一類網絡病毒的SIA離散模型及穩定性分析

尹禮壽,張晉珠

（太原工業學院理學系，山西太原030008）

一類網絡病毒的SIA離散模型及穩定性分析

尹禮壽,張晉珠

（太原工業學院理學系，山西太原030008）

本文針對網絡病毒的傳播特性，采用了經典的SIA離散模型，并對模型進行了動力學性態分析，然后采用李雅普諾夫第一方法以及圓盤定理對兩類平衡點的穩定性進行了詳盡的證明，得出了平衡點穩定的條件，并給出了模型的基本再生數R0。

圓盤定理；李雅普諾夫第一定理；穩定性

利用離散時間傳染模型去研究網絡病毒傳播特性，比應用連續時間模型更為簡單和準確。近年來，許多研究人員利用離散時間傳染病模型研究網絡病毒的傳播特性并取得豐富的研究成果[1-3]。本文基于文獻[4]建立了一類病毒傳播的動力學模型，應用相關定理、方法分析了模型的穩定性問題。

1 模型的建立

假設在網絡（例如：計算機網絡、手機網絡、微信網絡等）中，某一病毒按照以下模型進行傳播，模型中S(k)、I(k)、A(k)為第k時刻易感主體、被感染主體、患病主體的數量。k=0,1,2,......為離散時間節點。

其中，b＞0為網絡中從時刻k到時刻k+1新增的易感主體的數量;0＜β＜1為第k時刻易感主體被感染主體傳染的有效接觸率;0＜d＜1為第k時刻所有主體因設備陳舊等非傳染病因素不再使用的概率;0＜u＜1為k時刻被感染主體進行殺毒操作后又進入易感主體類的概率;0＜υ＜1為第k時刻患病主體經過殺毒、修理等操作處理后，進入易感主體類的概率;0＜m＜1為第k時刻被感染主體成為患病主體的概率。而且滿足條件:

設系統(1)在時刻k=0滿足S(k)、I(k)、A(k)都為非負值，且任一時刻k都有：

顯然，系統(1)有無病平衡點(S0,I0,A0)，其中,S0=b∕d，I0=A0=0。計算得系統(1)的有病平衡點(Se,Ie,Ae)，其中：

2 無病平衡點穩定性的證明

定理1若，則模型(1)的無病平衡點漸近，則穩定；若，則模型(1)的無病平衡點不穩定。

證明：系統(1)在無病平衡點(S0,I0,A0)的一次線性近似系統為：

系統（2）的雅可比矩陣D的三個特征值分別為:

由李亞普諾夫第一方法[5]，當所有的特征值都包含在單位圓內時，無病平衡點(S0,I0,A0)漸近穩定，所以只需：

當特征值不全包含在單位圓內時，系統平衡點不穩定，即：

時無病平衡點(S0,I0,A0)不穩定。

證明完畢。

由定理1，引入基本再生數：

3 有病平衡點的穩定性證明

定理2當

或者當

則模型(1)的有病平衡點(Se,Ie,Ae)漸近穩定。

證明：作變換

其雅可比矩陣：

其中：

區分當a11＞0或a11＜0兩種情形，分別討論上面(4)～(9)式，使矩陣D1的特征值全在單位圓內。定理2則得證。

4 結論

從以上的證明可以得出，當R0＜1時，染病類主體以及患病類主體從網絡中消失，病毒不會在網絡中流行；當滿足有病平衡點的漸近穩定條件時，疾病會在網絡中流行。但由于筆者水平有限，文章為對病毒進行數值仿真，在以后的研究中，會盡力給出仿真。

[1]Liu Jingzhou,Tang yifa,Yang Z R.The spread of disease-with birth and death on networks[J].Elsevier Science，2008（9）:211-215.

[2]Yuan Z.Global dynamics of an SEI model withacute and chronicstage[J].Journal of computational and Applied Mathematics,2008,213(2):105-147.

[3]Zhang Haifeng,Fu Xinchu.Spreading of epidemics on scale_free networks with nonlinear infectivity[J].Nonlinear Analysis，2008(2):353-367.

[4]蓋紹婷.計算機病毒網絡傳播模型穩定性與控制研究[D].西南大學，2008.

[5]馬知恩,王穩地,周義倉,等.傳染病動力學的數學建模與研究[M].北京：科學出版社,2004.

〔責任編輯 高彩云〕

Stability Analysis of a Kind of Network Virus with SIA Discrete Model

YIN Li-shou,ZHANG Jin-zhu
(Faculty of Science Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan Shanxi,030008)

In view of the propagation characteristics of network virus,this paper uses the classic SIA discrete model,analyzes the dynamics the state of the model.Through the first lyapunov method and the disc theorem,it proves the stability of two classes of equilibrium point,and gives the basic reproductive number of the modelR0.

Gerschgorin disk theorem;the first Lyapunov method;stability

O19

A

1674-0874(2015)06-0014-03

2015-09-24

山西省自然科學基金項目[2012011002-2]；2015年山西省高等學校教學改革項目[118]；山西省教育廳高科技項目[20091041]；太原工業學院理科重點項目[2009LZ02]

尹禮壽（1982-），男，山西盂縣人，碩士，講師，研究方向：傳染病的數學建模與動力學分析。