感應電動機堵轉時內角接單相投入沖擊電流的解析計算和分析

吳 玲

（西安高壓電器研究院有限責任公司，西安 710077）

三相感應電動機在工業(yè)中得到廣泛的應用。從感應電動機的原理可知，電動機在工頻、額定電壓下直接起動瞬間，電動機的起動電流為額定工作電流的4～7倍，起動電流過大時，將使電動機受到過大的電磁力沖擊；同時由于起動應力較大，使得負載設備的壽命降低[1]。隨著電力電子器件的發(fā)展，一種以微處理器控制大功率晶閘管的軟起動器得到應用[2]。

軟起動的常規(guī)控制方法有兩種，即 alpha控制和gamma控制，晶閘管內角接的控制方法結合這兩種控制方法[3]。在本文中，基于晶閘管-感應電動機控制系統(tǒng)內角接軟起動，采用坐標旋轉的方式所建立起來的數學模型，推出單相導通定子電流的解析表達式。為研究最佳初始觸發(fā)角，我們假設不考慮轉速（即堵轉情況下），可以精確的推導出電流的解析表達式，根據電流波形選擇合適的初始觸發(fā)角來控制首半波沖擊電流的幅值，這種通過控制初始觸發(fā)角的方法對軟起動的控制方法有十分重要的指導意義[4]。

本文從感應電動機堵轉內角接單相投入的運動方程出發(fā)，導出了定子電流的解析解，最后用Matlab程序仿真了一臺2.2kW三相感應電動機，得到了不同時刻投入時定子電流的波形的數值解（定步長歐拉法），并和解析解得出的波形進行了比較，并且得到肯定的結果，在解析解的研究方向有大的突破，通過比較波形，誤差在允許范圍內。

1 晶閘管與感應電動機繞組內角接單相導通的數學模型

圖1是將晶閘管直接與電動機繞組在角型連接內部串聯(lián)起來的一種調壓電路，稱為內角接方式。

圖1 晶閘管和電動機繞組內角接

電動機繞組的6個抽頭接線全部引出，接線較為復雜，此電路由于控制器件在三角形連接內部，每一相晶閘管可以控制本身一相繞組，在研究時可以將其等效為單向調壓電路研究，在控制和研究上比較簡化，經過分析可以發(fā)現，其與晶閘管外接電路相比有調壓角度范圍大、線電流受到沖擊小、諧波含量少、晶閘管承受電流小等優(yōu)點[2]。

圖1所示的內角接的連接方式，有4種導通方式：三相全部導通、兩相導通（ab兩相導通、bc兩相導通、ca兩相導通）、單相導通（a、b、c相分別導通）、三相全不導通。下面我們就單相導通來分析其數學模型。

為得到αβ0坐標系下的電動機模型，需要對三相電源進行如式（1）變換（式（1）中的x變量可以是電源電壓變量、電流變量或磁鏈變量），將三相電壓 (ua,ub,uc)變換為α、β坐標系下的兩相變量(uα,uβ)[8]。

式中，當α軸與A相繞組軸線重合時，變換矩陣為

A相導通，BC相斷開時，此時選α軸與A相繞組軸線重合。

當僅有一相晶閘管導通時，假設B相和C相晶閘管都不導通，B相繞組和C相繞組中均沒有電流，即ib=ic= 0 ，取兩相坐標的α軸與三相坐標的A相繞組軸線的電流ia重合，則有

由式（3）和內角接矩陣方程（見附錄）有

由于

且有

由于ib=ic= 0 ，代入式（3）和式（4）得

所以

因此，對于僅有A相繞組導通的狀態(tài)，系統(tǒng)電壓方程為[2]

2 內角接單相導通的的解析解

對式（9）進行拉普拉斯變換[5]得

其中

式（13）是A相單獨導通定子電流的復頻域的表達式，為分析方便，對其進行拉普拉斯反變換[3]。令

不考慮轉速，即處于堵轉狀態(tài)時，ωr=0時，表達式（14）變成

對其拉氏反變換所以有

令t=0時，-K1-K2+ 2cosφ= 0，則有

因此

從式（19）可看出電流與參數的關系：由兩個指數衰減分量和一個余弦分量組成，和參數Ts，Tσ，φ和K1、K2、K3有關，而K1、K2、K3都與電源最大幅值Um、電源的角頻率ω、Ts，Tσ、R有關。

3 實例仿真

用一臺2.2kW、50Hz、4極、380V的三相籠型感應電動機進行實例仿真，已知該電動機在工作狀態(tài)下的參數為Rs=Rr= 6 .928Ω ；Lsσ=Lrσ= 0 .045H；Lm= 1 .55H；轉動慣量J＝0.0235 k g·m2，摩擦阻力系數為0.00375(n·m ·s) /r ad 。代入式（15）～式（19）得

其中

式（20）說明電流由兩個直流衰減分量（一個是為保證漏磁通不突變對應的漏磁通的衰減分量，另一個是為保證主磁通不突變對應的衰減主分量）和一個正弦穩(wěn)態(tài)分量。其中，第一個直流衰減分量對電流的影響起主要作用，直流衰減分量的初值與電源相位φ相關，可通過設置投入時φ角來減小沖擊電流。

下面分別對φ=154°，φ=64°，φ=10°這三種情況分析電流aI的波形，仿真波形如圖2至圖4所示。

從圖2至圖4可看出，解析解和M語言解出的數值解相位完全一致，幅值有一點偏差，由于數值解用的是定步長的歐拉法，本身的算法會有所差異，但是這種誤差是在允許范圍內的，因此可以證明我們的這種解析解是正確的。

圖2 φ=154°時Ia的數值解、解析解

圖3 φ=64°時Ia的數值解、解析解

圖4 φ=10°時Ia的數值解、解析解

當154φ=°時，第一個分量為零，電流最小，波形基本上是正弦波；當64φ=°時，首半波的電流比較小，但是又不能太小，在電動機還沒啟動就過零了就沒起到軟起動的作用；當10φ=°時，首半波的電流比穩(wěn)態(tài)電流小，達到很好的控制首半波沖擊電流的效果。因此我們通過控制每半個周期的導通角的就能達到限制電流沖擊的目的。

4 內角接單相導通的的穩(wěn)態(tài)解析解

t→∞時，當電流達到穩(wěn)定，即

這時繞組單相導通狀態(tài)與單相感應電動機的等效電路是相同的（加上零序）[2-11]，所以可以用單相等效電路來驗證穩(wěn)態(tài)解析解的正確性。內角接單相導通的穩(wěn)態(tài)等效電路如圖5所示。

圖5 內角接單相導通的穩(wěn)態(tài)等效電路

通過分析得到單相等效電路穩(wěn)態(tài)定子電流為

從上面兩個表達式可以看出，當電流達到穩(wěn)態(tài)時，電流的解析表達式是幅值為20.7，角頻率為ω，初相角為64φ-°的余弦周期函數，與衰減時間常數沒有關系。

5 結論

1）本文推導出內角接單相導通電流的表達式，兩個直流衰減時間常數，漏磁通衰減時間常數對電流的衰減比較小，因此可以選擇適當的初始觸發(fā)角，衰減分量對電流的影響也會不同的。

2）通過對φ的選擇，找到了合適的觸發(fā)角，對軟起動初始觸發(fā)角的控制有指導意義。

[1] 高景德, 王祥珩, 李發(fā)海. 交流電機及其系統(tǒng)的分析[M]. 北京: 清華大學出版社, 1993.

[2] 徐廣源. 感應電機在變負荷條件下軟啟動及跟蹤控制研究[D]. 北京: 華北電力大學, 2007.

[3] Gritter D, Wang D, Habetler T G. Soft starter inside delta motor modeling and its control[C]//Industry Applications Conference, 2000. Conference Record of the 2000 IEEE, 2, 2000: 1137-1141 vol.2.

[4] Zenginobuz G, Cadirci I, Ermis M, et al. Soft starting of large induction motors at constant current with minimized starting torque pulsations[J]. Industry Applications, IEEE Transactions on, 2001, 37(5):1334-1347.

[5] 金憶丹. 拉普拉斯變換[M]. 杭州: 浙江大學出版社,2004.

[6] 邱關源. 電路[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社,2006.

[7] 羅慶來, 宋柏生. 高等數學(下冊) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.

[8] 張錦豪, 邱維元. 復變函數[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2003.

[9] 湯蘊璆, 史乃. 電機學[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社,1999.

[10] 張志涌. 精通 Matlab 6.5版[M]. 北京: 北京航空航天大學出版社, 2003.

[11] 李發(fā)海, 朱東起. 電機學[M]. 3版. 北京: 科學出版社, 2000.