行講授，需要耗費(fèi)較多學(xué)時(shí)研究排列、對(duì)換等概念，從學(xué)的方面看，學(xué)員將精力投入到排列的逆序和對(duì)換性質(zhì)上，容易忽略行列式計(jì)算的重要性，而且不易把握章節(jié)主線.如果從行列式的展開(kāi)給出其定義，獲得運(yùn)算性質(zhì)，最后給出在線性方程組中的應(yīng)用，學(xué)員容易從定義——性質(zhì)——應(yīng)用把握教學(xué)主線，更重要地是能節(jié)省時(shí)間補(bǔ)充其他例如高階行列式的計(jì)算技巧等知識(shí).以此順序組織行列式教學(xué)，主要問(wèn)題在于有關(guān)性質(zhì)的證明.曾有文獻(xiàn)從歸納角度給出了部分證明［5］，但從展開(kāi)角度可以更為簡(jiǎn)單地證明行列式的主要性質(zhì).

1 基本概念

首先給出一些預(yù)備性的概念，形如

稱(chēng)為n階行列式.n階行列式實(shí)質(zhì)是數(shù)表的一種復(fù)雜運(yùn)算，其中為運(yùn)算符.在n階行列式中，把a(bǔ)ij所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n－1階行列式叫做aij的余子式，記作Mij;而把(－1)i+jMij稱(chēng)為aij的代數(shù)余子式，并記作 Aij.

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即

從上面可以看出，n階行列式可以通過(guò)逐步降階至二階行列式獲得運(yùn)算結(jié)果，根據(jù)這一定義，可以證明以下重要性質(zhì).

2 性質(zhì)的證明

行列式的性質(zhì)較多，可以分為兩大類(lèi):運(yùn)算規(guī)則類(lèi)和特殊求解類(lèi).在運(yùn)算規(guī)則方面，主要是“轉(zhuǎn)置倍加值不變、交換兩行(列)要變號(hào)、行(列)公因子可提”，在特殊求解方面，主要是“零行(列)等于零、成比例等于零”.下面僅針對(duì)重要性質(zhì)，從展開(kāi)角度進(jìn)行證明.

性質(zhì)1 如果行列式中有一行(列)元素全為0，則該行列式等于0.

證明 由定義，直接取0行展開(kāi)，則易得該行列式等于0.

性質(zhì)2 如果行列式中有一行(列)上元素有公因子，則公因子可以提出.

證明 不妨記

按照定義，對(duì)D'按照第i行展開(kāi)，即D'=kai1Ai1+kai2Ai2+…+kainAin，其中Aij(j=1，2，…，n)是元素kaij在行列式D'中的代數(shù)余子式，不難發(fā)現(xiàn)元素aij在行列式D中的代數(shù)余子式與元素kaij在行列式D'中的代數(shù)余子式相同.因此，D'=k(ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin)=kD.

性質(zhì)3 行列式轉(zhuǎn)置值不變，即D=DT.

證明 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨記轉(zhuǎn)置前后的行列式分別為

(數(shù)學(xué)歸納法)對(duì)二階行列式和三階行列式，不難驗(yàn)證是成立的.

假設(shè) n－1階行列式成立，即 Dn－1=，下面考察 Dn.

對(duì)Dn在第i行展開(kāi)，得Dn=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin，而對(duì)在第i列展開(kāi)=ai1A'i1+ai2A'i2+…+ainA'in，注意到 A'ik是 Aik的轉(zhuǎn)置行列式(k=1，2，…，n)，且階數(shù)為 n－1.

由假設(shè)有 A'ik=Aik(k=1，2，…，n)，從而有 Dn=

性質(zhì)4 交換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào).

證明 ①首先考察交換相鄰兩行第i行和第i+1行的情形.不妨記交換前后的行列式分別為

對(duì) D'按照第 i+1 行展開(kāi)，得 D'=ai1Ai+1，1+ai2Ai+1，2+…+ainAi+1，n.其中，

② 下面考察交換不相鄰的第i行和第j行的情形(不妨設(shè)i＜j).顯然，交換第i行和第j行可通過(guò)相鄰交換實(shí)現(xiàn).首先將D'中第i行換至第j－1行，需要相鄰交換j－i－1次，再將第j－1行和第j行互換一次，最后將第j－1行依次換至第i行，同樣需要進(jìn)行j－i－1次相鄰交換，從而共進(jìn)行了2(j－i－1)+1次相鄰交換即可獲得D，有 D'=(－1)2(j－i－1)+1D= －D.

綜上①②可得D'=－D.

性質(zhì)5 行列式中某行(列)元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0.

證明 不妨記

顯然，D=aj1Aj1+aj2Aj2+…+ajnAjn，并記為 f(aj1，aj2，…，ajn).

考察 f(ai1，ai2，…，ain)，一方面 f(ai1，ai2，…，ain)=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn，另一方面由

得 ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0.

性質(zhì)6 把行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.

證明 不妨記原行列式和倍加后的行列式分別為

據(jù)性質(zhì)5，易得D'=D.

3 結(jié)論

在講授“線性代數(shù)”課程的行列式時(shí)，從展開(kāi)角度分析二階行列式和三階行列式，并猜想n階行列式的類(lèi)似結(jié)論.在給出n階行列式展開(kāi)結(jié)論的基礎(chǔ)上，順利完成了諸性質(zhì)的證明，并通過(guò)性質(zhì)給出了行列式計(jì)算的化上三角形方法，最后簡(jiǎn)單介紹了行列式在求解線性方程組中的具體應(yīng)用——Cramer法則.與以往教法相比，學(xué)員在性質(zhì)理解上摒棄了逆序數(shù)等瑣碎概念帶來(lái)的困擾，另一方面，在學(xué)時(shí)上從以往的8學(xué)時(shí)授課減少到4學(xué)時(shí)授課，節(jié)約的學(xué)時(shí)組織學(xué)員進(jìn)行課堂演練和高階行列式計(jì)算技巧的研討，獲得了事半功倍的教學(xué)效果.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué):線性代數(shù)［M］.5版.北京:高等教育出版社，2007

［2］吳贛昌.線性代數(shù)［M］.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011

［3］李炯聲，查建國(guó)，王新茂.線性代數(shù)［M］.北京:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2010

［4］劉慧.線性代數(shù)［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2000

［5］王朝旺，任開(kāi)隆.行列式的歸納定義及其性質(zhì)的證明［J］.北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2005(9):12-15