橢偏電磁波在手征負折射介質表面的反射與折射特性研究

崔興霞 金 毅 宋 朋* 孫曉娟 徐 娟

（濟南大學物理科學與技術學院 濟南 250022）

1 引言

負折射率材料有許多奇特的特性，如負折射效應、反常Doppler效應、反常Cherenkov輻射及“完美透鏡”效應等[1]。正是由于這些獨特的特性，最近幾年負折射率材料在材料科學、光學、應用電磁學和固體物理學領域受到廣泛的關注，對它的研究也成為科學領域的一大熱點。

目前，科學家主要以雙負方法、傳輸線方法和光子晶體方法這三種方法利用人工介質實現負折射。在20世紀80、90年代，隨著對手征介質的進一步認識以及手征材料制作技術的發展，手征介質在許多領域有了新的應用。最近，Pendry、Tretyakov等提出了利用手征材料實現負折射的新方法[2]。由于手征負折射率介質特性不同于一般介質特性，電磁波在其中的傳播與我們常規介質中傳播的理論不同。不能用已有的公式分析電磁波在手征介質中的傳播，需要對電磁波的行為重新討論。本文基于電磁波的傳輸特性、手征負折射率介質中的本構關系及邊界條件，從圓偏振電磁波在手征負折射率介質表面的反射和折射入手，討論了橢圓偏振電磁波在手征負折射率介質表面的反射和折射特性，并通過與經典理論的對比找出了它們的不同。

2 電磁波在手征負折射率介質中的基本理論

手征性是指物體經過平移、旋轉等任意空間操作均不能與其鏡像完全重合的特性。手征性在光學中主要表現為旋光性和圓二向色性。

介質對電磁波的影響通過本構關系來描述。對雙各向同性介質，本構關系中除了通常的介電常數和磁導率之外，還有兩個表示電場和磁場交叉耦合的參數。手征介質是雙各向同性介質的特例，其電場和磁場的交叉耦合是互易的，此時交叉耦合為同一參數，即手征參數χ。

時諧電磁波在各向同性手征負折射率介質中的本構關系為[3-4]

式中，ε為手征介質的介電常數；μ為手征介質的磁導率；ε0為真空中的介電常數；μ0為真空中的磁導率。

在手征介質中，存在兩個本征電磁波：右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波。本征波滿足Helmholtz方程

式中，E±、B±分別為右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的電場分量和磁場分量（+表示右旋，?表示左旋）。

右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的波數為

式中，n±=n±χ為右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的有效折射率，表示手征介質的折射率；為真空中電磁波的波數。

當χ＞n時，n?＜0，這樣就實現了左旋圓偏振電磁波在手征介質中的負折射。對于左旋圓偏振電磁波E、H、k構成左手螺旋關系，能流密度矢量S與波矢k反向。χ＞n的手征介質就是所謂的手征負折射率介質。

3 橢圓偏振電磁波在手征負折射介質表面的反射與折射

橢圓偏振電磁波可以用左旋圓偏電磁波和右旋圓偏電磁波的疊加來表示，因此我們先分析圓偏電磁波入射時的情況[5]。

如圖1所示，圓偏電磁波由常規介質入射手征負折射介質表面時，折射電磁波中的左旋圓偏振分量發生負折射，位于法線另一側。在圖中給定的電磁參數下，入射圓偏電磁波的復振幅表達式如下（設入射電磁波沿y方向振幅分量為1）

圖1 電磁波在手征負折射率介質表面的反射與折射Fig.1 The reflection and refraction of EM waves on the surface of the chiral negative refractive index medium

式中，+表示右旋，?表示左旋；θi為入射角，波數。由圖1中幾何關系可得，kr沿x方向分量為krx=krs inθr，ki沿z方向分量為krz=krzcosθr。

反射波在常規介質中傳播，可以表示為TE波和TM波的疊加。根據其在介質1中的傳播，以am表示TE波的振幅，以bm表示TM波的振幅（下標m=1表示右旋圓偏振電磁波入射，m=2表示左旋圓偏振電磁波入射）。則反射波電磁場復數表達式為

折射波可用右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波的疊加表示，（+表示右旋，?表示左旋；m=1表示右旋圓偏振電磁波入射，m=2表示左旋圓偏振電磁波入射）

式中，θ±分別表示折射波中右旋圓偏振電磁波和左旋圓偏振電磁波分量的折射角；波阻抗；折射率。

由波矢邊界連續條件 kix=krx=ktx，kty=kry=kty，可得到反射定律，θi=θr；折射定律，（n±=n2±χ），對于手征負折射介質χ＞n2（n?＜0），因此θ?＜0。左旋圓偏振電磁波發生了負折射，其折射波與入射波位于法線同側[6-7]。且E、H、k滿足左手螺旋關系。根據電磁波的邊界條件推導出復振幅參數

當入射角大于臨界角θc±時，折射角θ±為負數角度，透射波變為表面波，透射波離開交界面后迅速衰減，實際上并沒有功率透過，因此取折射角的實部，當θi大于θc±時，相應的折射角余弦的實部為零，沒有實功率透過，只有虛功率。

由復振幅反射率和折射率可以看出，am和 bm不相等，且存在相位差。因此，反射波為橢圓偏振電磁波。但是，當入射電磁波以某一特定角度θb入射時，反射電磁波能夠變成線偏振，am和bm中有一個為零或他們的相位差為零。這個入射角θb就被稱為布儒斯特角。

任意的橢圓偏振電磁波都可以通過坐標系的旋轉變成正橢圓偏振電磁波，在這里，只討論正橢圓偏振電磁波入射的情況。設正橢圓偏振電磁波沿方向的電場分量為E1，沿 xOz平面的電場分量為E2。則右旋和左旋正橢圓偏振電磁波入射的電場的復數表達式為

利用單位振幅的圓偏振電磁波可表示為

同理得到反射波

透射波

以及能流反射率和透射率

4 數值分析

因任意橢圓偏振電磁波較為復雜，我們僅以E1=1、E2=2的正橢圓偏振電磁波入射的情況為例，對平均能流反射率和透射率，以及全反射的情況進行了討論。選擇介質參數μ1=μ1=μ0，ε1=ε0，ε2=0.16ε0，則n2=0.4，對于手征負折射介質，要求χ＞n。

圖2 ＜n+＜n1時的能流反射率和透射率Fig.2 The reflectivity and transmittance of energy current

當右旋正橢偏振電磁波入射時，由圖2a可以看出：隨著入射角增大到cθ?，折射波中的左旋圓偏振電磁波變成表面波，無法在介質中傳播，透射率有所下降，同時，反射率增大；當入射角繼續增大到cθ+時，折射波中的右旋圓偏振電磁波也變成表面波，此時，能量被全部反射，即發生了全反射，能流反射率變為1，透射率變為0。

左旋正橢圓偏振電磁波入射，能流反射率和透過率隨入射角的變化如圖2b所示。當入射角增大到cθ?，透射率明顯下降；入射角變為cθ+時，發生全反射，反射率為1，透射率變為零。

在入射角變化的整個過程中，能流的反射率與透射率之和始終為1，遵循能量守恒定律。

圖3 ＜n 1＜ n +時的能流反射率和透射率Fig.3 The reflectivity and transmittance of energy current

右旋橢圓偏振波入射時，能流反射率和透射率隨入射角的變化得曲線比較平緩。當入射角增大到臨界角cθ?，能流反射率和透射率有一個比較小的躍變，由于左旋圓偏振波變成表面波，因此能流反射率增大，能流透射率減小。此后，能流反射率和透射率沒有躍變，也無全反射現象。且在整個過程中，流反射率和透射率和恒為1，即滿足能量守恒定律。

左旋橢圓偏振電磁波入射的情況與右旋橢圓偏振波入射類似，能流反射率和折射率只是在θc?處的躍變較大。

（3）取χ=1.5，n1＜＜ n+，此時，不論是右旋圓偏振電磁波還是左旋圓偏振電磁波，都不存在臨界角。平均能流反射率和透射率隨入射角的變化如圖4所示。

圖4n 1＜ ＜n +時的能流反射率和透射率Fig.4 The reflectivity and transmittance of energy current

由圖可以看出，不論對于右旋橢圓偏振電磁波入射還是左旋橢圓偏振電磁波入射，能流的反射率和透射率在整個入射角變化范圍內都不存在躍變，它們隨入射角的變化是一條平滑的曲線，沒有全反射現象的發生。且整個過程中能流的反射率和透射率和為1，滿足能量守恒定律。

5 結論

由于手征負折射介質中電磁波的傳播現象與經典理論不同，無法用已有的理論公式進行討論。本文依據手征負折射介質的本構關系，討論了橢圓偏振電磁波在手征負折射率介質與常規介質表面的反射與折射特性，并給出了能流反射率透射率隨入射角變化的曲線。結果顯示，在手征介質存在兩個本征波，它們有著不同的傳播特性：

（1）當手征參數大于介質折射率時，本征波中的左旋圓偏振電磁波會發生負折射，這種介質被稱為手征負折射介質。

（2）在手征參數取不同值時，對應兩個本征波存在兩個、一個或者不存在臨界角；當兩個本征波都存在臨界角時，會出現全反射現象，其他兩種情況不會發生全反射。

（3）不同偏振態的橢圓偏振電磁波入射時手征負折射率介質表面時，會產生不同的反射和折射現象。

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