多時滯離散切換系統的動態輸出反饋H∞控制

王強，聶宏

1.遼寧石油化工大學信息與控制工程學院，遼寧撫順113001

2.遼寧石油化工大學理學院，遼寧撫順113001

多時滯離散切換系統的動態輸出反饋H∞控制

王強1，聶宏2

1.遼寧石油化工大學信息與控制工程學院，遼寧撫順113001

2.遼寧石油化工大學理學院，遼寧撫順113001

借助多Lyapunov函數方法，研究一類具有多時滯的離散切換系統的魯棒H∞控制問題。假設切換系統的每個子系統都不能實現魯棒H∞控制，基于切換動態輸出反饋控制策略，給出了系統存在魯棒H∞干擾抑制水平γ可切換鎮定的充分條件，并表示成與時滯相關的線性矩陣不等式（LMI）形式，還分別給出了切換律和動態輸出反饋控制器的設計方案。最后用仿真例子說明了結論的有效性。

離散切換系統；動態輸出反饋；多時滯；多Lyapunov函數；魯棒H∞控制

1　引言

切換系統作為一類特殊的混雜系統，一般由一組子系統和描述它們之間聯系的切換策略而組成。它廣泛存在于實際工程系統中，如化工系統、通信系統、交通系統、電力系統、航空系統等。近年來已經引起眾多學者的廣泛關注。尤其是切換系統的穩定性方面取得了大量的研究成果［1-5］。文獻［6］綜述了線性切換系統的研究進展。文獻［7］考慮了一類具有非線性擾動的離散切換系統基于觀測器的指數鎮定問題，給出了系統基于觀測器指數鎮定的充分條件。文獻［8］研究了一類具有飽和的不確定離散切換系統基于平均駐留時間的靜態輸出反饋控制問題，設計出了使得閉環系統穩定的靜態輸出反饋控制器。借助平均駐留時間方法和多Lyapunov函數方法，文獻［9］針對一類連續時間不確定線性切換系統，給出了系統在基于切換時間切換律下漸近穩定的充分條件，并獲得了相應的H∞動態輸出反饋控制器的設計步驟。文獻［10］借助單Lyapunov函數方法研究了一類不確定非線性切換系統的動態輸出反饋H∞控制問題，構造出了相應的Lyapunov函數和切換律。文獻［10］借助單Lyapunov函數方法研究了一類不確定非線性切換系統的動態輸出反饋H∞控制問題，構造出了相應的Lyapunov函數和切換律。

目前國內外有關時滯切換系統魯棒控制的研究主要針對單時滯切換系統［11-14］，涉及多時滯問題的研究還不多［15-16］。由于狀態變量所得到的關于系統動靜態的信息比輸出反饋變量提供的信息更豐富、更全面，因此在現代控制理論中多采用狀態反饋。文獻［11］使用多Lyapunov函數方法，研究了一類具有單時滯的離散切換系統基于狀態反饋的魯棒H∞控制器設計問題。使用公共Lyapunov函數方法，文獻［15］給出了任意切換下一類不確定離散多時滯系統基于狀態反饋魯棒穩定的充分條件，并設計了系統的狀態反饋控制器。但是由于切換系統的復雜程度高，切換系統狀態作為系統內部變量組，量測手段在經濟性和適用性上的限制，狀態反饋很難實現。狀態反饋在性能上的不可替代性和在物理上的不能實現性，形成了一個尖銳的矛盾。解決這個矛盾通常需要采用動態輸出反饋方案，也就是在反饋系統中單獨或同時引入串聯補償器和并聯補償器，從而使輸出反饋達到狀態反饋功能。因此，文獻［16］通過構造狀態觀測器利用估計狀態替代實際狀態，針對一類具有多重狀態時滯和凸多面體不確定性的離散切換系統，給出了系統在任意切換信號下基于觀測器的動態輸出反饋魯棒鎮定的充分條件。

本文在文［11］、［15］的基礎上，利用多Lyapunov函數方法，研究一類具有多時滯的離散切換系統在動態輸出反饋下的魯棒H∞控制器設計問題，以線性矩陣不等式形式給出了閉環系統H∞意義下漸近穩定的充分條件，同時還分別給出了基于切換時間的切換律和魯棒H∞控制器的設計方案。與文獻［11］相比，本文使用的Lyapunov函數具有較小的保守性。

2　系統描述

考慮如下多時滯線性離散切換系統：

式中，x（k）∈Rn表示系統的狀態向量，z（k）∈Rq表示被控輸出，y（k）∈Rl表示測量輸出，u（k）∈Rm表示輸入向量，w（k）∈Rp表示外部干擾且w（k）∈l2［0，∞］，τ=1，2，…，d表示滯后時間，σ（k）表示切換信號且，當切換信號σ（k）=i時表示第i個子系統被激活，相應的子系統矩陣為：

在系統（1）中每個子系統都不能實現魯棒H∞控制的假設條件下，研究系統（1）的魯棒H∞控制問題。考慮采用如下形式的動態輸出反饋控制器：

其中

從而本文的目標為：設計切換規則σ（k）和控制器（2）的參數矩陣Aki，Bki，Cki和）使得系統（3）是具有H∞擾動抑制水平γ可切換穩定的。

不同用戶登錄后都可以對文件中的圖片進行火點的檢測，點擊圖片按鈕彈出對話框選擇要檢測的圖片，界面中會標記顯示出圖片中出現的火點情況，并且顯示出該圖片的處理后的二值化圖像。圖片界面檢測如圖4所示。

3　主要結果

引理1［17］（Schur補引理）對于定義在Rm上的矩陣Q（x）=QT（x），R（x）=RT（x）以及S（x），線性矩陣不等式（LMI）

等價于

或

利用多Lyapunov函數方法和線性矩陣不等式方法可推導出如下定理：

則多時滯離散切換系統（1）是具有魯棒H∞干擾抑制水平γ動態輸出反饋可切換鎮定的，并設計動態輸出反饋子控制器增益矩陣和切換律為：

證明選取Lyapunov函數為：

因為Pσ（k）為正定對稱陣，Qσ（k）τ、Sσ（k）τ為正定對稱陣，所以Vσ（k）（k，ξk）正定。

由不等式-2αTβ≤αTSα+βTS-1β，可得：可知，

利用矩陣的Schur補性質，由式（4）和不等式

由切換律（7）和（10）可得，

從而可得

I.當w（k）=0時，ΔV（k，ξk）＜-γ-1zTkzk＜0，可知系統（3）是魯棒穩定的。

由I、II可知，系統（3）可以實現魯棒H∞控制。又知系統（3）為系統（1）的增廣系統，所以系統（1）可以實現魯棒H∞控制。

當σ（k+1）=j，σ（k）=i時，證明可參考文獻［11］。

注：在定理1所構造的Lyapunov泛函V3中選取Siτ=0，τ∈（1，d）且控制器（2）中的參數矩陣Aki，Bki和Dki為0時，定理1可以退化為文獻［11］中的引理1。

4　仿真例子

考慮m=2時的系統（1），此時切換系統由兩個子系統組成.其中系統參數如下：

用MATLAB解不等式（4），當選取β12=β21=1，γ=1，α1=0.3，α2=0.7時，解得可行解P1，P2，K1，K2，Q11，Q12，Q21，Q22，S11，S12，S21，S22。

使系統（11）實現魯棒H∞控制的切換動態輸出反饋控制器增益矩陣為：

仿真結果見圖1、2、3。其中：初始條件x（0）=［7-3］T，。從仿真曲線可以看出系統（11）在切換律（12）和動態輸出反饋控制矩陣（13）作用下是魯棒鎮定的且滿足指定的H∞性能指標γ。

系統的切換信號，如圖1所示。

圖1　系統的切換信號

系統的狀態曲線，如圖2所示。

圖2　系統的狀態曲線

圖3　）的狀態曲線

5　結論

本文利用多Lyapunov函數方法研究一類具有多時滯的離散切換系統的動態輸出反饋H∞控制問題。利用線性矩陣不等式給出了與時滯相關的使閉環系統實現魯棒H∞控制的充分條件，同時還給出了切換律和魯棒H∞控制器的設計方案。仿真結果驗證了設計方法的有效性。

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RobustH∞dynamic output feedback control for a class of discrete time switched systems with multi-delay.

WANG Qing1，NIE Hong2

1.School of Information and Control Engineering，Liaoning Shihua University，Fushun，Liaoning 113001，China
2.School of Sciences，Liaoning Shihua University，Fushun，Liaoning 113001，China

Using multiple Lyapunov function，the problem of the robustH∞control is discussed for a class of discrete time switched systems with multi-delay.Assuming that theH∞control cannot be implemented in each individual subsystem and based on switching output feedback control，a delay-dependent and LMI-based sufficient condition is given for the system to be robustH∞stabilizable，and switching law and dynamic output feedback controller are designed.A simulation example is given to show the validity of the results.

discrete time switched systems；output feedback control；multi-delay；multiple Lyapunov function；robust H∞control

A

TP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1407-0545

國家自然科學基金（No.61104058）；遼寧省教育廳科學研究基金（No.L2014151）。

王強（1988—），男，碩士研究生，研究方向為工業過程的先進控制及應用；聶宏（1965—），女，博士，教授，碩士生導師，主要研究方向為切換系統與混雜控制、非線性系統模糊智能控制等。E-mail：wangqiang328628@163.com

2014-08-06

2014-10-24

1002-8331（2015）22-0214-04

CNKI網絡優先出版：2015-03-20，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20150320.1509.009.html