一種時滯系統(tǒng)輸出反饋自適應(yīng)穩(wěn)定的改進方法

許建強， 李俊玲

（上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，上海 201418）

一種時滯系統(tǒng)輸出反饋自適應(yīng)穩(wěn)定的改進方法

許建強， 李俊玲

（上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，上海 201418）

針對一類含變時滯狀態(tài)擾動不確定系統(tǒng)的輸出反饋自適應(yīng)穩(wěn)定問題，已有的算法僅能保證閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)最終一致有界.提出了一種新的控制算法，通過在控制器中引入一正的一致連續(xù)有界函數(shù)并設(shè)計了一種新的自適應(yīng)率對擾動參數(shù)進行在線估計，可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)一致漸近趨于零.仿真結(jié)果驗證了該算法的有效性.

時滯系統(tǒng)；輸出反饋；自適應(yīng)穩(wěn)定；一致漸近穩(wěn)定

時滯的存在往往是系統(tǒng)不穩(wěn)定或系統(tǒng)性能變差的根源.在許多實際系統(tǒng)中，狀態(tài)往往不易測量或不能直接測量得到，因而在物理上實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制器并不容易.因此，近年來在時滯系統(tǒng)中引入輸出反饋控制越來越受到了人們的關(guān)注［1-3］.文獻［4］中在要求不確定性的上界是已知的條件下，首先研究了含時滯狀態(tài)擾動不確定系統(tǒng)的輸出反饋自適應(yīng)穩(wěn)定問題.文獻［5］中則對不確定性的上界做了進一步的推廣，假定上界是某些已知函數(shù)的線性組合但系數(shù)未知，通過設(shè)計自適應(yīng)狀態(tài)觀測器保證了狀態(tài)估計一致漸近趨于系統(tǒng)的真實狀態(tài).在上述研究中，時滯都是常數(shù).同常時滯相比，變時滯的研究結(jié)果則要少得多.文獻［6］在文獻［4-5］的研究基礎(chǔ)上，進一步假定不確定性上界是未知的和時滯是變化的情形，通過對不確定性上界進行在線估計，設(shè)計自適應(yīng)輸出反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)最終一致有界.

本文在研究了文獻［6］中的含時滯擾動不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋自適應(yīng)穩(wěn)定問題的基礎(chǔ)上，在自適應(yīng)控制器的設(shè)計中引入了一正的一致連續(xù)有界函數(shù)，并采用了不同的自適應(yīng)律對系統(tǒng)的未知參數(shù)進行在線估計，進而保證了閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)一致漸近趨于零.

1 系統(tǒng)的描述

考慮一類包含非線性變時滯擾動的不確定系統(tǒng)

式中：時間t∈R；狀態(tài)x（t）∈Rn；控制輸入是系統(tǒng)輸出；A，B，C是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣代表含時滯擾動的未知非線性向量函數(shù).初始條件是一個定義在上的連續(xù)函數(shù)，h（t）是時變時滯且滿足

系統(tǒng)（1）的標(biāo)稱系統(tǒng)為

2 主要結(jié)果

假設(shè)1 ｛A，B｝是完全可控的.

假設(shè)2［4］未知向量函數(shù)G是連續(xù)的，且滿足下述不等式：

式中：‖·‖表示歐幾里德范數(shù)；βj，j=1，2，3是未知常數(shù).不訪設(shè).

注1 由Kalman-Yakubovich引理［7］可知：T（s）是嚴(yán)格正實的充要條件是存在正定陣P∈和反饋矩陣K∈Rm×n滿足

有對稱正定解P∈Rn×n.顯然，當(dāng)時，式（8）和（6）是等價的.

引理1［8］已知則對任意的0，有

引理2［8］Barbalat引理若函數(shù)f（t）在［0，上一致連續(xù)，并且廣義積分存在，則有

定理1 對于滿足假設(shè)1～3的系統(tǒng)（1），若采用由如下形式的自適應(yīng)輸出反饋控制器和自適應(yīng)律

式中，F(xiàn)稱為輸出控制增益矩陣，它使得式（5）中的傳遞函數(shù)T（s）是嚴(yán)格正實的.σ（t）∈R+是一正的一致連續(xù)有界函數(shù)滿足

μi＞0，i=1，2，3，且滿足

證明 構(gòu)造如下形式的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

將式（9）代入式（14）并注意到

所以

由引理1可得

將式（16～18）代入式（15）可得

式中，

由不等式a2+b2≥2ab可得

式中，

由式（22）可知：由式（1）、（9）和（10）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是一致最終有界的.

式中，

所以，由式（22）、（23）可得

式中，

對式（24）兩邊取極限并結(jié)合式（11）可得

另一方面，由式（23）可得

即~x（t）是一致有界.易知，~x（t）連續(xù)，所以~x（t）一致連續(xù)，從而γ3（‖x（t）‖）一致連續(xù).由引理2知

即系統(tǒng)的狀態(tài)將一致漸近趨于零.

3 仿真實例

考慮如下含變時滯擾動的非線性不確定系統(tǒng)［6］

式中，

易證，當(dāng)F=2時，標(biāo)稱系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

是嚴(yán)格正實的.由式（6）可得

令μ1=2，則由矩陣?yán)杩ㄌ岱匠淌剑?）可求得

在本例中，取

μ2=0.65，μ3=1.顯然，

時滯h（t）=1+0.5sin t，如圖1所示.

圖1 時滯函數(shù)Fig.1 Time-delay function

取σ（t）=25e-0.5t，采用由式（9）給出的自適應(yīng)輸出反饋控制器和式（12）給出的自適應(yīng)率的仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.2 Response of output system

4 結(jié) 語

針對一類含時滯擾動不確定非線性系統(tǒng)的輸出反饋自適應(yīng)穩(wěn)定問題.假定不確定性滿足所謂的匹配條件且標(biāo)稱系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣是嚴(yán)格反饋正實的.提出了一種新的自適應(yīng)控制方法，在自適應(yīng)控制器的設(shè)計中引入一正的一致連續(xù)有界函數(shù)，并證明了此控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)一致漸近趨于零.仿真結(jié)果也表明了該算法的有效性.

［1］ Hua C，Guan X.Output feedback stabilization for time-delay nonlinear interconnected systems using neural networks［J］.IEEE Trans Neural Networks，2008，19（4）：673-688.

［2］ Yoo S J.Adaptive neural output-feedback control for a class of non-linear systems with unknown time-varying delays［J］.IET Control Theory Appl，2012，6：130-140.

［3］ Yan X G，Sarah K S，Edwards C.Decentralized stabilization for nonlinear time delay interconnected systems using static output feedback［J］.Automatica，2013，49（2）：633-641.

［4］ Wu H S.Robust output feedback controllers for dynamical systems including delayed perturbations［J］. International Journal of Systems Science，1999，30（2）：211-218.

［5］ Wu H S.Adaptive robust state observers for a class of uncertain nonlinear dynamical systems with delayed state perturbations［J］.IEEE Trans Automatic Control，2009，54（6）：1407-1412.

［6］ 許建強，陳樹中.含時滯擾動非線性系統(tǒng)的輸出反饋自適應(yīng)控制［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006（3）：60-65.

［7］ Khalil H K.Nonlinear systems［M］.New York：Mac-Millan，1992.

［8］ 梅生偉，申鐵龍，劉康志.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

（編輯 俞紅衛(wèi)）

An lmprovement of Output Feedback Adaptive Stabilization for Time Delay System

XU Jian-qiang， LI Jun-ling
（School of Sciences，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 201418，China）

As for the problem of output feedback adaptive stabilization for a class of uncertain dynamic system including time-varying delayed disturbance，the old algorithm only guaranteed the uniform ultimate boundedness of the closed-loop system.A new control algorithm was proposed.A positive uniformly continuous bounded function was introduced in the controller and a new adaptive law was designed to estimate the parameter of the disturbance on line，which could guarantee the state trajectory of the closedloop system was uniformly and asymptotically to zero.The effectiveness of the algorithm was verified by the simulation results as well.

time delay system；output feedback；adaptive stabilization；uniformly asymptoticallystabilization

O 231.2

A

1671-7333（2015）01-0099-04

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.01.018

2014-07-28

許建強（1973-），男，副教授，博士，主要研究方向為控制理論與應(yīng)用.E-mail：jqxu＠sit.edu.cn