N-控制策略且溫儲備失效M/G/1可修排隊

唐應輝，劉金銀，余玅妙

（1.四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都 610066；

2.四川師范大學基礎教學學院，四川成都 610066；

3.四川理工學院理學院，四川自貢 643000）

N-控制策略且溫儲備失效M/G/1可修排隊

唐應輝1,2，劉金銀1，余玅妙3

（1.四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都 610066；

2.四川師范大學基礎教學學院，四川成都 610066；

3.四川理工學院理學院，四川自貢 643000）

把“N-門限值進入控制策略”引入到具有溫儲備失效和延遲修理的M/G/1可修排隊系統，其中在系統處于溫儲備失效的狀態下最多容許N（≥1）個顧客進入系統.利用全概率分解技術和Laplace變換工具，討論了系統在任意時刻t隊長的瞬態和穩態分布，得到了穩態隊長分布的遞推表達式.同時分別討論了當N=1與N→∞時的特殊情況.最后，建立了系統單位時間總成本費用函數，通過數值計算例子討論了最優門限值N?.

可修排隊系統；溫儲備失效；N-門限值進入控制策略；隊長分布；全概率分解

1 引言

在過去的幾十年里，國內外眾多學者對可修排隊系統和休假排隊系統進行了廣泛深刻的研究，得到了許多有價值的成果［1-5］.隨著實際應用的需要，各種各樣的休假機制和控制策略被引入到排隊系統里面［6-15］.但是，在可修排隊系統的研究文獻中，多數都是假定服務臺在系統閑期內不發生故障（即服務臺處于冷儲備關閉狀態），而實際情況并非如此.事實上，很多系統在空閑時系統不會被完全關閉，相關設備仍然處于較低負荷的運行狀態.例如：在雷達系統中，雷達發射機會不停的發射電磁能量經過收發轉換開關傳送給天線，產生電磁波，利用電磁波的二次輻射、轉發或輻射的固有性質來探測目標，獲取目標空間坐標、速度、特征等信息，整個系統在沒有目標信息反射時仍然處于運轉狀態.文獻［16］首次提出并研究了服務臺在閑期和忙期中均可能發生失效的M/G/1可修排隊系統，而且服務臺在閑期和忙期中具有不同的故障率.對于這類可修排隊系統，從排隊模型方面講，不同于文獻［1］研究的可修排隊系統，從可靠性模型方面講，又不同于相應經典的可靠性系統模型［17］.文獻［18］把文獻［16］研究的系統模型推廣到成批到達的Mx/G/1可修排隊系統，最近，文獻［19，20］考慮了在溫儲備故障狀態下到達的顧客以概率p進入的M/G/1可修排隊系統，并討論了該系統的排隊指標和可靠性指標.但是，文獻［16，18，19，20］都假設服務臺在溫儲備期間發生故障能立即得到修理，而在實際中，由于系統在溫儲備期間工作人員可能不在崗（因為系統處于空閑期間），因此系統在溫儲備期間發生故障時不會立即被發現，從而發生溫儲備故障的系統就得不到立即修理.因此，考慮服務臺系統閑期發生溫儲備故障而不能立即得到修理是有實際背景的.為了預防在溫儲備故障期間過多的顧客進入造成系統擁擠和顧客等待時間的延長，減少整個系統的成本，在溫儲備故障期間對進入系統的顧客數進行限制是非常必要的.因此，本文首次將“N-門限值進入控制策略”引入到具有溫儲備故障且不能立即得到修理的M/G/1可修排隊系統，考慮在溫儲備故障的狀態下最多容許N（≥1）個到達顧客進入系統的情況，使用全概率分解方法和Laplace變換（簡稱L變換）工具，借用更新過程理論，分別討論了系統的瞬態隊長分布和穩態隊長分布，并分析了當N=1和N→∞的特殊情況.最后，結合更新報酬理論建立了系統單位時間的費用結構目標函數，用數值實例討論了系統的最優控制閾值N?.

2 模型描述

系統的模型描述如下：

1）服務臺有兩類故障（兩類故障修復后完全恢復相應功能）：服務臺在服務員的“廣義忙期”中發生的故障，稱為服務臺的“第一類故障”，其壽命X服從負指數分布X（t）=1-e-αt，0≤α＜∞.服務臺發生“第一類故障”可得到立即修理，其修理時間Z的分布函數是任意分布Z（t）=Pr｛Z≤t｝，t≥0，且設平均修理時間為β1（0≤β1＜∞）.服務臺在系統閑期中發生溫儲備故障，稱為“第二類故障”，其溫儲備壽命為一般分布Y（t）=Pr｛Y≤t｝，t≥0，服務臺發生溫儲備故障時得不到立即修理，只有在有顧客到達系統需要服務時才發現服務臺是否正常.如果服務臺沒有發生溫儲備故障，到達的顧客立即接受服務，系統轉入服務員的“廣義忙期”狀態，若服務臺已經發生了溫儲備故障，此時開始修理已溫儲備的服務臺，到達的顧客只有等服務臺修好后再接受服務.服務臺溫儲備故障的修理時間V有任意分布V（t）=Pr｛V≤t｝，t≥0，且設平均修理時間為β2（0≤β2＜∞）.

2）系統在服務臺處于溫儲備故障的修理期間內采取“N-門限值進入控制策略”：在溫儲備故障的修理期間內最多允許N-1個到達顧客進入，即如果在此時間內到達的顧客數大于N-1，則系統就從第N-1個到達的顧客進入系統時刻起，禁止后面到達顧客進入系統，等溫儲備失效的系統修復完后，重新允許到達顧客進入系統.而在服務員的“廣義忙期”中到達的顧客仍然可以完全進入系統.

3）到達時間的間隔｛τn,n≥1｝獨立同負指數分布F（t）=1-e-λt，t≥0.顧客實際所需的服務時間｛χn,n≥1｝獨立同一般分布G（t）=Pr｛χn≤t｝，t≥0，且平均服務時間設為μ-1（0＜μ＜∞）.

4）服務臺在服務員的“廣義忙期”中發生“第一類故障”時，正在接受服務的顧客需要等待其修復，再繼續接受服務，已服務過的時間仍然有效，且假定隨機變量τ,χ,X,Z,Y,,V是彼此獨立的.

3 系統隊長的瞬態概率分布和穩態概率分布

將式（2）代入式（1）可得

由于

由式（5）和式（6）整理化簡即可.證畢.

定理2對Re｛s｝＞0，有

1）當j=1,2,...,N-1時，

2）當j=N時，

3）當j=N+1,N+2,...時，

證明1）當j=1,2,...,N-1時，時刻t隊長為j，則時刻t可能落在服務員的“廣義忙期”也可能落在第二類故障的修理期，且滿足隊長為j，利用全概率分解技術，可得

由于

由文獻［5］可得

其中Qj（t）由文獻［5］的4.2節給出，j≥1.

將式（13）～式（15），取Laplace變換整理可得

將式（17）代入式（16），整理即可得到式（7）.

2）當j=N時，時刻t可能落在服務員的“廣義忙期”且隊長為N，或時刻t落在第二類故障的修理期內且隊長為N（此時在第二類故障的修理期內到達的顧客數大于或者等于N-1），于是，同理可得

將式（19）代入式（18），再取Laplace變換，整理即可得到式（9）.

3）當j≥N+1時，時刻t隊長為j當且僅當時刻t落在服務員的“廣義忙期”中且隊長為j，同理可得

將式（21）代入式（20），作Laplace變換，整理即可得到式（11）.證畢.

當j=0時，由式（5）與式（6），利用羅比達法則可得

當j=1,2,...,N-1時，由式（7）和羅比達法則可得

綜上所述，當j=1,2,...,N-1時，pj=0，當j=N與j≥N+1時，同理可得pj=0.當＜1時，由文獻［19］引理2.1，有此時有

下面證明當eρ＜1時，｛pj,j≥0｝構成概率分布.事實上，

經計算得

至此，新時代新重慶牢記“四個扎實”，立足“兩點”定位，加快“兩地”建設，以重慶人的“堅韌頑強、開放包容、豪爽耿直”的精氣神努力實現“兩高”目標。全市上下團結一致、沉心靜氣，全面貫徹新發展理念，統籌推進“五位一體”總體布局，協調推進“四個全面”戰略布局，以供給側結構性改革為主線，扎實做好穩增長、促改革、調結構、惠民生、防風險各項工作，堅決打好“三大攻堅戰”，大力實施“八項行動計劃”，努力打造“山水之城，美麗之地”，不斷提升人民群眾的獲得感、幸福感、安全感，奮力把黨的十九大精神和習近平總書記的殷殷囑托全面落實在重慶大地上。

將式（28）～式（30）代入式（27），整理即可.證畢.

定理4令P（z）表示穩態分布｛pj,j=0,1,2,...｝的概率母函數，則當＜1時，有

而且平均隊長為

于是整理可得

推論1當N=1時，此時相當于在服務臺第二類故障的修理期間到達的顧客禁止進入系統，則當＜1時，穩態分布｛pj,j=0,1,2,...｝為

其母函數為

且平均隊長為

推論2當N→∞時，相當于服務臺在第二類故障的修理期內到達的顧客全部進入系統，則當＜1時，穩態分布｛pj,j=0,1,2,...｝為

證明當N→∞時，由式（22）與式（23），并注意到此時有ΔN=λβ2，Δ=1+λy（λ）β2，F（N-1）（t）=0，并且有

然后代入相應式子整理即可.證畢.

4 費用結構函數與最優N?的討論

假設系統費用結構為：

1）顧客在系統中逗留（包括等待和服務）單位時間的成本費用為h個單位；

2）第一類故障服務臺單位時間的維修費用為cz個單位，第二類故障服務臺單位時間的維修費用為cv個單位；

3）在一個周期內的固定消耗費用為c0個單位.

記C（N）為系統在該策略下，長時間運行單位時間內所產生的費用.由更新報酬理論［21］知

下面計算一個更新周期的期望長度與一個更新周期內成本期望費用.

令A表示在服務員的“廣義忙期”開始時系統內的顧客數，bj=Pr｛A=j｝，由系統模型假設可知，1≤j≤N，于是

則在服務員的“廣義忙期”開始時系統內的平均顧客數為

由顧客到達過程是參數λ的Poisson流，可得系統閑期I的平均長度為

由模型的描述可知，系統的一個更新周期是指從一個服務員“廣義忙期”結束時算起，直到下一個相鄰的服務員“廣義忙期”結束為止的這段時間.容易知道，若服務臺在系統閑期中不發生溫儲備故障，系統的一個更新周期是一個系統閑期長度I與一個服務員“廣義忙期”長度eBA之和；若服務臺在系統閑期中發生溫儲備故障，系統的一個更新周期是一個系統閑期長度I，一個第二類故障修理時間長度V與一個服務員“廣義忙期”長度eBA之和.因此系統的一個更新周期的期望長度為

一個更新周期內的期望費用由以下幾個部分組成：

1）單位時間內在系統中逗留顧客的成本期望費用為hL，其中L由定理4給出；

2）服務臺在一個更新周期內的第一類故障修理期望費用為E［Z］E［eBA］cz/（E［X］+E［Z］）；

3）服務臺在一個更新周期內的第二類故障修理的期望費用為E［V］y（λ）cv；

4）一個更新周期內的固定消耗費用為c0.

于是在一個更新周期內的系統單位時間成本期望費用C（N）為

下面通過數值計算例子來討論最優閾值N?，取G（t）=1-e-μt，0≤μ＜∞，Z（t）=1-e-γt，0≤γ＜∞，Y（t）=1-e-θt，0≤θ＜∞，V（t）=1-e-βt，0≤β＜∞.代入到C（N）的表達式，經化簡整理得

取參數λ=1.0，μ=2.0，α=0.6，γ=2.0，θ=0.1，β=0.6，h=20，c0=500，cz=50，cv=20.表1和圖1分別給出了在不同的控制策略閾值N下系統單位時間的運行費用（數值結果保留小數點后4位）.

表1 不同的控制策略閾值N下系統運行的單位時間平均費用Table 1The long-run expected cost per unit time against different threshold value N

圖1 控制策略閾值N對單位時間平均費用的影響Fig.1The influence of the long-run expected cost per unit time against threshold value N

5 結束語

本文將N-門限值進入控制策略首次引入到“具有溫儲備失效的M/G/1可修排隊系統”中，使得模型更加符合實際情況，推廣了具有溫儲備失效可修排隊系統的研究模型.利用全概率分解技術和更新過程理論，討論了系統隊長的瞬態與穩態分布.在此基礎上，結合更新報酬理論，建立了在該控制策略下，系統長期運行單位時間所產生的費用目標函數表達式，并通過數值計算討論了最優N?，使得本文的研究有了更好的應用價值.

［1］曹晉華，程侃.服務臺可修的M/G/1排隊系統分析［J］.應用數學學報，1982，5（2）：113-127.

Cao Jinhua，Cheng Kan.Analysis of M/G/1 queueing system with reparable service station［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，1982，5（2）：113-127.（in Chinese）

［2］唐應輝，唐小我.推廣的Mx/G（M/G）/1（M/G）可修排隊系統（I）：一些排隊指標［J］.系統科學與數學，2000，20（4）：385-397.

Tang Yinghui，Tang Xiaowo.The generalized Mx/G（M/G）/1（M/G）repairable queueing system（I）：Some queueing indices［J］.Journal of Systems Science&Mathematical Sciences，2000，20（4）：385-397.（in Chinese）

［3］唐應輝，趙瑋.可修排隊系統可靠性的分解特性［J］.運籌學學報，2004，8（4）：73-84.

Tang Yinghui，Zhao Wei.The decomposition properties of reliability indices in repairable queueing systems［J］.Operations Research Transactions，2004，8（4）：73-84.（in Chinese）

［4］田乃碩.休假隨機服務系統［M］.北京：北京大學出版社，2001.

Tian Naishuo.Stochastic Service Systems with Vacations［M］.Beijing：Beijing University Press，2001.（in Chinese）

［5］唐應輝，唐小我.排隊論：基礎與分析技術［M］.北京：科學出版社，2006.

TangYinghui，TangXiaowo.QueueingTheory：FoundationsandAnalyticTechniques［M］.Beijing：SciencePress，2006.（inChinese）

［6］唐應輝，毛勇.服務員假期中以概率p進入的M/G/1排隊系統的隨機分解［J］.數學物理學報，2004，24（16）：683-688.

Tang Yinghui，Mao Yong.The Stochastic decomposition for M/G/1 queue with p-entering discipline during server vacations［J］.Acta Mathematica Scientia，2004，24（16）：683-688.（in Chinese）

［7］駱川義，唐應輝.具有可變到達率的多重休假Geo（λ1,λ2）/G/1排隊分析［J］.數學學報，2010，53（4）：805-816.

Luo Chuanyi，Tang Yinghui.Analysis of a multi-vacation Geo（λ1,λ2）/G/1 queue with variable arrival rate［J］.Acta Mathematica Sinica，2010，53（4）：805-816.（in Chinese）

［8］劉云頗，唐應輝.多重假期中以概率p進入的M/G/1可修排隊系統［J］.系統工程學報，2011，26（5）：718-724.

Liu Yunpo，Tang Yinghui.M/G/1 repairable queueing system with p-entering discipline during server vacations［J］.Journal of Systems Engineering，2011，26（5）：718-724.（in Chinese）

［9］Yu M M，Tang Y H，Fu Y H.Steady state analysis and computation of the GI［x］/Mb/1/L queue with multiple working vacations and partial batch rejection［J］.Computers&Industrial Engineering，2009，56（4）：1243-1253.

［10］Yu M M，Tang Y H，Fu Y H，et al.GI/Geom/1/MWV queue with changeover time and searching for the optimum service rate in working vacation period［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，235（8）：2170-2184.

［11］Luo C Y，Tang Y H.The recursive solution for Geom/G/1（E，SV）queue with feedback and single server vacation［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2011，27（1）：155-166.

［12］余玅妙，唐應輝，付永紅.具有中途準入機制和多重休假的離散時間GI/Geom（a,b）/1/N早到達排隊系統［J］.應用數學學報，2011，34（5）：853-872.

Yu Miaomiao，Tang Yinghui，Fu Yonghong.GI/Geom（a,b）/1/Nearly arrival queueing system with accessible mechanism of ongoing service and multiple vacation［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2011，34（5）：853-872.（in Chinese）

［13］Wei Y Y，Yu M M，Tang Y H，et al.Queue size distribution and capacity optimum design forN-policy Geo（λ1,λ2,λ3）/G/1 queue with setup time and variable input rate［J］.Mathematical and Computer Modelling，2013，57（5/6）：1559-1571.

［14］Yu M M，Tang Y H，Liu L P，et al.A phase-type geometric process repair model with spare device procurement and repairman's multiple vacations［J］.European Journal of Operational Research，2013，225（2）：310-323.

［15］Tang Y H，Yu M M，Yun X，et al.Reliability indices of discrete-time Geox/G/1 queueing system with unreliable service station and multiple adaptive delayed vacations［J］.Journal of Systems Science&Complexity，2012，25（6）：1122-1135.

［16］Tang Y H.A single-server M/G/1 queueing system subject to breakdowns：Some reliability and queueing problems［J］.Microelectronics&Reliability，1997，37（2）：315-321.

［17］曹晉華，程侃.可靠性數學引論［M］.北京：高等教育出版社，2006.

Cao Jinhua，Cheng Kan.Introduction to Mathematical Reliability［M］.Beijing：Higher Education Press，2006.（in Chinese）

［18］牟永聰.在閑期內可能發生故障的Mx/G/1可修排隊系統分析［D］.成都：四川師范大學，2011.

Mou Yongcong.Analysis of Mx/G/1 Repairable Queueing System in which the Service Station May Fail in the Idle Periods［D］. Chengdu：Sichuan Normal University，2011.（in Chinese）

［19］李才良，唐應輝，牟永聰，等.在第二類故障期間以概率p進入的M/G/1可修排隊系統：一些排隊指標［J］.數學物理學報，2012，32（6）：1149-1157.

Li Cailiang，Tang Yinghui，Mu Yongcong，et al.M/G/1 repairable queueing system with p-entering discipline during second type failure times：Some queueing indices［J］.Acta Mathematica Scientia，2012，32（6）：1149-1157.（in Chinese）

［20］唐應輝，牟永聰，余玅妙.在第二類故障期間以概率p進入的M/G/1可修排隊系統：一些可靠性指標［J］.系統工程學報，2012，27（4）：559-567.

Tang Yinghui，Mu Yongcong，Yu Miaomiao.Analysis of reliability on M/G/1 repairable queueing system with p-entering discipline during second type failure times：Some reliability indices［J］.Journal of Systems Engineering，2012，27（4）：559-567.（in Chinese）

［21］Ross S M.Stochastic Processes［M］.2nd Edition.New York：Wiley，1996.作者簡介：

唐應輝（1963-），男，四川廣安人，博士，教授，研究方向：系統可靠性，排隊論和決策理論，Email：tangyh@uestc.edu.cn；

劉金銀（1988-），男，四川自貢人，碩士，研究方向：系統可靠性和排隊論，Email：liujinyin2006@126.com；

余玅妙（1979-），男，湖北沙市人，博士，副教授，研究方向：排隊論，可靠性，隨機庫存理論等，Email：mmyu75@163.com. **********************************************************************************************

M/G/1 repairable queue with N-control policy and warm standby failure

Tang Yinghui1,2，Liu Jinyin1，Yu Miaomiao3

（1.School of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
2.School of Fundamental Education，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
3.School of Science，Sichuan University of Science and Engineering，Zigong 643000，China）

This paper considers an M/G/1 repairable queuing system with warm standby and delayed repair，in which the“N-threshold entering-control policy”is introduced.In such a policy，at most N（≥1）customers are allowed to enter into the system during the warm standby failure period.By the total probability decomposition technique and the Laplace transform，this paper discusses the transient queue length distribution and the steady state queue length distribution at any time t，and obtain the recursion expression of the steady state queue length distribution.Moreover，This paper also considers some special cases when N=1 and N→∞.Finally，the total long run expected average cost per unit time for the system is developed，and the optimal threshold N?is determined by numerically examples.

repairable queueing system；warm standby failure；N-threshold entrance control policy；queuelength distribution；total probability decomposition

O213.2；O226

A

1000-5781（2015）06-0852-13

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.013

2013-08-26；

2013-11-28.

國家自然科學基金資助項目（71171138；71571127；71301111）.