一類非線性高階三點邊值問題可解的充分條件

王 權，張 英，仝耀華

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009）

一類非線性高階三點邊值問題可解的充分條件

王 權，張 英，仝耀華

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009）

微分方程邊值問題廣泛應用于機械、電訊、化工、物理學、應用數學、航天、生物等領域，隨著微分方程的理論逐步完善和求解的深入研究，研究邊值問題得到了許多結果，其中不乏一些重要的結論。在本文中，我們考慮的是一類非線性高階三點邊值問題，利用已有的結論在給定條件下的增長區間內，我們主要通過Leray-Schauder不動點定理得到題存在的一些充分條件。

邊值問題;不動點定理;充分條件

1 研究的問題

在文獻[1]的研究基礎上,本文主要關注下面的高階非線性三點邊值問題解的存在性:

2 主要定理

定理1假設不恒為零,并且存在非負函數k,h∈L1[0,1]使得:

證明為了證明定理,我們首先證明以下要用到的引理:

引理1假設。 當,問題:(1)(2)(3),這里n≥2,有解為:

事實上，由(1)知，

依次積分推導得到:

把(5)(6)帶入(4)中得:

由方程同構性質,得到方程(1)(2)(3)的解為

接下來我們開始定理的證明:設

不妨設B＜1，由于不恒為零,存在,使得。

使用Arzela-Ascoli定理推廣應用[2-3],我們得出結論:算子F是Cld([0,1],R)→Cld([0,1],R)的完備的連續算子[4],且易知問題問題(1)(2)(3)就至少有一個解,R )。當且僅當是F在Cl中的一個不動點。

推論1假設f(t),0不恒為零,

且滿足下列條件之一:

(1)存在一個常數p＞1,使得:

(2)存在常數μ＞0,使得

證明使用上面證明中的B,我們只要證明B＜1。

由于M＞0，我們得到以下關于B＜1的證明：

(1)使用Holder不等式得到：

證畢。

推論2假設f(t,0 )不恒為零,并且存在非負函數

(1)存在一個常數p＞1,使得:

(2)存在常數μ＞-n,

并且

問題(1)(2)(3)就至少有一個解u?∈Cld([0,1],R)。

證明同樣,我們只要證明B＜1。

在式中:

3 結論

關于問題(1)(2)(3)我們得到了解存在的一些條件：

(II)假設f(t,0 )不恒為零,并且存在非負函數

(1)存在一個常數p＞1,使得:

(2)存在常數μ＞0,使得

(I II)假設f(t,0 )不恒為零,，并且存在非負函數

(1)存在一個常數p＞1,使得:

(2)存在常數μ＞-n,使得

[1]MURTHY K N，RAO R S.A theoty of existence and uniqueness of solutions to three point boundary value problems[J].J Math Anal Appl,1992(167):43-48.

[2]張恭慶.林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學出版社,2004.

[3]郭偉.Arzela-Ascoli定理的一個推廣級應用[J].系統科學與數學,2002,11(1):115-122.

[4]張炳根.測度鏈上微分方程的進展[J].中國海洋學報,2004,34(5):907-912.

[5]郭大鈞.孫經先.劉兆理.非線性常微分方程的泛函方法[M].濟南：山東科學技術出版社，1995：156-182.

〔責任編輯 高海〕

Sufficient Conditions on the Existence of A Class of Nonlinear Higher Order Three Point Boundary Value

WANG Quan,ZHANG Ying,TONG Yao-hua
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Boundary value problems of differential equations are widely used in machinery,telecommunications,chemical engineering,physics,applied mathematics,aerospace,biology and other fields.With the further research on the theory of differential equation,the study of boundary value problems has got a lot of results,some of which have some important conclusions.In this paper,we consider a class of nonlinear higher order three point boundary value problem,by using use of the existing results in the range of growth under given conditions,some sufficient conditions for the existence of the problems are obtained by using the Leray-Schauder fixed point theorem.

boundary value problem;fixed point theorem;sufficient condition

O141.4

A

1674-0874(2015)06-0007-04

2015-10-16

王權(1976-)，男，山西大同人，碩士，講師，研究方向:應用數學。