動態滑翔動力學建模與風梯度能量獲取*

單上求，侯中喜，朱炳杰，高顯忠

動態滑翔動力學建模與風梯度能量獲取*

單上求，侯中喜，朱炳杰，高顯忠

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

為簡化問題描述和便于數學操作，對無動力飛機的動態滑翔問題做了假設，并在這些假設下建立了無動力飛機動態滑翔的動力學模型，即三維速度空間中只有一個輸入變量的常微分方程組。之后，從理論上得到了這個三維速度空間中機械能可以增加的最大范圍，即能增紡錘體內部，并推導出最大的機械能增加率。得出更大的風梯度、更小的阻力系數和更小的面質比更加有利于飛機獲取能量的結論，該結論加深了對動態滑翔能量觀點的認識，對實踐有指導意義。

動態滑翔；風梯度能量獲取；無動力滑翔

(CollegeofAerospaceSciencesandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

不難證明無動力飛機飛行在平靜的空氣中即便做出任何機動都會最終飄落到地面。但人們觀察到在自然界中的一些鳥類如信天翁能夠飛行很長時間而不撲打翅膀[1]。信天翁可以在一次獵食飛行中飛行長達3 600～15 000km[2]。在如此長距離的飛行中如果時刻保持撲打翅膀信天翁會耗盡體能。假如人造飛行器能夠像信天翁一樣飛行，那么航時和航程將會顯著擴展，或是節省大量的能源。如果臨近空間長航時飛行器能夠使用這項技術是非常有前途的。那些鳥類之所以能夠飛這么久是由于環境中的上升氣流或非均勻風場。陸地鳥類傾向利用上升氣流(靜態滑翔)，而海洋鳥類主要利用風梯度(動態滑翔)[1]。后者正是單上求等的研究焦點。

Rayleigh勛爵或許是探索動態滑翔物理秘密的第一人。他解釋了為什么信天翁不可能在水平均勻風場條件下不拍打翅膀飛行。他還給出了后來研究者普遍使用的對于動態滑翔的描述性分析。他展示了穿過兩層水平切變風的環形運動的物理觀點[3]。簡而言之，當信天翁在不同風速的切變風場中飛行時，它總是試圖獲得額外的空速用以保持飛行高度。

理論上講只要有陡峭的風梯度就可以進行動態滑翔。實際生活中，這樣的情形可能發生在山坡背風側的分離流中以及地面邊界層或陣風里[1]。Idrac的文章指出試驗顯示隨高度增高而加劇的風場總是存在于信天翁飛行的海面上空[4]。圣地亞國家實驗室成功地在山坡背風側進行了遙控動態滑翔試驗[5]。Gordon的論文描述了由NASA支持的全尺寸滑翔機有人動態滑翔試驗[5]。實際上，大量的遙控滑翔機愛好者經常在山坡背風側實現動態滑翔，例如每年八月底舉行的名為Rosendal山坡周末的滑翔活動[6]。氣象氣球測量的數據也展示了梯度風場幾乎存在于地面以上30km范圍內的每一個高度上[7]。這意味著動態滑翔的適用范圍很廣闊。盡管如此，目前還沒有確信證據證實全自主動態滑翔已經成功實現。

另一方面，對于動態滑翔的理論研究在Rayleigh之后仍在繼續。Wood把動態滑翔的運動簡化為一個二維模型并給出了基于空速的常微分方程，他研究和模擬了在對數風場中的兩類完整的飛行循環[8]。Hendriks推導出了三自由度質點動力學方程并且得到了不沉降解的條件[9]。

由于計算機革命，很多以往認為難以進行的計算如今可以在個人計算機上完成。因此，動態滑翔路徑規劃就成了近年來的熱門話題。Boslough的報告使用了遺傳算法優化Rayleigh循環[1]。Zhao使用NPSOL軟件數值優化了無動力飛機[10]和有動力飛機[11]動態滑翔的最小循環。Sachs導出了動態滑翔的最優控制問題并且給出了數值結果[12]，還計算出使用他所提供方法生成軌跡的最小風切變強度[13]。Deittert利用微分平滑特點簡化了該最優化問題[14]。高顯忠采用了一個簡化的分段模型用以優化動態滑翔問題[15]。文獻[16]是一篇比較全面地介紹動態滑翔的綜述文章，更多細節內容可資借鑒。

1 系統模型

1.1 飛機與風場假設

為了簡化問題但不破壞問題的本質，對飛機和風場做出了假設。

對于飛機，假設如下：

1)飛機無動力，即沒有推力作用于其上；

2)飛機的轉動是瞬間完成的，只需考慮飛機的平移動力學；

3)飛機是自穩定的，即飛機始終指向空速方向；

4)傾側角是系統唯一的控制輸入，可以通過偏轉副翼實現，且傾側角可瞬間到達。

文獻[10-12]、[14]和[17]做了和以上第二條同樣的假設。第三條和第四條假設意味著飛機沒有了改變升阻比的能力，只有一個傾側角控制輸入讓系統更加清晰，在數學上更易操作。根據第三條假設，由于飛機始終是零攻角，因此飛機的升力系數和阻力系數近似不變[18]。第三條和第四條假設同文獻[13]所做的假設一致。

另一方面，對于風場該假設只有隨著高度呈均勻線性變化的單向水平切變風。如圖1所示，風速的改變正比于高度差，這意味著風梯度是飛機所在局部區域的斜率。這里假設的風場實際是全局風場的局部近似。該風場假設同文獻[10]和[11]中的假設相同。

1.2 坐標系

坐標系的定義如圖1所示。O-xyz是一個非慣性系，原點O在水平面內同飛機所在高度的風一起運動，即與飛機所在當地的風具有相同的速度。z軸豎直向上指向天空。對于x軸，如果風速隨著高度增大，x軸就指向風速的反方向；如果風速隨著高度減小，則x軸指向風的方向。y軸由右手定則決定。在圖1中，慣性系O0-x0y0z0與非慣性O-xyz在初始時刻重合且永遠固連在地面上。

圖1 坐標系和風場Fig.1 Coordinates and wind field

1.3 動力學方程

根據1.1節中的四條假設，三維的質點動力學方程足以描述這個問題。由于O-xyz坐標系相對于慣性坐標系沒有旋轉運動，因此飛機所受的力只有氣動力、重力和牽連慣性力[19]，如圖2所示。

圖2 作用在飛機上的力Fig.2 Forces acting upon the aircraft

由于參考系隨風移動，牽連慣性力Fi可以表示為

(1)

(2)

(3)

其中：ρ是空氣密度；v是速度大小，數值上等于空速；s是翼面積[18]。CL和CD分別是升力系數和阻力系數，且滿足以下關系：

(4)

其中L/D是升阻比。為了使用方便，定義

(5)

(6)

升力和阻力在O-xyz坐標系里可以表示成

(7)

(8)

其中，vx，vy和vz是速度的三個坐標分量，v是速度的大小，而φ是傾側角。那么，動力學方程可以根據牛頓定律[19]給出

(9)

將PLm=PL/m和PDm=PD/m代入式(9)，最終得到

(10)

其中，vx，vy和vz是系統狀態，而φ是唯一的系統輸入。后面關于機械能增加率的討論也將在這個三維速度空間中討論。

2 機械能增加率

令E代表非慣性系O-xyz中的機械能，根據動能定理[19]，則機械能的變化等于阻力和慣性力做功，因為升力始終垂直于運動方向，故其不做功。因此可得

dE=-Ddl+mGwvzdx

(11)

其中dl為線元，可以表示為

dl=vdt

(12)

將式(12)代入式(11)得到

(13)

所以，單位質量的機械能增加率

(14)

由式(14) 可見，機械能的瞬時改變不受控制輸入傾側角φ的影響，只是速度空間中的系統瞬時位置的函數，傾側角φ在該時刻只影響系統下一刻的走向。令式(14)右側為函數

(15)

直角坐標系中的速度可以按式(16)轉換為球坐標:

(16)

其中，r是徑向速度，θ是俯仰角，ψ是偏航角。便于畫圖，將式(16)代入式(15)，可得其球坐標形式

(17)

若PDm等于0.003，Gw等于1.2，本文所有單位都是采用國際單位制，因此量綱符號都予以省略。圖3為函數(17)的等值面圖，同一等值面上的點具有相同的d(E/m)/dt，即等值面為等機械能增加率面。

圖3 函數f等值面圖(上半葉為半剖圖)Fig.3 Contour graph of function f(the upper half is semi-sectional view)

2.1 能增紡錘體

機械能增加率為0的等值面方程為

(18)

其恰好將速度空間分割為機械能增加率為正(面內部機械能增加)與機械能增加率為負(面外部機械能減小)的兩部分。因此稱其所包裹的體為能增紡錘體(如圖3所示的曲面所包裹的體)。從式(18)還可以看出，Gw/PDm的比值越大，能增紡錘體的體積越大，直觀上講，系統增加機械能的可能性越大。因此，增加風梯度Gw、減小阻力系數CD和減小面質比s/m有利于能量獲取。同時由式(18)可見，能增紡錘體位于vx>0,vz>0或vx<0,vz<0的四個卦限內。而系統只有在能增紡錘體內才可能增加機械能，這印證了文獻[3]中正風梯度(風速隨高度增高而增大)下信天翁逆風上升(對應vx>0,vz>0)，順風下降(vx<0,vz<0)可獲得能量的結論。

2.2 最大機械能增加率

(19)

(20)

轉換為直角坐標對應于

(21)

其最大值為

(22)

這就是最大的機械能增加率，由式(22)可見，若想增加單位質量的最大機械能增加率，可以增加風梯度Gw、減小阻力系數CD和減小面質比s/m。該結論和2.1節的結論相一致。

3 結論

直觀上看，無動力飛機在切變風場中能夠持續飛行在于其能量得到了補充。本文對于能量獲取問題，從理論上給出了比Rayleigh更加準確的結論，即只有在能增紡錘體內部才可能獲取額外的能量，而機械能增加的速率也有其極限值，并不是無限制的。更大的風梯度Gw、更小的阻力系數CD和更小的面質比s/m有利于飛機獲取額外的機械能。

References)

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ZHUBingjie,HOUZhongxi.Energytransformationindynamicsoaringofunmannedaerialvehicles[J].JournalofNationalUniversityofDefenseTechnology, 2015, 37(1): 78-83.(inChinese)

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[19]ArnoldVI.Mathematicalmethodsofclassicalmechanics[M].USA:SpringerScience&BusinessMedia, 1989.

Dynamics modeling of dynamic soaring and energy gaining from the wind gradient

SHAN Shangqiu, HOU Zhongxi, ZHU Bingjie, GAO Xianzhong

Inordertosimplifythedescriptionoftheproblemsandtobeconvenientformathematicalmanipulation,aseriesofhypothesesaboutthedynamicglideproblemofunpoweredaircraftweremade.Underthesehypotheses,adynamicsmodelofdynamicsoaring,whichisa3-dimentionalordinarydifferentialequationsinthevelocityspacewithasingleinput,wasbuilt.Thelargestgrowingareaofmechanicalenergyinthisvelocityspace,whichiscalledenergy-gainedspindle,wasobtainedtheoreticallyandthemaximumrateofenergyincreasingwasalsodeduced.Theconclusionthatthelargerwindgradient,thesmallerdragandthesmallerarea-massratioaremoreinfavorofgainingenergyfortheenginesaircraftgivesadeeperunderstandingofthedynamicsoaringenergyanditcanhelpthepractice.

dynamicsoaring;windgradientenergygaining;unpoweredsoaring

2014-04-10

國家863計劃資助項目(2014AA7054035)

單上求(1987—)，男，遼寧錦州人，博士研究生，E-mail：ssq870424@126.com；侯中喜(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：hzx@sina.com

10.11887/j.cn.201504008

http://journal.nudt.edu.cn

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