基于分數階微積分的裂紋轉子系統非線性動力學特性研究

李志農，王海峰，肖堯先

（南昌航空大學無損檢測技術教育部重點實驗室，江西南昌330063）

基于分數階微積分的裂紋轉子系統非線性動力學特性研究

李志農，王海峰，肖堯先

（南昌航空大學無損檢測技術教育部重點實驗室，江西南昌330063）

在考慮非線性渦動的情況下，建立了分數階阻尼裂紋轉子系統的非線性動力學模型，并用龍格-庫塔法和連分式Euler法對其進行了數值仿真。討論了分數階階次、轉子轉速和裂紋深度對分數階阻尼裂紋轉子系統非線性動力學特性的影響。研究結果表明：對于具有分數階特性的轉子系統，采用分數階來建立裂紋轉子系統模型，能更好地揭示系統的非線性動力學特性；在相同的裂紋深度和相同的分數階階次下，隨著轉速比的增加，轉子系統依次經歷混沌、倍周期和周期運動；在相同的轉速比和相同的分數階階次下，裂紋深度比較小時，引起的轉子剛度變化量不大，一般不會出現復雜的分叉與混沌現象；隨著裂紋深度的加深，轉子的剛度減小，轉子系統呈現復雜的振動特性，裂紋故障特征越來越明顯，轉子系統由單周期運動變換到倍周期運動，二倍頻分量占主導地位，同時其他倍頻分量也相繼出現。這些有價值的結論對轉子裂紋的故障診斷提供了參考。

機械學；分數階微積分；裂紋轉子；非線性動力學；非線性渦動；故障診斷

0 引言

轉子是旋轉機械中最重要的零件，在與轉子有關的各種故障中，裂紋故障占相當的比例，轉軸出現裂紋的潛在危害性與一般故障的危害性相比較要嚴重得多，它是一種后果嚴重、診斷困難、又十分隱蔽的常發性故障，裂紋的存在已成為影響設備安全運行的一大隱患。如何有效地診斷轉子裂紋的存在，尤其是早期裂紋的出現，一直是當今研究的熱點之一。國內外專家學者對裂紋故障的非線性特性進行了廣泛深入的研究［1-10］。例如，文獻［1］研究了諧波激勵下的裂紋轉子的動力學特性。文獻［2］利用有限元分析方法分析了非對稱裂紋轉子的非線性動力學特性。文獻［6］研究了含橫向裂紋的Laval轉子的非線性動力學特性。文獻［7］采用理論方法、數字仿真和實驗方法來研究發電廠旋轉機械的裂紋監測。文獻［8］利用非線性輸出頻率響應函數理論來對轉子裂紋故障進行診斷。文獻［9］利用B樣條小波有限元對轉子裂紋進行定量識別。文獻［10］研究了基于模型的轉子裂紋的辨識方法。然而，這些研究大部分都是在整數階微積分基礎上進行的，很少考慮分數階微積分的裂紋轉子系統。

由于許多物理系統因其特殊的材料和化學特性而展現出分數階動力學行為，而實際系統大都是分數階的，采用分數階描述那些本身帶有分數階特性的對象時，能更好地揭示對象的本質特性及其行為。分數階微積分是將通常意義下的整數階微積分推廣到任意階，它包括了傳統整數階微積分運算，但又是整數階微機分運算的拓展，與整數階微積分相比較，具有以下優勢:

1）分數階微積分具有全局相關能較好地體現系統函數發展的歷史依賴過程；而整數階微積分具有局部性，不適合描述有歷史依賴過程。

2）分數階微積分模型克服了經典整數階微分模型理論與實驗結果吻合不好的嚴重缺點，使用較少幾個參數就可獲得很好的效果。

3）在描述復雜物理力學問題時，與非線性模型比較，分數階模型的物理意義更清晰，表述更簡潔。

目前，分數微積分在信號處理、圖像處理、控制理論、電氣工程和生物工程等領域獲得了成功應用［11-22］。文獻［11］研究表明，即使系統的所有個體具有整數階動態特性，系統的整體動力學特性也可能是分數階的。

近年來，也有一些學者把分數微積分應用到轉子系統的非線性動力學分析中，曹軍義等［17］在Duffing系統中研究了分數階阻尼的階數對系統的動力學特性的影響。文獻［19-20］以Jeffcott轉子模型為基礎，建立了帶有分數階阻尼和橫向呼吸裂紋故障的轉子系統動力學模型，研究了阻尼的分數階次，轉速對裂紋轉子系統動態特性的影響。

然而，在文獻［19-20］中，裂紋開關函數模型只適合裂紋較淺的情況，當裂紋較深時，忽略了轉軸剛度沿著裂紋前沿方向的變化?；诖?，本文采用的裂紋模型把開閉淺裂紋模型和開閉深裂紋模型綜合在一起，考慮了裂紋轉軸沿裂紋前沿方向的剛度變化，在非線性渦動的情況下，建立分數階阻尼轉子系統動力學模型，分析了分數階階次、轉子轉速和裂紋深度對轉子系統動力學特性的影響，為轉子裂紋的故障診斷提供參考。

1 非線性渦動下的分數階阻尼裂紋轉子系統模型的建立

本文研究對象如圖1所示是以兩端簡支、圓盤質量為m、長度為L、軸半徑為R的無質量彈性圓軸所組成的含裂紋Jeffcott轉子系統，考察的裂紋深度范圍是0≤a/R≤1，其中a是裂紋深度，R是轉軸半徑。

設兩端剛性支承帶橫向開閉裂紋Jeffcott轉子的動力學模型為

式中:m為圓盤質量；kx、ky分別為裂紋軸沿x和y方向的剛度；kxy、kyx為x和y方向的耦合剛度；c為阻尼；e為不平衡偏心距；Ω為轉速；β為不平衡量與裂紋法向的夾角。

圖1 裂紋Jeffcott轉子及裂紋軸橫斷面示意圖Fig.1 Rotor model and cross-section of Jeffcott cracked shaft

考慮非線性渦動的影響，轉子系統的剛度矩陣可表示為

式中:f（Φ）是描述裂紋開閉的函數，其形式與所采用的開閉裂紋模型有關；k為無裂紋轉子剛度；Δkξ、Δkη分別為裂紋法向和切向剛度的變化量。根據Gasch［23］和Mayes等［24］的研究結果，這里淺裂紋（a/R＜0.5）時采用Gasch的鉸鏈彈簧模型，深裂紋（a/R≥0.5）時采用Mayes等提出的改進裂紋模型。因此，裂紋開關函數f（Φ）［25］可表示為

式中:渦動角度為

由（4）式可知，Φ不僅與角速度Ω有關，而且與轉子當前的渦動位置（x，y）有關，此裂紋開關函數模型考慮了轉軸渦動對開閉裂紋的影響。

根據Hospital法則，對于可導函數f（t）可導出它的n（n∈N）階導數為

引入Gamma函數，并將微分階次從整數階推廣到分數階，假設函數f（t）在區間［a，t］上有n+1階導數，對于任意的實數r，利用有限記憶功能，則定義分數階r微分為

在（6）式中統一表示了分數階微分和積分，當r＞0時，表示分數階微分；當r＜0時，表示分數階積分。

若函數f（t）及其各階導數的初值均為0，根據Riemann-Liouville定義，分數階微積分表達式的Laplace變換為

采用Euler后項差分法，然后用連分式展開變換對分數階微積分算子進行有理化近似，得到分數階微積分的離散化模型為

式中:CFE｛·｝為連分式展開變換；p、q為階次；Pp、Qq為p次和q次多項式。我們知道，傳統的整數階阻尼力是位移的1階導數，而分數階阻尼力是位移的分數階導數，因而，整數階阻尼是分數階阻尼的特例?；诖耍颜麛惦A阻尼力延拓到對位移的任意階導數，就可得到分數階阻尼力，相應的表達式［19］可表示為

考慮非線性渦動的情況下，分數階阻尼裂紋轉子系統的振動方程可表示為

將（2）式、（3）式和（4）式代入（11）式，并將其無量綱化，分別令

式中:ωn為無裂紋軸1階臨界轉速；C為重力下X方向的靜變形。對（11）式進行歸一化后，得到:

2 分數階阻尼裂紋轉子系統特性分析

采用4階龍格-庫塔法對方程（13）式進行數值積分，積分步長取為2π/200.計算時取阻尼比ζ= 0.01，無量綱不平衡量ε=0.1，并取初值｛x1，x2，x3，x4｝=｛0.1，0，0.1，0｝，不平衡量與裂紋法向之間的相位角β=0°.現來分析在非線性渦動的情況下，分數階次、轉速和裂紋深度對分數階阻尼裂紋轉子非線性動力學特性的影響。

首先，分析相同的裂紋深度和轉速情況下，分數階次對分數階阻尼裂紋轉子系統非線性動力學特性的影響。這里，在分數階阻尼裂紋轉子系統中，取裂紋深度a/R=0.7，轉速比Ω/ωn=0.66.

隨著分數階階次的變化，得到系統響應的分岔圖如圖2所示。由圖2可知，隨著分數階階次的改變，系統的振動特性受到了很大的影響。當分數階階次較小時，系統處于混沌運動。圖3（a）給出了r=0.11的軸心軌跡和頻譜圖。由圖3（a）可知，軸心軌跡圖比較混亂，從其頻譜圖中可以看出，1×、3/2×和2×分量是主要成分，但是在0～3×之間出現許多頻率成分，類似于噪聲。當r＞0.4時，系統運動進入倍周期狀態，圖3（b）是r=0.6時系統的軸心軌跡圖和頻譜圖，在頻譜圖中2×占主要成分，1×、3×相對較弱；軸心軌跡圖呈雙環型。當r=0.9時，系統仍為倍周期運動，頻譜圖中倍頻成分相對于r=0.6時沒有改變，但軸心軌跡圖變為規則的內8字型。由于裂紋轉子系統運動模型具有分數階動力學特性，其振動特性受轉速、裂紋深度的影響較大，在建立運動模型時，可以確定合適的分數階階次，來充分反映裂紋轉子系統的振動特性，以達到診斷轉子裂紋的最佳效果。

圖2 分數階阻尼階次的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of fractional damping

其次，分析相同的裂紋深度和分數階次情況下，轉速對分數階阻尼裂紋轉子系統非線性動力學特性的影響。這里，分數階次為r=0.7，裂紋深度為裂紋深度比a/R=0.6.

轉速是影響轉子系統動態特性的主要因素，當轉速在轉子的臨界轉速和亞臨界轉速附近時，會產生超諧共振、亞諧共振和參數共振現象，轉軸的變形顯著變大，渦動行為比較復雜，裂紋轉子將呈現復雜的非線性行為。隨著轉速的變化，裂紋轉子系統響應的分叉圖如圖4所示。圖5給出了轉速比Ω/ωn分別為0.328、0.51和1時的分數階裂紋轉子系統的軸心軌跡圖和頻譜圖。

由圖5可知，當轉速比為0.328時，在分數階裂紋轉子系統，1×、2×和3×分量比較明顯，4×、5×分量也能顯示出來；在軌跡圖中可以看出轉子系統的軸心軌跡呈現復雜8字形的運動特性，非線性動力學特性反映明顯。當裂紋轉子系統的轉速比為0.51時，轉速處于轉子系統主共振轉速一半附近，軸心軌跡圖變現為雙環型，頻譜圖中出現1×、2×和3×分量，其中2×分量是主要成分。當轉速比增大到1時，轉子系統的軸心軌跡圖近似為圓形，頻譜圖中1×占主要成分，2×分量較弱，此時系統為單周期運動。

最后，分析相同的轉速和分數階次情況下，裂紋深度對分數階阻尼裂紋轉子系統非線性動力學特性的影響。這里，分數階次為r=0.7，轉速比Ω/ωn=0.4.由于裂紋的出現，轉子在運動的過程中受到重力和不平衡力的作用使裂紋作周期性的開閉運動，影響到轉子剛度周期性變化，因此，裂紋轉子的振動呈現出典型的非線性特性。圖6給出了裂紋深度比為0.1、0.3和0.8時的分數階阻尼裂紋轉子系統的軸心軌跡和頻譜圖。

圖3 分數階阻尼裂紋轉子軌跡圖和頻譜圖（Ω/ωn=0.66，a/R=0.7）Fig.3 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system with fractional damping（Ω/ωn=0.66，a/R=0.7）

圖4 轉子系統的分叉圖（a/R=0.6，r=0.7）Fig.4 Bifurcation diagram of rotor system（a/R=0.6，r=0.7）

由圖6可知，當裂紋較淺時，例如a/R=0.1，引起的轉子剛度變化量不大，一般不會出現復雜的分叉與混沌現象，軸心軌跡圖呈現橢圓型，在頻譜圖上，1×占主要成分，2×相對較弱。隨著裂紋的加深，轉子的剛度減小，裂紋故障特征越來越明顯。當裂紋深度比為0.3時，轉子系統的軸心軌跡從橢圓型變為外8字型，頻譜圖中，2×變大，其他高倍頻也相繼出現。當裂紋深度繼續加深，裂紋轉子的振動呈現復雜的振動特性，當裂紋深度比為0.8時，軸心軌跡從外8字型逐漸變為內8字型，頻譜圖中，1×、2×和3×是主要倍頻分量，其中2×最大。

圖5 分數階阻尼裂紋轉子軌跡圖和頻譜圖（r=0.7，a/R=0.6）Fig.5 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system with fractional damping（r=0.7，a/R=0.6）

為了驗證上述分析的正確性，在Bently轉子試驗臺上對含裂紋Jeffcott轉子系統的非線性動力學特性進行了試驗研究。為此定制了一根裂紋深度為直徑25%的裂紋軸。圖7是裂紋轉子轉速在2 050 r/min（Ω/ωn=0.5），裂紋相對深度a/R=0.5時，裂紋轉子振動信號的軸心軌跡圖和頻譜圖，轉子系統的軸心軌跡圖為典型的內8字型，頻譜圖中2×占主要成分，這與數值分析的結果相吻合。

3 結論

基于分數階微積分的獨特優勢，本文將分數階微積分引入到轉子裂紋模型中，在非線性渦動情況下建立了分數階阻尼裂紋轉子系統動力學模型，與傳統的整數階轉子裂紋非線性模型相比較，建立的模型更靈活，能更好地揭示裂紋轉子系統的本質特性及其行為。并利用數值方法進行了仿真。討論了分數階階次、轉速和裂紋深度對裂紋轉子系統的非線性振動特性的影響，得到了一些有價值的結論，可以作為診斷裂紋的重要依據。

圖6 分數階阻尼裂紋轉子軌跡圖和頻譜圖（Ω/ωn=0.4，r=0.7）Fig.6 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system with fractional damping（Ω/ωn=0.4，r=0.7）

1）裂紋轉子系統的阻尼具有分數階特性，因此，采用分數階動力學方程更能完全描述裂紋轉子系統的動力學特性，只要確定合適的分數階階次，就能達到達到診斷轉子裂紋的最佳效果。如何自適應地確定分數階階次，這是今后需要進一步值得研究的問題。

2）轉速對分數階阻尼的轉子系統非線性動力學特性影響很大。在相同的裂紋深度和分數階階次下，隨著轉速變化，系統依次經歷混沌運動、倍周期運動和單周期運動。1×、2×和3×等成分相繼出現。轉軸的變形顯著變大，渦動行為比較復雜，裂紋轉子將呈現復雜的非線性行為。

圖7 裂紋轉子軌跡圖和頻譜圖Fig.7 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system

3）對當裂紋較淺時，引起的轉子剛度變化量不大，一般不會出現復雜的分叉與混沌現象；隨著裂紋加深，轉子剛度減小，振動呈現復雜的振動特性，裂紋故障特征越來越明顯，軸心軌跡由依次由橢圓型變為外8字型，再變為內8字型。二倍頻分量占據了主導地位，其他倍頻分量也會相繼出現。

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Nonlinear Dynamic Characteristics of Cracked Rotor System Based on Fractional Order Calculus

LI Zhi-nong，WANG Hai-feng，XIAO Yao-xian
（Key Laboratory of Nondestructive Testing of Ministy of Education，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，Jiangxi，China）

Nonlinear dynamics model of cracked rotor system with fractional order damping under the condition of nonlinear eddy is investigated and simulated by the Runge Kutta method and continued fractional expansion Euler method.The effects of derivative order，rotating speed ratio and crack depth on the nonlinear dynamic characteristics of cracker rotor system with fractional damping are discussed.The simulation results show that the model of cracked rotor system established with fractional order can reveal the nonlinear dynamics characteristics of a rotor system with fractional characteristics.In the same crack depth and fractional order，the rotor system gets chaotic，period-doubling and periodic motions as the factional order increases.In the same rotating speed ratio and fractional order，when the crack depth is small，the rotor system doesn't appear complex bifurcation and chaos phenomena.With the increase in crack depth，the stiffness of rotor system reduces and the rotor system presents the complex vibrationcharacteristics.The crack fault feature becomes more obvious.The rotor system gets from periodic motion to period-doubling motion.The double frequency component is dominant，and simultaneously other frequency multiplication component also appears.These valuable conclusions provide the important reference for the fault diagnosis of cracked rotor.

mechanics；fractional calculus；cracked rotor system；nonlinear dynamics；nonlinear eddy；fault diagnosis

TH113；O322

A

1000-1093（2015）09-1790-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.09.026

2015-01-28

國家自然科學基金項目（51265039、51075372、50775208）

李志農（1966—），男，教授，博士。E-mail:lizhinong@tsinghua.org.cn