水下溢油數值模擬研究

陳海波，安 偉，楊 勇，尤云祥，雷方輝，趙宇鵬，李建偉

(1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240;2.中海石油環保服務(天津)有限公司，天津300452;3.中海油研究總院，北京 100027)

我國南海擁有豐富的油氣資源，石油地質儲量約為230 ～300 億噸，占我國油氣總資源量的三分之一，其中70%蘊藏于深海區域，但深水區域特殊的自然環境和復雜的油氣儲藏條件決定了深水油氣勘探開發具有高投入、高回報、高技術、高風險的特點［1］。油氣開采過程中的溢油事故時有發生，2010年美國墨西哥灣“深水地平線”溢油事故警示我們，油氣勘探開發的高風險性應該受到足夠的重視，同時開采深海油氣資源的國家和公司也應該更加重視深海溢油的預防和治理。通過水下溢油數值模擬研究加深對水下溢油行為和歸宿的認識，為水下溢油應急策略的制定提供技術支持，而一個好的水下溢油數值模型也有助于準確評估溢油對環境的影響。20 世紀70年代國際上就有一些學者開始致力于水下溢油數值模擬的研究，建立了一些溢油模型，例如淺水溢油模型McDougall［2］、Fannelop 和Sjoen［3］、Milgram［4］、Lee 和Cheung［5］、Yapa 等［6］，深水溢油模型Johansen［7］的DeepBlow 模型、Zheng 等［8］的CDOG 模型。近幾年，國內也有一些學者開展了水下溢油數值模擬研究，例如汪守東等［9］、王晶等［10］、高清軍等［11］、廖國祥等［12－14］，亓俊良等［15］。但與國外研究相比，目前國內還沒有同時結合實驗室數據和現場觀測數據所進行的更充分的模型驗證研究。

綜合前人研究，將水下溢油過程分為三個階段:噴發階段、浮力羽流階段和對流擴散階段(見圖1)。其中，噴發階段在距離噴口幾米范圍內，由于溢油一般以一定的初始速度噴射而出，噴出的溢油會具有較高的動能(如果有氣體溢出，動能會更高)，溢油會因此分裂成大量直徑不等的小油滴，這些小油滴和海水組成的油團在高動能狀態下會繼續運動一段距離。受到水環境的緩沖作用，溢油在運動幾米后其初始動能很快損失殆盡，繼而進入浮力羽流階段。在浮力羽流階段，溢油運動具有一定的“主動”性，其運動狀態有別于水環境的流動狀態，水環境通過浮力作用和卷吸作用間接地對溢油運動施加影響，這使油團持續抬升，體積不斷擴大，其密度不斷趨近于水環境密度。在這一過程中油團也會將部分底層水夾帶至較淺的水域。當油團成長到一定程度，油團整體的浮力水平接近中性，其運動的主動性不再明顯，溢油過程進入對流擴散階段。在對流擴散階段，由于油團體積較大，油滴比較分散，大量的油滴在水環境的流動和浮力的直接作用下被動地漂移和擴散。水下溢油的這三個階段沒有明顯界線，并且前兩個階段也包含對流擴散過程，只是在前兩個階段中噴流/羽流過程占主導地位，而對流擴散過程相對較弱，可以忽略。前兩個階段都是將溢油當作一個整體研究，可以用羽流動力模型模擬，第三個階段需要用對流擴散模型進行模擬。需要指出的是，如果溢油發生在淺水區，溢油過程可能只需用羽流動力模型模擬。本文基于水下溢油三階段理論框架，通過分析溢油在水下環境的行為過程和影響因素，建立了一個水下溢油數值模型，并結合實驗室水槽實驗和水下溢油現場實驗的觀測資料進行模型驗證。

圖1 水下溢油過程示意［8］Fig.1 Sketch of underwater oil spill process ［8］

1 數值模型

該溢油模型由兩個子模型組成，包括羽流動力模型和對流擴散模型，其中羽流動力模型模擬噴發階段和浮力羽流階段，將一定量的溢油視為一個整體油團，考慮油團與海水的相互作用;對流擴散模型模擬對流擴散階段，將溢油離散為一定數量的“油粒子”，每個粒子代表一個由大量油滴組成的集合，并具有一定的質量、體積、濃度、油滴直徑等屬性，這些油粒子在海流的作用下漂移擴散。

1.1 羽流動力模型

羽流動力模型采用Lagrange 積分法模擬溢油的噴發階段和浮力羽流階段。如圖2 所示，將溢油持續時間平均分為若干等份，時間步長為Δt，每一個時間步對應一小份溢油，將每一小份溢油看作一個圓柱形的控制單元體，控制單元體的半徑為b(m)，厚度為為控制單元體的移動速度(m/s)，控制單元體質量為m = ρπb2h(kg)，ρ 為控制單元體的密度(kg/m3)。控制單元體的底面法線平行于移動速度假設相鄰兩控制單元體之間互不影響。某一時刻所有控制單元體的中心連線即為該時刻的溢油軌跡。控制單元體的行為滿足以下控制方程:

(1)質量守恒方程

控制單元體在運動過程中會因卷吸作用而發生質量變化，此過程滿足以下質量守恒方程:

式中:ρa為水環境的密度(kg/m3)，Qe為卷吸體積通量(m3/s)。

圖2 羽流動力模型控制單元體示意［5］Fig.2 Sketch of control volume of plume dynamics model ［5］

(2)動量守恒方程

溢油進入水環境后，會與周圍水體相互作用導致動量變化，根據動量守恒可得到控制單元體的動量變化滿足以下關系:

(3)熱量、鹽度和濃度守恒方程

溢油進入水環境后，會與周圍水體發生物質交換，由此而導致的控制單元體的溫度、鹽度和濃度變化可用以下守恒方程描述:

式中:I 為一個標量，表示熱含量(I = CpT)、鹽度(I = S)或油濃度(I = C)。Cp為比熱容(J/kg·K)，T 為溫度(K)，水比熱容Cp= 4 216.3 J/kg·K，油的比熱容約為水的一半。

(4)狀態方程

狀態方程描述了控制單元體的密度與溫度、鹽度和濃度之間的關系。Neumann 和Pierson［16］給出了水密度的計算方法，Bobra 和Chung［17］則給出了多種油的密度計算公式。在本文的溢油模型中，控制單元體中的物質是油和水組成的混合物，控制單元體在成長過程中通過卷吸作用將周圍海水不斷納入其中，導致控制單元體的溫度、鹽度和濃度發生變化，從而產生密度的改變。本文溢油模型考慮控制單元體的溫度和鹽度變化對密度的影響，并采用Bemporad［18］狀態方程計算控制單元體的密度:

式中:ρ0表示參考密度值(kg/m3);βT和βS分別表示熱量膨脹系數(℃－1)和溶質的膨脹系數(‰－1)，本文分別取值為5 ×10－4℃－1和8 ×10－4‰－1;ΔT 和ΔS 分別表示溫度和鹽度的變化量。

(5)卷吸

溢油進入水環境后，卷吸作用是影響羽流形態和行為的主要因素。卷吸作用是指羽流表面與水體之間相互作用，使周圍海水進入羽流中。根據Frick［19］和Lee 和Cheung［5］的研究，卷吸作用可分為兩部分:剪切卷吸和強迫卷吸。其中，剪切卷吸是由溢油運動導致的油團與水環境之間產生的剪切應力引起的，即使水環境是靜止的，剪切卷吸依然存在;強迫卷吸是在流動的水環境中水流迫使海水通過羽流的迎風面進入油團內部引起的，強迫卷吸存在的前提為水環境是流動的。據此，本文溢油模型將卷吸體積通量Qe分為兩部分計算:

式中:Qs代表剪切卷吸體積通量(m3/s)，Qf代表強迫卷吸體積通量(m3/s)。剪切卷吸體積通量(Qs)采用Fischer［20］提出的公式進行計算:

式中:α 為卷吸系數。Schatzmann［21－22］基于大量噴射流的研究，由動能方程和動量方程推導出了卷吸系數的計算公式，Lee 和Cheung［5］通過將該計算公式與噴射流實驗數據進行對比，給出了卷吸系數的具體計算形式:

另一方面，如果水環境是流動的，羽流與水環境之間還存在強迫卷吸，強迫卷吸體積通量(Qf)可表達為:

式中:Qfx、Qfy和Qfz分別為強迫卷吸在x、y 和z 方向上的分量。Frick［19］認為強迫卷吸由增長項、圓筒項和彎曲項三部分組成。其中，增長項由溢油軌跡半徑的增大導致;圓筒項由羽流側面投影到水流上的面積導致;彎曲項由溢油軌跡的彎曲導致。基于Frick［19］的研究，Lee 和Cheung［5］推導出同向水流中三維溢油強迫卷吸體積通量的表達式:

式中:ua、va、wa分別為水流在x、y、z 方向的分量;θ 為控制單元體的速度矢量在水平面上的投影與x 軸的夾角(圖2);為控制單元體在一個時間步內的位移大小，Δx、Δy、Δz 分別表示控制單元的體位移矢量在x、y、z 方向的分量。式(10)～式(12)等號右端括號中的三項分別為增長項、圓筒項和彎曲項的具體表達式。

1.2 對流擴散模型

油團上浮到一定高度后，由于卷吸了大量海水，其密度與水環境的密度已經非常接近，尤其在密度層化的水環境中，油團會夾帶著來自于底層密度較大的水體，上浮到一定高度后其密度會等于甚至超過周圍水體的密度，這使油團失去浮力的動力支持而無法繼續抬升。然而，實際溢油事故并非如此。實際上，當油團發展到一定程度，油團內外的海水性質和湍流強度已經相差很小，羽流動力過程不再占主導地位，而水環境中的對流擴散過程開始主導溢油的運動，因而浮力羽流動力模型不再適用。取而代之，利用對流擴散模型繼續模擬溢油的行為。對流擴散模型的控制方程(對流擴散方程)為:

方程(13)可以用多種數值方法求解［24－25］，如有限差分法和有限元法，數值方法的主要困難在于穩定性問題，即數值離散過程中可能會引進與物理擴散無關的數值擴散，數值擴散很大時，會使模擬結果失真，不能描述真實的物理過程。另外，還有一些過程難以用對流擴散方程模擬，如比較典型的非Fick 擴散問題［26］。對于溢油模擬，更多的學者采用的是Lagrange 粒子追蹤法(也叫隨機走動法)，該方法是將溢油離散為一定數量具有拉格朗日性質的“油粒子”，每個粒子具有一定的質量、體積、濃度等屬性，粒子的平流過程主要受控于海浪、海流等環境動力過程的影響，可用確定性方法模擬，海洋湍流引起的擴散過程具有隨機性，用隨機運動來模擬。通過統計所有粒子的位置，可以確定溢油在海洋環境中的時空分布。Lagrange 粒子追蹤法，很早就在海洋和大氣研究中有著應用［27］，Johansen［28］和Elliott［29］首先將此方法應用于溢油模擬(用于溢油模擬時也稱油粒子法)。該方法不僅避免了數值離散方法本身帶來的數值擴散問題，同時還可以準確重現海上油膜的破碎分離現象，準確描述溢油的真實擴散過程。大量研究表明，將該方法用于溢油模擬是行之有效的［30－33］。

本文溢油模型利用Lagrange 粒子追蹤法模擬溢油的對流擴散過程。具體地，油粒子在三維空間中的運動滿足以下關系:

式中:R 為在區間 [－1，1] 內均勻分布的隨機數。

油滴的浮力速度wb由油滴的直徑和密度以及海水的粘度和密度決定，可以根據油滴直徑大小分兩種情況計算［32］。首先定義一個臨界直徑

式中:μ 表示海水的動力粘度，量級為10－3Ns/m2;ρ 和ρa分別為油滴和海水的密度。當油滴直徑d ＜dc時，根據Stokes 定律計算浮力速度:

當油滴直徑d ≥dc時，根據Reynolds 定律計算浮力速度:

具體計算中，將油粒子所在的控制單元體在浮力羽流階段終結時的位置作為該油粒子在對流擴散階段的初始位置。對于浮力羽流階段終結的判斷指標，Yapa 等［32］在層化的水環境中進行溢油模擬時將油團與水環境的密度差，作為判斷是否終結羽流動力模型的依據。Dasanayaka 和Yapa［33］對比了多個終結標指標的模擬效果，包括油滴速度指標(油團的上浮速度等于單個油滴的浮力速度)、中性浮力水平指標(油團的密度等于水環境的密度)和零速度指標(油團上浮速度為零)，研究結果表明，油滴速度指標優于其他兩個指標，并且基于平均油滴速度指標的溢油量估計更為準確。然而，在本文現場實驗的模擬中，由于考慮了海水的層化情況，仍然采用中性浮力水平指標作為判斷結束浮力羽流階段的依據。

2 模型驗證

為了檢驗本文水下溢油模型的準確性，將溢油模型應用到若干個水下溢油場景的數值模擬，并將模擬結果與實驗數據進行對比。實驗數據包括7 組來自實驗室水槽模擬實驗的觀測數據和一組在現場實驗中獲取的觀測數據，其中實驗室數據包含了層化的和未層化的水環境中的噴流軌跡數據。

2.1 實驗室水槽實驗驗證

首先通過數值實驗將模擬結果與實驗室水槽噴射實驗的觀測數據進行對比，對本文水下溢油模型的準確性進行檢驗。共進行7 個數值實驗，分別考察了7 個噴射場景，考慮了不同的噴射條件和水環境層化情況。為區分不同的噴射場景，首先定義如下三個參數:

式中:帶有下標0 的變量代表初始值，Fr 為Froude 數;g' = g (Δρ/ρ) ，Δρ = ρa－ρ;D 為噴嘴直徑;St 為水環境的層化數;R 為噴射速度與水環境橫流速度之比。各噴射實驗的參數取值見表1。在二維噴射模擬實驗中(實驗編號1 ～實驗編號5)，為便于描述且不失一般性，將水環境的流向定義為x 軸的正方向，即( ua，0，0 )。

表1 實驗室實驗參數Tab.1 Laboratory experimental parameters

(1)未層化水環境中二維溢油模擬實驗驗證

數值實驗1、2 和3 考察了在未層化且存在水平橫流的水環境中的二維溢油軌跡，三個實驗的噴射方向均垂直向上。圖3 給出了三個實驗中羽流控制體中心點的移動軌跡，并分別與Hirst［34］的三組實驗室水槽觀測數據進行了對比，可以看出，本文溢油模型的模擬結果與實驗數據具有很好的一致性。圖3 表明，垂直向上噴射的溢油，在水平橫流的作用下會向水流的下游漂移，這使溢油軌跡逐漸向下游傾斜，參數R0越大，傾斜程度越大。實際上，在初始時刻，油團的動量方向是垂直向上的，隨后，油團通過卷吸作用從水環境中獲得水平方向的動量，使水平方向的移動速度不斷增加。同時，雖然浮力能夠為油團提供向上的動量，但由于卷吸進來了大量垂向速度為零的水，最終導致油團向上的移動速度不斷減小，這使羽流形狀出現彎曲，當羽流成長到一定程度，溢油在水平方向和垂直方向的漂移速度均不再有明顯變化，此后溢油軌跡趨近于一條斜線。

(2)層化水環境中二維溢油模擬實驗驗證

實驗4 和實驗5 考察了垂直向上噴出的溢油在層化水流中的移動軌跡。圖4 將數值模擬的結果與Hirst［34］的實驗室水槽觀測數據進行了對比，可以看出，模擬值與觀測值的一致性較好，模擬結果非常理想，這說明本文模型對于層化水環境中的溢油模擬也具有很好的適用性。

圖3 未層化的水流環境中的溢油軌跡(數據源自Hirst［34］)Fig.3 Trajectories for oil spilled in an unstratified flowing environment (data from Hirst［34］)

圖4 層化的水流環境中的溢油軌跡(數據源自Hirst［34］)Fig.4 Trajectories for oil spilled in a stratified flowing environment (data from Hirst［34］)

(3)三維溢油模擬實驗驗證

下面利用Doneker 和Jirka［35］的兩個實驗室水槽溢油實驗(未層化的水環境)觀測數據檢驗本文溢油模型的準確性。在這兩個實驗中，溢油都是沿水平方向噴出，且噴射方向與水流方向垂直。在數值模擬中，將水流方向定義為x 軸的正方向，溢油的初始噴射方向為y 軸的正方向，見圖5。

圖5 三維溢油軌跡(數據源自Doneker 和Jirka［35］)Fig.5 Three－dimensional trajectories for oil spills (data from Doneker and Jirka［35］)

利用本文模型模擬的溢油軌跡和水槽實驗的觀測數據如圖5 所示，其中圖5(a)為溢油軌跡在xy 平面上的投影，圖5(b)為溢油軌跡在xz 平面上的投影，圖5(c)為溢油軌跡的三維圖像。通過圖5 模擬結果與實驗數據的對比可以看出，總體而言，兩個實驗的模擬結果都比較理想。然而由圖5(b)可以發現，在溢油的垂向抬升高度(僅由浮力作用決定)方面，實驗6 的模擬結果要明顯高于水槽實驗的觀測數據，這可能是由水槽實驗的邊界效應導致。如果提高水流速度(抑或保持流速不變，減小溢油噴射速度，從而削弱邊界效應的影響)，會使模擬結果與觀測數據更為吻合，這一點在圖5 中實驗7 的結果對比中得到了證實。

2.2 現場實驗驗證

以上利用實驗室水槽中的小型溢油實驗驗證了本文溢油模型中的羽流動力模型的準確性。如要繼續檢驗另外一個子模型——對流擴散模型的準確性，從而完成對整個水下溢油模型的驗證，還需要大型的現場溢油實驗的支持。IKU、NOFO、Esso Norge 和Norsk Hydro 于1995年在北海的挪威海岸附近進行了大型的水下溢油實驗，Rye 等［36］和Rye 和Brandvik［37］對這次實驗進行了詳細描述。表2 給出了該實驗的參數設置，實驗海區溫度、鹽度和密度的垂向結構以及當時的海流實測值分別見圖6 和表3。Rye 等［36］通過分析現場拍攝的水下溢油圖像指出，噴出的溢油首先以羽流的形式運動和變化，在上浮到一定高度后轉變為由大量油滴組成的油團在浮力和海流的作用下被動地漂移擴散，轉變區域在50 ～60 m 水深之間。根據聲吶記錄數據得到的溢油水下范圍在東南－西北方向上的投影如圖7 所示，其中不同深度的橫線對應不同的觀測時刻。現場觀測還表明，溢油最早到達海面的時間為溢油開始10 min 之后。

表2 現場實驗參數［36］Tab.2 Field experimental parameters ［36］

圖6 現場實驗海域的溫度、鹽度和密度的垂向結構［36］Fig.6 Vertical profiles of temperature，salinity and density of field experiment ［36］

表3 現場實驗的海流信息［36］Tab.3 Current velocity profile of field experiment ［36］

基于表2 的實驗參數以及表3 和圖6 中的海洋環境數據，利用本文模型進行水下溢油模擬，其中，海流數據由表3 中的數值通過線性插值得到。油滴直徑分布是對流擴散模型的一個重要參量，本文基于Delvigne［38］和Delvigne 和Sweeney［39］的實驗室研究，假定油滴直徑服從數學期望為250 μm，標準差為75 μm的正態分布，油滴直徑的最小值取為10 μm，最大值則根據Rye 等［36］的記錄取為5 000 μm。控制單元體通過卷吸作用從水壞境中不斷吸收海水，其密度會隨之增大，但由于海水的密度隨著水深的減小而減小，當控制單元體上升到某一深度后，其密度會等于或大于其所在位置周圍的海水密度。如前所述，在本文模型設置中，當控制單元體密度大于或等于周圍海水密度時，終止羽流動力模型的計算，繼而利用對流擴散模型取而代之。在模擬油粒子的隨機運動時，將水平和垂向擴散系數在海面以下10 m 的深度內分別取為常數0.05和0.001 m2/s，由10 m 深度至海底，其取值線性減小［32］。

利用本文模型模擬的溢油分布在東南－西北方向的投影如圖7 所示，投影的下半部分由羽流動力模型計算得到，上半部分由對流擴散模型計算得到。數值模擬結果表明，浮力羽流階段的最大高度大約在52.1 m深度，溢油上浮至海面的最短時間為11.4 min，這說明本文模型的模擬結果與現場溢油實驗的現場數據具有很好的一致性。盡管如此，由圖7 還可以發現，數值模擬結果與觀測數據之間也存在一定的偏差:(1)在100 m深度的羽流寬度小于觀測值，據Rye 等［36］記載，在現場實驗過程中，海洋波浪使噴油裝置存在小幅度的上下顛簸，這會增大噴射流初期的卷吸作用，而在本文數值模擬中并未考慮這一點，從而導致羽流寬度的模擬值較小;(2)在溢油圖像的上半部分(0 ～50 m 深度)，溢油主體位置的模擬結果與觀測數據之間存在一定偏移，其原因應該是，本文數值模擬所用的流場只是根據在4 個深度上測得的海流數據插值得到，因而在細節方面不夠準確，而海流數據的精度能直接影響到對流擴散模型的模擬精度，另一方面，在現場觀測時不能保證觀測斷面是嚴格地東南－西北方向的，存在一定的角度偏差，這也是導致本文模擬結果出現位置偏差的一個可能原因。綜合以上兩點考慮，本文模型對現場實驗的模擬結果還是令人滿意的，從而驗證了本文模型的合理性和準確性。

圖7 溢油水下分布在東南－西北方向的投影Fig.7 Projection of underwater oil spill in southeast－northwest direction

進一步結果分析表明，在浮力羽流階段終結后，油滴直徑的選取對數值模擬結果有較大影響。直徑較大的油滴由于具有較快的浮力速度，能更快地到達海面，其運動軌跡更接近于垂直方向，并且由于受水下橫流的影響時間較短，其到達海面的位置會更靠近溢油點;反之，直徑較小的油滴到達海面的時間更長，其運動軌跡更接近于水平方向，并且到達海面的位置離溢油點也更遠。

3 結 語

通過分析溢油在水下環境的行為過程和影響因素，基于Lagrange 積分法和Lagrange 粒子追蹤法建立了一個水下溢油數值模型。該溢油模型由兩個子模型組成，包括羽流動力模型和對流擴散模型，其中羽流動力模型采用Lagrange 積分法模擬噴發階段和浮力羽流階段，將一定量的溢油視為一個整體油團，考慮油團與海水間的相互作用;對流擴散模型采用Lagrange 粒子追蹤法模擬對流擴散階段，將溢油離散為一定數量的“油粒子”，每個粒子代表一個由大量油滴組成的集合，并具有一定的質量、體積、濃度、油滴直徑等屬性，這些油粒子在海水浮力和海流的共同作用下漂移擴散。

通過數值實驗，結合實驗室水槽實驗和水下溢油現場實驗的觀測資料進行模型驗證。數值實驗考察了層化和未層化的水流環境中的水下溢油過程以及實際海洋中的水下溢油過程。通過對比模擬結果與觀測數據，驗證了本文水下溢油模型的合理性和準確性。進一步分析表明，在數值模型中，羽流動力模型的準確模擬能為對流擴散模型提供一個可靠的源，進入對流擴散階段后，海流、海水的垂向密度結構和油滴的直徑分布是影響溢油運動和分布的主要因素。該模型可以為水下溢油應急計劃提供技術參考。

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