海水槽控溫波動性及均勻性的概率密度分布分析

艾銳峰，程 杰，歐陽軍，楊 健

（中國白城兵器試驗中心氣象室，吉林 白城 137001）

0 引 言

控溫海水槽是溫鹽深計量測試系統的關鍵設備。目前，國內外海洋儀器校準實驗室均建有高水準的控溫海水槽，為溫鹽深測量儀等海洋水文調查設備的測試、校準工作提供穩定的溫度場。溫度場的均勻性和波動性是影響溫鹽深計量測試系統測量不確定度的重要因素。目前其所滿足的概率分布尚待確定，測量方法不一。

文獻[1-2]對恒溫槽的測試和不確定度評定進行了論述。在海水槽測量不確定度的評定中，需要給出其控溫波動性和均勻性所服從的概率密度分布[3-4]；但是，目前在實際應用中主要是根據經驗給出其溫度場均勻性和波動性所滿足概率分布的假設，并沒有基于測量數據給出其概率分布的嚴格數學推斷，主觀性過強，應用于不同海水槽時，存在風險。基于此，本文首先依據JJF 1030——2010《恒溫槽技術性能測試規范》[1]對控溫海水槽進行測試，錄取測量數據；利用χ2檢驗法[5]對波動性和均勻性滿足的概率分布進行統計推斷，以嚴格確定其概率密度分布函數。

1 控溫海水槽均勻性及波動性的測試

根據JJF 1030——2010《恒溫槽技術性能測試規范》的規定，按下述方法對海水槽進行測量。測量儀器及設備包括海水槽、鉑電阻溫度計、測溫電橋、低熱電勢轉換開關。圖1為海水槽的工作區域示意圖。

圖1 海水槽工作區域示意圖

1.1 波動性測試方法

波動性的測試一般選擇在海水槽實際工作溫度范圍的下限或上限進行（-5～35℃）。也可測試工作溫度范圍其他溫度點的波動性。本文以35℃為例。

將海水槽溫度設定在35℃，將一支鉑電阻溫度計插入圖1的位置O，即工作區域內1/2深度處，待海水槽到達35℃后穩定一段時間（10min，或者海水槽使用說明書的規定時間）后，利用測溫電橋讀取鉑電阻溫度值。

在每1min內按照均勻間隔讀取6次或者以上次數的測量值，持續一段時間，獲取M個測量值tO，m，m=1，2，…，M（為了利于后續的分布假設檢驗處理，盡可能獲取多的測量數據），作為波動性概率密度分布分析的樣本值。

1.2 均勻性測試方法

均勻性測試的溫度點同樣選取在35℃。測試的位置根據JJF 1030——2010，一般選擇在工作區域的上、下水平面上均勻分布的典型位置上。見圖1中位置 A，B，C，D，E，F，G，H。 本文以上工作平面為分析對象。

計算位置O鉑電阻溫度計示值的平均值：

計算位置A鉑電阻溫度計示值的平均值：

則A點相對于O點的溫度示值差為

按同樣的方法，測量工作區上水平面其他點相對于 O 點的示值差：tB-O、tC-O、tD-O。

通過循環測量獲取 N 個 tA-O，tB-O、tC-O、tD-O的樣本值：tA-O，n、tB-O，n、tC-O，n、tD-O，n，n=1，2，…，N 作為工作區上水平面均勻性概率密度分布分析的樣本值。合并表示為 tS，n，n=1，2，…，L。

2 概率密度分布的分析方法

對測量數據所滿足的分布類型進行推斷時，首先根據經驗或者由樣本數據的直方圖給出其分布類型的一個假設。再采用最大似然估計，對分布函數中的未知參數進行估計[6]。最后通過假設檢驗對其滿足的分布類型作出統計推斷。

2.1 分布函數的參數估計

首先由測量數據 tO，m，m=1，2，…，M 和 tS，n，n=1，2，…，L 畫出 tO、tS的直方圖，得到其分布的直觀印象。根據數據的直方圖，假設tO服從類型為f1（tO，θ1，θ2，…，θr）的概率密度分布，θ1，θ2，…，θr為分布函數的參數；tS服從類型為f2（tS，β1，β2，…，βq）的概率密度分布，β1，β2，…，βq為分布函數的參數。

采用最大似然估計對分布函數的參數進行估計。即尋找使得樣本值出現的可能性最大的參數值作為未知參數的估計。

構造似然函數：

則：

對ψ1（θ1，θ2，…，θr）、ψ2（β1，β2，…，βq）求導，并令其等于0，即：

計算對應的（ θ1，θ2，…，θr）、（β1，β2，…，βq）值，使ψ1、ψ2最大的值作為（θ^1，θ^2，…，θ^r）、（β^1，β^2，…，β^q）。

2.2 概率分布的假設檢驗

對概率分布進行假設檢驗的常用方法是χ2檢驗法，它是根據來自總體的樣本，檢驗關于總體分布假設的方法，相對簡單并適用廣泛[7-12]。

以tO的概率分布的檢驗為例，先做出二元假設，即：

對tO的分布在數軸上順次劃分K個區間：-∞=t0＜t1＜…＜tK-1＜tK=+∞，計算樣本 tO，m落入區間[tk-1，tk）（k=1，2，…，K）的頻數 fk。 當 H0為真時，tO，m落入[tk-1，tk）的概率為pk=F1（tk，θ^1，θ^2，…，θ^r）-F1（tk-1，θ^1，θ^2，…，θ^r），則相應的頻數為 pk·M。構造 χ2分布檢驗的檢驗量：

3 測量數據分析

利用海水槽、兩支標準鉑電阻溫度計、測溫電橋作為測量設備錄取測量數據，依據上述方法進行分析。

3.1 波動性的概率密度分布分析

首先作出海水槽控溫波動度的直方圖，如圖2所示。

圖2 波動度測量數據直方圖

從圖中可以直觀地看出其與Gamma分布或者正態分布接近。選取Gamma分布作為對象，即假設波動度Δt滿足下式所示的分布：

圖3、圖4分別為測量數據的概率密度分布和Gamma分布假設下的概率密度分布。

首先劃分K=20個區間，測量數據M=729個，計算各個區間頻數。據χ2檢驗規則，區間劃分應使得pk·M≥5，根據計算結果，對區間進行合并調整，K變為15，最后結果如表1所示。

圖3 波動度測量數據概率密度分布

圖4 Gamma分布假設下的概率密度分布

表1 χ2檢驗計算表

根據表1結果，由式（11）計算檢驗量得到χ2=20.1274。

在顯著水平α=0.05下，有：

即：χ2=20.1274≤χ20.05（ 12）。因而可以認為在水平α=0.05下接受H0，即波動度Δt服從Gamma分布：

3.2 均勻性的概率密度分布分析

利用均勻性的測量數據，共計M=2729個。首先作出其直方圖，如圖5所示。選取正態分布作為對象，即假設均勻性Δt′的概率密度分布函數如下式所示：

由最大似然估計得到其參數：μ^=0.0031，σ^=0.0009。圖6、圖7分別為測量數據的概率密度分布和正態分布假設下的概率密度分布。

圖5 均勻性測量數據直方圖

圖6 均勻性測量數據概率密度分布

圖7 正態分布假設下的概率密度分布

劃分K=19個區間，計算檢驗量得到χ2=24.0256。

在顯著水平α=0.05下，有：

即：χ2=24.0256≤（ 16）。因而可以認為在水平α=0.05下接受H0，即均勻性Δt′服從正態分布：

4 結束語

作為溫鹽深計量測試系統關鍵設備的控溫海水槽，其溫度場均勻性和波動性所滿足的概率密度分布在實際工作中主要是根據經驗給出。本文在測量數據的基礎上，利用最大似然估計和χ2檢驗法[3]給出其嚴格的統計推斷，得到了概率密度函數式。分析中理論分布函數的選取，結合直方圖經過反復試驗確定。由于χ2檢驗法依賴于區間的劃分，可以在此基礎上利用其他假設檢驗法（如K檢驗法）做進一步的比對分析。

[1]JJF 1030—2010恒溫槽技術性能測試規范[S].北京：中國質檢出版社，2010.

[2]郭沈輝，戚曉紅，王林虎.恒溫槽的校準及不確定度的評定[J].中國測試技術，2007，33（ 6）：86-89.

[3]Gonzalez A，Herrador M.Evaluation of measurement uncertainty in analytical assays by means of monte carlo simulation[J].Talanta，2004，64（ 20）：415-422.

[4]Wübbeler G， Krystek M， Elster C.Evaluation of measurement uncertainty and its numerical calculation by a monte carlo method[J].Measurement Science and Technology，2008，19（ 8）：125-130.

[5]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004：79-92.

[6]Ruiz M E，Vicente S P,Ruiz F R.Statistical inference Hypothesis testing[J].International Journal for Clinical and Investigate Allergology and ClinicalImmunology，2010，38（ 5）：266-277.

[7]湯建勛，張斌，許光明.機抖激光陀螺抖動隨機噪聲概率分布的檢驗[J].光電子與激光，2003，14（ 1）：105-106.

[8]李廣柱，高仲輝，陳少應.風廓線雷達風譜的概率分布研究[J].計算機仿真，2009，26（ 4）：93-96.

[9]鄒傳仁，張俊芝.基于Bayes方法和模糊檢驗的年最高水位的概率模型研究[J].浙江工業大學學報，2006，34（5）：571-575.

[10]姜培華，范國良.幾種非正態總體未知參數的貝葉斯假設檢驗問題[J].南通大學學報：自然科學版，2013，12（ 1）：82-85.

[11]Rajan J， Jeurissen B， Verhoye M.Maximum likelihood estimation-based denoising of magnetic resonance images using restricted localneighborhoods [J].Physics in Medicine and Biology，2011，56（ 16）：134-139.

[12]Lui K J. A note on hypothesis test in binary data under the single-consent randomized design[J].Therapeutic Innovation&Regulatory Science，2006，40（ 2）：219-227.