立方晶格晶面間距的計算

屈 盛，楊留方，劉涵哲，馬雄韜，王玉林

(云南民族大學電氣信息工程學院，云南昆明650500)

晶面間距是固體物理學中的一個很重要的參數，研究晶體結構時往往會用到它.在《X射線衍射分析》和《材料科學》的不少教材中常常采用下式來計算立方晶格的晶面間距［1－3］:式中，a為立方系晶胞(單胞)的邊長(即晶格常數)，而(hkl)是晶面的密勒指數，d為相應的晶面間距.在教學實踐中常常看到，在計算簡單立方晶格的晶面間距時，(1)式是正確無誤的，但在計算面心立方(FCC)晶格和體心立方(BCC)晶格的晶面間距時，(1)式所得出的結果有時是錯誤的.例如，利用(1)式計算 FCC晶格的(100)面和(111)面的晶面間距時，所得的結果分別為 a和 a/，即(1)式可以得出(100)面的晶面間距大于(111)面的晶面間距的結論.但由晶體學知識我們知道，FCC晶格中(111)面為最密排面，其晶面間距應該是所有晶面族中最大的.(1)式計算所得的結果與這個常識相矛盾，可見(1)式并不適用于 FCC晶格晶面間距的計算.

文獻［4］中指出了上述矛盾和(1)式的局限性，然而作者通過計算卻得出FCC晶格中(100)面和(111)面的晶面間距是相等的(均為a/).這顯然是錯誤的，因為FCC晶格中，(100)面和(111)面上的原子排列情況并不相同，(111)面是最密排面，而(100)面并不是最密排面，所以二者的晶面間距理應是不相同的.鑒于教材和文獻中對于晶面間距的計算(尤其是對于立方晶格的晶面間距的計算)，過于籠統和不精確，本文對晶面間距的計算進行了深入的總結與討論，并給出一種利用密度比來計算晶面間距的方法，最后利用這些方法分別計算了FCC晶格和BCC晶格的晶面間距.如果不同方法的計算結果是完全相同的，則可以驗證這些計算方法都是正確的.

1 晶面間距的傳統計算方法

1.1 以原胞基矢描述的計算

在有關教材中，常常采用2種基本的重復單元來描述晶格的周期性和對稱性［5－6］:一種是固體物理學原胞，另一種是晶體學單胞(也稱晶胞).對于布喇菲格子來說，原胞只在其頂角處存在原子，而晶胞則在其頂角、面心、體心、底心處均可以存在原子［5－7］.因此，原胞和晶胞并不完全相同，只有簡單布喇菲格子(例如簡單立方、簡單四方、簡單正交等晶格)的晶胞才和它的原胞相同.參照文獻中的習慣，為了便于區別，本文也將原胞的基矢記為a1、a2和a3，對應的晶面的參數記為(h1h2h3)，稱之為面指數;而將晶胞的基矢記為a、b和c，對應的晶面的參數記為(hkl)，稱之為密勒指數［7］.利用倒格矢的性質可以知道，(h1h2h3)晶面族的晶面間距可以由下式計算得到［7－9］:

實際工作中，常常用密勒指數(hkl)來表征晶面，而不是用面指數(h1h2h3)來表征晶面.由于晶胞的基矢 a、b、c和原胞的基矢 a1、a2、a3并不一定全同，因而對于同一族晶面，其密勒指數(hkl)與面指數(h1h2h3)并不一定相同，而(hkl)和(h1h2h3)相同，也并不一定表示同一晶面族［7］.所以，(2)式和(3)式并沒有直接給出以(hkl)標記的晶面族的晶面間距［7］.因此，對于實際工作來說，(2)式和(3)式的使用很有限，必須找出利用密勒指數(hkl)來表示的晶面間距dhkl的公式［8］.

1.2 以單胞(晶胞)基矢描述的計算

根據文獻［8］，利用密勒指數(hkl)表示的晶面間距dhkl的計算公式可以歸納為［8］:

其中，Khkl=ha*+kb*+lc*為倒格式，而a*、b*、c*為倒格子基矢，而α=1或者2，是與結構有關的系數.

對于立方系布喇菲格子，由于a=b=c，故晶面間距可表示為:

由文獻［7－8］可知，對于簡單立方晶格，α恒等于1;而對于面心立方晶格，當h、k、l均為奇數時α等于1，否則α等于2;對于體心立方晶格，當h+k+l=偶數時α等于1;否則α等于2.也就是說，面心立方晶格的晶面間距的計算公式為［7－10］:

而體心立方晶格的晶面間距的計算公式為［7，10］:

顯然，(5)式比(1)式更能準確地反映出立方晶系(hkl)晶面族的晶面間距，(1)式只是(5)式在特定情況下的形式，或者說，(1)式只適合于計算簡單立方晶格的晶面間距，這就是本文開始部分中所提到的矛盾所產生的原因.

需要指出的是，(5)式簡化為(1)式的晶面條件和面心(體心)立方晶格產生X線的衍射的晶面條件相同，例如，計算面心立方(111)面的晶面間距時，由于此時滿足h、k、l均為奇數的條件，故(5)式簡化成了(1)式，而此時該結構的(111)晶面恰好也是對X線產生衍射的晶面.

2 晶面間距的密度比的計算方法

2.1 密度比的計算方法

如果將晶格中單位面積內所包含的原子數目定義為面密度σ，而將單位體積內所包含的原子數目定義為體密度ρ，則可以利用下式來計算晶格的晶面間距:

2.2 FCC和BCC的晶面間距的計算

圖1給出FCC和BCC晶格的不同晶面上的原子排布情況，表1則給出了對應的不同晶面上的三角形或四邊形的面積、所含原子數目、計算得到的面密度、晶格的體密度和按照(6)式計算得到的晶面間距.表1的最后一列還給出了由(5)式計算得到的結果.由表1可以看到，(6)式的計算結果和(5)式的計算結果完全一致，因此兩式可以相互驗證對方的正確性.

利用(6)式計算晶面間距時，應注意體密度和面密度的計算要正確.計算體密度時往往取一個晶胞來計算.例如一個體心立方晶胞和一個面心立方晶胞的體積均為a3，且分別含有2個原子和4個原子，因此體心立方晶格和面心立方晶格的體密度分別為2/a3和4/a3.而計算面密度時則稍微復雜些.例如一個體心立方晶胞和一個面心立方晶胞的(100)面的面積均為a2，且分別含有1個原子和2個原子，如圖1所示，因此，體心立方晶格和面心立方晶格(100)面的面密度分別為1/a2和2/a2.故由(6)式計算得到的體心立方晶格和面心立方晶格(100)面的晶面間距均為a/2.

由上面的計算還可以知道，利用(6)式計算晶面間距比利用(5)式計算要復雜一些.但是(6)式沒有使用條件，可以應用于任何一個晶面族的計算，而(5)式應用于不同晶面族的計算時，系數α有所不同，如果記不住其使用條件，那么有可能會計算錯誤.

3 結語

文中的(1)式并不能正確地計算所有立方晶格的晶面間距，在計算面心立方晶格和體心立方晶格的晶面間距時，應該使用(5)式來計算或者采用本文給出的(6)式來進行計算，(1)式只是(5)式在特定情況下的形式.從本文的例子可以看到，(5)式和(6)式的計算結果是一致的，它們可以相互驗證對方的正確性.

表1 利用密度比的方法來計算FCC和BCC的晶面間距時所得到的結果

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