空間節約型創意折疊桌的設計模型

江姍姍 高佳慧 陳世立 李文聰 黃 輝

（廣東財經大學，廣東 廣州 510320）

Jiang Shanshan Gao Jiahui Chen Shili Li Wencong Huang Hui

(Guangdong University of Finance and Economics，Guangzhou Guangdong 510320)

隨著社會的發展，城市化進程加快，用地日趨緊張，空間擁擠問題逐漸顯現。空間節約型家具逐漸受到人們的青睞。從家具領導企業宜家公司（IKEA）提出的“small space living（巧用空間）”的設計理念可以看出，節約空間型的創意家具有著廣闊的市場前景。此外，隨著個性化的裝修風格逐漸受到人們的熱捧，定制型家具也順勢成為一種時尚潮流。

2014年全國大學生數學建模競賽的B題是關于平板折疊桌的創意設計問題［1］。該題的研究原型來源于Robert van Embricqs設計的創意組合折疊餐桌［2］。本文就是在此題的基礎上，對折疊桌的加工參數進行進一步分析，同時考慮穩固性和加工方便等因素，建立符合實際生產的定制家具設計模型。

1 研究思路

現有一款創意平板折疊桌，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板（圖1）。平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條的空槽來保證滑動的自由度。

圖1 平板折疊桌動態變化圖

本文以此平板折疊桌為研究對象，有如下問題需要解決：

①建立模型描述此折疊桌的動態變化過程，給出此折疊桌的設計加工參數和桌腳邊緣線的數學描述，便于參數設計。

②考慮穩固性、加工方便等因素，討論符合折疊桌實際生產的最優加工參數。

③為打開定制家具的市場，迎合不同客戶需求。根據客戶要求的折疊桌類型，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數。

2 創意折疊桌參數及加工的建模分析

2.1 模型假設

①假設折疊時鋼筋緊貼開槽底端，平鋪時鋼筋緊貼開槽頂端；

②假設主要受力的是最外側的四根桌腿，忽略其他內側桌腿的受力情況；

③假設木條與圓桌面之間的交接處無間隙；

④假設不考慮木條之間的摩擦力。

2.2 模型的建立及求解

2.2.1 給定平板尺寸時的折疊桌參數計算

2.2.1.1 模型準備

Step1.求桌腿長度

圖2 平板簡圖

根據平板尺寸及木條寬度，該折疊桌由20根木條組成。由于對稱性，以木條KI為例，取圓弧 的中點F到L點的長度為該桌腿的長度。由勾股定理，可以求得組成桌腿的每一段木條的長度。

根據所得數據，利用Excel對木條長度作圖得示意圖（圖3）：

圖3 長板組成圖

Step2.運用三角函數［2］求最外側桌腿的旋轉角度

下面以最外側桌腿為例，簡圖如圖3所示，

假設OA為最外側桌腿，在平板折疊為桌子的過程中，木條從OA運動到O，旋轉的角度為∠AO。

由Step1.可以知道OA的長度，又因為桌子高53cm，每根木頭厚3cm，則地面到桌子下沿的高度為50cm，即桌子的實際高度為50cm，即OH=50cm，由反三角函數公式：

Step3.求各木條旋轉角度

由于鋼筋穿過每一根木條，因此最終狀態時所有的木條都必定垂直通過鋼筋所在的平行線。每一根桌角木條的旋轉中心已知，因此可以通過旋轉中心以及穿過的鋼筋所在平行線的點求出每一根木條的旋轉角度。設xi為第i根桌腿木條的鋼筋穿過點與旋轉原點之間的水平位移，傾斜角為θ，此時，

據以上公式，分別求得20根木條運動劃過的角度為θ1，θ2，…，θ20

表1 20根木條運動的角度

2.2.1.2 模型建立與求解

以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A點作垂直于面ABCD的直線作為z軸，建立空間直角坐標系如圖4所示：

圖4 三維坐標系

以每一根木條的折點作為圓心，在坐標系上作每一根木條末端點的運動軌跡方程如下：

運用MATLAB軟件對以上方程進行擬合，得木條的運動軌跡曲面，如圖5所示。

圖5 木條運動軌跡圖

由于開槽是為使得折疊桌靈活展開而設計的［3］，桌面未打開時鋼筋處于開槽的（最接近桌面中心）最上端；桌面完全打開后，鋼筋處于開槽的最下端。

圖6 創意折疊桌圖

由于鋼筋MM′的位置是固定不變的，因而，每根木條的鋼筋點位置到折點（圓心）的垂直距離都是相等的。圖中B點為鋼筋運動的終態位置，假設鋼筋運動的始態位置在G點，則由以下算式：

開槽長度=終態鋼筋所處位置-始態鋼筋所處位置

表2 木條的開槽長度

以桌面左上角為坐標原點，AB方向為x軸正方向，AD方向為y軸正方向，垂直地面向上為z軸正方向，建立空間直角坐標系。然后進行三維空間中的桌角邊緣線曲線擬合，用MATLAB加以實現，得到該擬合曲線所在曲面（圖7）。對該曲面進行XOZ平面上的投影。

圖7 桌腳邊緣線擬合曲面1

圖8 桌腳邊緣線擬合曲面2

此時決定系數R2=1，說明所有的點都在該曲面上。對XOZ平面上的投影進行曲線擬合得到圖8，此時決定系數為0.999，擬合效果良好。

因此，該桌腳邊緣線的表達式為：

2.2.2 最優參數設計模型的建模及求解

根據與家具生產商的交流溝通以及物理的相關知識，只要桌子重心不超過桌角所圍成的矩形區域，桌子就不會翻倒。本文以桌子四腳與地面圍成的矩形面積大于桌子的面積為約束條件：

為避免開槽的長度長于桌腳長度，設置約束條件為：

建立最終的線性規劃模型：

目標函數：minF（θ）=Rmax×2

當R=40，h=70時，求該線性規劃的最優解為θ=29.8°，，則有

①桌子長度L=80.67×2=161.3

②鋼筋位置為最外側桌腿的中點；

2.2.3 定制型模型展示

2.2.3.1 菱形折疊桌

假設該菱形折疊桌要求的桌高為70cm，對角線的長度為80cm。根據原來的模型求得，需要153.8×80×3cm的長板來進行設計。

圖9 菱形折疊桌簡圖

圖10 菱形折疊桌動態圖

根據給定尺寸以及幾何分析可以得到每根桌腿的長度以及運動軌跡方程，根據相似三角形的原理可以求得菱形的桌腿長度。為了更好地展示該折疊桌的運動過程，本文運用MATLAB軟件對此加以實現，得到相應的動態圖如圖10所示：

2.2.3.2 心形折疊桌

假設客戶要求定制的心形的桌子高度為50cm，木板的尺寸保持原尺寸不變，計算原理同上，假設心形折疊桌的桌面簡圖如圖11所示：

圖11 心形折疊桌的桌面簡圖

根據規劃模型進行求解，并運用MATLAB軟件對此過程加以實現，得到相應的動態圖如圖12所示：

3 模型改進

在初步的制造過程中我們發現該設計存在不小的缺陷。當桌子承受的壓力過大時，桌腳與地面的摩擦力會小于水平方向上的分力，導致桌子有展開的趨勢。

為了解決此問題，我們在原設計上進行了改進，在連接處加了四根可動的鋼條固定，經實際測試著實能大大提高最大承受壓力。

目前，本文所研究的創意平板折疊桌投入生產，生產制造出的桌子如圖13所示。

圖12 心形折疊桌動態圖

圖13 實物展示圖

［1］2014高教杯全國大學生數學建模競賽B題http：//www.mcm.edu.cn/htm l_cn/node/93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.htm l

［2］中國設計之窗 http：//www.333cn.com/industrial/sjxs/133003.html

［3］劉錫良.現代空間結構［M］.天津：天津大學出版社，2003.