上證380高頻指數(shù)數(shù)據(jù)已實(shí)現(xiàn)GARCH（1，2）模型的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量

魏正元，張　鑫，趙　瑜（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

上證380高頻指數(shù)數(shù)據(jù)已實(shí)現(xiàn)GARCH（1，2）模型的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量

魏正元，張?chǎng)危w瑜
（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

針對(duì)高頻金融數(shù)據(jù)收益率序列的厚尾和偏斜性，建立了偏t誤差分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型，對(duì)上證380指數(shù)5 min頻率的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行了VaR預(yù)測(cè)，并與經(jīng)典的正態(tài)分布和t分布誤差假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，誤差項(xiàng)服從偏t分布的R-GARCH（1，2）模型能夠有效識(shí)別上證380指數(shù)收益率序列的分布特征，并且能夠精確地測(cè)量其收益風(fēng)險(xiǎn)。

高頻金融數(shù)據(jù)；已實(shí)現(xiàn)GARCH；VaR；偏t分布；厚尾特征；偏斜性

風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量是金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理的核心和基礎(chǔ)［1］，準(zhǔn)確度量和預(yù)測(cè)金融資產(chǎn)的收益風(fēng)險(xiǎn)有利于投資者做出正確的投資決策。目前，VaR方法已成為被金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管當(dāng)局認(rèn)可的最重要的金融風(fēng)險(xiǎn)管理方法之一。國(guó)內(nèi)外對(duì)VaR的研究都是以低頻金融數(shù)據(jù)為研究對(duì)象。隨著計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)技術(shù)的飛速發(fā)展，采集和記錄高頻金融數(shù)據(jù)日趨便捷，因而對(duì)高頻金融數(shù)據(jù)的研究日益受到廣泛關(guān)注。金融市場(chǎng)的信息連續(xù)影響證券市場(chǎng)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過程，收集樣本數(shù)據(jù)的頻率越高，信息丟失就越少。由于比低頻數(shù)據(jù)包含了更多的市場(chǎng)信息，因此基于高頻數(shù)據(jù)的金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量也更為準(zhǔn)確。

在VaR的傳統(tǒng)計(jì)算中，以GARCH類模型最為流行［2-7］，但是GARCH類模型的研究對(duì)象是低頻數(shù)據(jù)。2002年Andersen［8］針對(duì)高頻數(shù)據(jù)提出了“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率，是通過加總某一頻率下的日內(nèi)分時(shí)數(shù)據(jù)的收益平方來(lái)得到對(duì)真實(shí)波動(dòng)率的一個(gè)估計(jì)。Hansen［9］于2012年提出了一種將GARCH類結(jié)構(gòu)應(yīng)用到高頻數(shù)據(jù)的模型，稱為“已實(shí)現(xiàn)”GARCH模型（R-GARCH）。R-GARCH模型是在傳統(tǒng)的GARCH模型的基礎(chǔ)上加入了波動(dòng)率的“已實(shí)現(xiàn)”測(cè)度，并通過一個(gè)測(cè)量方程將“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率與真實(shí)的波動(dòng)率整合起來(lái)。在預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)R-GARCH模型一般都假定金融收益率序列服從正態(tài)分布或t分布，但其實(shí)際收益率并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布或t分布，而是具有非對(duì)稱性和厚尾特征［10］，所以使用誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布和t分布的RGARCH模型度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)會(huì)造成風(fēng)險(xiǎn)的高估或低估。為了處理金融數(shù)據(jù)波動(dòng)率表現(xiàn)出來(lái)的厚尾現(xiàn)象和偏斜現(xiàn)象，R-GARCH模型除了使用一般的正態(tài)分布和t分布之外，還使用偏t分布作為收益率誤差項(xiàng)的分布。與t分布相比，偏t分布在描述收益率序列厚尾現(xiàn)象的同時(shí)還考慮了分布存在偏斜的可能性，所以誤差項(xiàng)服從偏t分布的R-GARCH模型能夠更好地反映出收益率的風(fēng)險(xiǎn)特性。本文使用5 min頻率的高頻數(shù)據(jù)，基于偏t誤差分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型對(duì)上證380指數(shù)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)，并與正態(tài)分布和t分布誤差假設(shè)下RGARCH（1，2）模型的VaR預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，在一定程度上拓展了ToshiakiWatanabe的工作。

1　模型及參數(shù)估計(jì)

由圖1、2可以看到，收益率的分布存在厚尾現(xiàn)象和波動(dòng)聚集的特征。從圖3收益率的樣本ACF可以看出對(duì)數(shù)收益率沒有顯著的序列相關(guān)性。圖4是收益率的絕對(duì)值的樣本ACF，圖5是收益率平方的樣本ACF，這兩幅圖表明對(duì)數(shù)收益率不是序列獨(dú)立的。綜合以上情況，說(shuō)明上證380指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列｛rt｝確實(shí)是序列不相關(guān)的，但是是相依序列，說(shuō)明對(duì)該收益率R-GARCH模型是一個(gè)合適的模型。又用AIC方法確定R-GARCH（p，q）模型中的p=1，q=2，因此對(duì)其波動(dòng)率進(jìn)行建模，并且設(shè)定R-GARCH（1，2）模型如下：

其中：rt（t=1，…，n）表示第t天的收益率；xt是第t天收益的“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率（realized volatility）；條件方差ht=var（rtFt-1），F(xiàn)t-1=σ（rt，xt，rt-1，xt-1，…）。

圖1　上證380指數(shù)收益率分布

圖2　5 min頻率的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率

ToshiakiWatanabe估計(jì)了rt的條件期望μ≠0時(shí)的各參數(shù)值，發(fā)現(xiàn)μ的估計(jì)值非常小，即ht很接近于μ=0的情況，因此本文采用rt的條件期望）=0的基準(zhǔn)模型。方程（2）是ht的動(dòng)態(tài)方程，在GARCH模型中ht是ht-1和誤差項(xiàng)zt的函數(shù)，而在R-GARCH模型中ht是ht的過去值和波動(dòng)率的“已實(shí)現(xiàn)”測(cè)度xt的函數(shù)。測(cè)量方程（3）中的τ1zt+τ2（z2t-1）是杠桿函數(shù)，表明過去一期的收益率不僅在大小上影響波動(dòng)率，也在方向上影響波動(dòng)率，正的價(jià)格擾動(dòng)和負(fù)的價(jià)格擾動(dòng)對(duì)波動(dòng)率產(chǎn)生不一樣的影響。杠桿函數(shù)的設(shè)定與收益率誤差項(xiàng)分布的設(shè)定相關(guān)。收益率的誤差zt～i.i.d.（0，1），zt的分布也影響著模型參數(shù)估計(jì)的精確度。由于上證380指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)存在厚尾現(xiàn)象和偏斜現(xiàn)象，收益率誤差項(xiàng)的分布除了考慮正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)t分布之外，還考慮偏t分布。本文使用Bollerslev（1987）的標(biāo)準(zhǔn)t分布，其形式如下：

其中υ為標(biāo)準(zhǔn)t分布的自由度。在標(biāo)準(zhǔn)t分布的基礎(chǔ)上，Hansen進(jìn)一步提出了偏t分布。本文采用Fernandez and Steel（1998）的偏t分布，其形式為：

R-GARCH模型本質(zhì)上是一個(gè)離散時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率（stochastic volatility）模型，但是由于波動(dòng)率“已實(shí)現(xiàn)”測(cè)度的存在，R-GARCH模型可以用極大似然估計(jì)將所有參數(shù)一次性估計(jì)［11-12］。對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，假定收益率rt最初的條件方差h0為無(wú)條件方差，通過式（2）迭代計(jì)算ht，然后由收益方程（1）得到收益率rt的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，取最小值得到模型的參數(shù)估計(jì)值。

2　實(shí)證分析

上證380指數(shù)是上海證券交易所和中證指數(shù)公司于2010年11月29日正式發(fā)布的新興藍(lán)籌指數(shù)，它是上海市場(chǎng)藍(lán)籌股指數(shù)的主要組成部分。本文采用上證380指數(shù)2013年238個(gè)交易日的5 min頻率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)從銳思數(shù)據(jù)庫(kù)下載www.resset.cn），基于3種不同誤差項(xiàng)分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)，其收益率定義為rt=ln Pt-ln Pt-1。

記｛rt｝為上證380指數(shù)對(duì)數(shù)收益率時(shí)間序列，｛xt｝為其“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)的時(shí)間序列，分別對(duì)基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)t分布和偏t分布的R-GARCH（1，2）模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到3種模型的參數(shù)估計(jì)。

由表1的估計(jì)結(jié)果可以看出：3種模型的參數(shù)的估計(jì)值τ1和τ2符號(hào)確實(shí)是相反的，表明一般的金融資產(chǎn)會(huì)對(duì)負(fù)的收益率擾動(dòng)做出更大的反應(yīng)；偏t分布的參數(shù)ξ＞1，表明收益率的分布不是對(duì)稱的而是右偏的（如圖4）。根據(jù)表1中t分布的自由度υ和偏t分布的參數(shù)（υ，ξ）的估計(jì)值畫出3種分布的密度函數(shù)圖（圖6）。

表1　基于不同分布假定下Realized GARCH（1，2）模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖3　上證380日收益率的自相關(guān)函數(shù)

圖4　上證380日收益率的絕對(duì)值的自相關(guān)函數(shù)

圖5　上證380日收益率的平方的自相關(guān)函數(shù)

圖6　不同誤差項(xiàng)的分布

得到這些參數(shù)的估計(jì)值后將參數(shù)的估計(jì)值和最初的條件方差h0帶入式（2）迭代計(jì)算h1，…，hn進(jìn)行多步預(yù)測(cè)，根據(jù)分位數(shù)的線性性質(zhì)計(jì)算在給定置信水平下的238個(gè)VaR值，該值給出了上證380指數(shù)在一定的置信水平下的一個(gè)上界。當(dāng)實(shí)際收益率超出VaR預(yù)測(cè)值時(shí)則視為失敗。表2給出了模型預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)的失敗率，可以看出：在99%、90%置信水平下，基于正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型的分位點(diǎn)估計(jì)明顯偏高；在49%置信水平下，這2種模型的分位點(diǎn)估計(jì)偏低，都與實(shí)際情況相差很大，而偏t分布假設(shè)下的模型的溢出率接近于實(shí)際情況；在50%置信水平下，雖然3種模型的分位點(diǎn)估計(jì)與實(shí)際情況相差不大，但是正態(tài)分布和t分布假設(shè)下模型的預(yù)測(cè)效果沒有偏t分布假設(shè)下模型的預(yù)測(cè)效果好?？傊闷玹分布假設(shè)下的R-GARCH模型對(duì)金融市場(chǎng)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)度量得到的VaR值比正態(tài)分布和t分布假設(shè)下R-GARCH模型得到的VaR值更加穩(wěn)健、精確。以上的實(shí)證分析表明：正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的的R-GARCH模型并不適合金融市場(chǎng)，而偏t分布假設(shè)下的R-GARCH模型是一個(gè)合適的模型。

表2　基于不同分布假設(shè)下Realized GARCH（1，2）模型計(jì)算的VaR值的經(jīng)驗(yàn)失敗率

3　結(jié)束語(yǔ)

在風(fēng)險(xiǎn)值的計(jì)算中大都假定金融收益序列服從正態(tài)分布，但研究表明金融資產(chǎn)收益率序列的真實(shí)分布是厚尾的，而由于受到市場(chǎng)發(fā)展水平和參與者成熟程度以及對(duì)利空和利好信息的反應(yīng)差異等諸多因素的影響，收益率序列往往也不是對(duì)稱分布，而是呈現(xiàn)出不同程度的左偏和右偏。雖然t分布能夠較好地描述收益率的厚尾特征，但t分布是對(duì)稱分布時(shí)不能描述收益率分布的偏性。本文用偏t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型計(jì)算VaR值，通過與正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的RGARCH（1，2）模型的比較可以看出：偏t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的測(cè)度優(yōu)于正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型，表明基于偏t分布的R-GARCH（1，2）模型更加適合金融市場(chǎng)分析。

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（責(zé)任編輯劉舸）

M easurement of Risk Based on Realized GARCH（1，2）M odel w ith Different Residual

WEIZheng-yuan，ZHANG Xin，ZHAO Yu

（College of Mathematics and Statistics，C? hongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

We built the realized GARCH（1，2）modelwith skewed student's t distribution to forecast VaR of Shanghai Stock Exchange380 index for the high-frequency financial data with a fat tail and asymmetry.The model with normal distribution and student's t distribution was used for comparison. The empirical results show that the realized GARCH model with the skewed student's t distribution can identify the characteristics of the return series of Shanghai Stock Exchange 380 index and measure the risk of Shanghai Stock Exchange 380 indexmore accurately.

high-frequency data；realized GARCH；VaR；skewed student's t distribution；fat tail；asymmetry

O21

A

1674-8425（2015）05-0137-05

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.05.024

2015-02-10

重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（cstc2012jjA00018）；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJ130810）；重慶市高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（1203053）

魏正元（1975—），男，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)、金融統(tǒng)計(jì)、金融數(shù)學(xué)研究。

魏正元，張?chǎng)?，趙瑜.上證380高頻指數(shù)數(shù)據(jù)已實(shí)現(xiàn)GARCH（1，2）模型的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（5）：137-141.

format：WEIZheng-yuan，ZHANG Xin，ZHAO Yu.Measurement of Risk Based on Realized GARCH（1，2）Model with Different Residual［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（5）：137 -141.