格林函數(shù)法求解偏微分方程

張子珍,林 海

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同037009)

格林函數(shù)法求解偏微分方程

張子珍,林 海

(山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山西大同037009)

數(shù)學(xué)物理方法主要討論了3類偏微分方程:波動(dòng)方程,熱傳導(dǎo)方程,泊松方程。對3類方程如何選取格林函數(shù)以及格林函數(shù)法求解3類方程的過程進(jìn)行細(xì)致的分析。

格林函數(shù);波動(dòng)方程;熱傳導(dǎo)方程;泊松方程

格林函數(shù)法求解偏微分方程[1]是數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)的難點(diǎn)。近年來許多文獻(xiàn)[2-5]對這種方法進(jìn)行了討論，但這些文獻(xiàn)討論的都是用格林函數(shù)法求解泊松方程，文獻(xiàn)[6]用純數(shù)學(xué)的方法證明了二階常微分方程的格林函數(shù)，但缺乏明確的物理意義。本文從物理的角度分析了3類偏微分方程格林函數(shù)的物理意義以及用格林函數(shù)法求解3類偏微分方程的具體步驟。

1 格林函數(shù)

格林函數(shù)是某時(shí)刻處于空間某位置的單位點(diǎn)源引起的函數(shù)。線性方程滿足疊加性，所以只要求出某時(shí)刻點(diǎn)源引起的解，那么連續(xù)源引起的解可以看作是空間各點(diǎn)源在所有時(shí)刻引起的解的疊加。

2 格林函數(shù)法求解波動(dòng)方程

利用線性方程的疊加原理，方程(1)可分解為：

uI是齊次方程齊次邊界條件，它的解是：

uII是非齊次方程，但初始條件已化為零，可以用格林函數(shù)法進(jìn)行求解。

將f(x,t)看作是作用在不同位置不同時(shí)刻的許許多多瞬時(shí)力的疊加：

作用在ξ點(diǎn)τ時(shí)刻的單位點(diǎn)源引起的振動(dòng)就是格林函數(shù)G(x,t)，G(x,t)滿足的定解問題為：

用沖量法求解方程(4)，將計(jì)時(shí)起點(diǎn)變?yōu)棣樱瑒t方程(4)變?yōu)辇R次方程：

方程（5）的解為：

3 格林函數(shù)法求解熱傳導(dǎo)方程

利用線性方程的疊加原理，方程(6)可分解為：

方程(7)是齊次方程齊次邊界條件，其解為：

方程(8)是非齊次方程，但初始條件已化為零，可以用格林函數(shù)法進(jìn)行求解。

將f(x,t)看作是作用在不同位置不同時(shí)刻的許許多多瞬時(shí)點(diǎn)熱源的疊加：

作用在ξ點(diǎn)τ時(shí)刻的單位點(diǎn)源引起的溫度分布就是格林函數(shù)G(x,t)，G(x,t)滿足的定解問題為：

方程（9）的解為：

4 格林函數(shù)法求解泊松方程

4.1 第一類邊值問題

設(shè)V內(nèi)有電荷分布ρ，邊界S上給定電勢φ|s，求V內(nèi)的電勢φ(x)。

電勢φ(x)所滿足的方程及條件為：

設(shè)區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)函數(shù)φ(x)和ψ(x)，有格林公式：

格林公式對任意函數(shù)?和ψ都適用。取?滿足泊松方程，ψ為格林函數(shù),則格林函數(shù)滿足：

4.2 第二類邊值問題

設(shè)V內(nèi)有電荷分布ρ，邊界S上給定電勢，求V內(nèi)的電勢φ(x)。

格林函數(shù)所滿足的方程及邊界條件為

利用格林公式，可以求得(12)，(13)所對應(yīng)的靜電場的解。

左邊兩個(gè)積分分別如下：

將上面兩式代入格林公式中，有:

利用邊界條件，得：

幾種常見區(qū)域如:無界空間、上半平面、球外空間的格林函數(shù)可參閱郭碩鴻電動(dòng)力學(xué)。

5 結(jié)論總之，格林函數(shù)是由單位點(diǎn)源引起的函數(shù)，根據(jù)線性方程的疊加性，只要求出點(diǎn)源引起的解，對任意源問題，在點(diǎn)源解的基礎(chǔ)上作積分就可迎刃而解。

[1]四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)第四冊[M].3版.北京:高等教育出版,2010.

[2]劉鳳勤.對格林函數(shù)法的邊值問題的討論[J].濰坊學(xué)院學(xué)報(bào),2002,2(2):24-27.

[3]梁勇,吳自庫.二維拉普拉斯方程的格林函數(shù)法教學(xué)研究[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,22(5):20-22.

[4]胡先權(quán).格林函數(shù)法解靜電場第二類邊值問題的方法[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),l990,7(3):36-43.

[5]楊秀敏.也談拉普拉斯方程狄里克雷問題的格林函數(shù)[J].寶雞師范學(xué)院學(xué)報(bào),1991(2):105-108.

[6]陸靜.用格林函數(shù)法求解二階微分方程邊值問題[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,10(4):32-36.

〔責(zé)任編輯 高海〕

Solving Partial Differential Equation Using Green’s Function Method

ZHANG Zi-zhen，LIN Hai
(School of Physical and Electronics Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Three kinds of partial differential equation are discussed in mathematical physics method,which are wave equation,heat conduction equation,and poisson equation.In this paper,we propose how to choose Green's function in three kinds of equation and give the process of solution partial differential equation with Green’s function method.

Green’s function；wave equation；heat conduction equation；poisson equation

O413.1

A

1674-0874(2015)06-0001-02

2015-05-24

教育部高等學(xué)校物理學(xué)類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)項(xiàng)目[JZW-14-SL-14]

張子珍（1965-），女，山西陽高人，碩士，教授，研究方向:理論物理。