向量內外積在直線坐標方位角反算中的應用研究

陸 超

（重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074）

Lu Chao

（School of Civil Engineering,Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074）

坐標方位角在工程測量應用中具有重要地位。在市政工程、公路工程現場施工放樣中，通常采用極坐標法將設計點位放樣到實地，必須通過坐標反算得到測站點到放樣點的距離和坐標方位角。

傳統的坐標方位角計算方法是在象限判斷的基礎上利用象限角與方位角的定量關系推算坐標方位角，象限角與方位角概念混淆時計算容易出錯［1-5］。對目前所有測量書籍和相關資料分析，不難看出，基本上從三角函數關系（標量）的角度分析坐標方位角的計算方法。這些推導過程和計算公式（含統一數學模型）不便于理解與掌握。

本文將向量內積、外積引入到直線坐標方位角的計算公式的推導過程中，為坐標方位角的推算提供一種新思路，同樣是對反余弦函數計算坐標方位角做出的新解釋。

1 傳統的坐標方位角計算法

方位角是指從起始方向北端算起，順時針旋轉至某方向線間的水平角度［6］。根據起始方向的選取不同，方位角具體分為真方位角、磁方位角和坐標方位角。其中，坐標方位角的起始方向為坐標縱線。坐標方位角的取值范圍是0°～360°。

在傳統的坐標方位角計算中，引入了象限角概念。象限角是指由標準方向的北端（或南端）順時針（或逆時針）旋轉至某一直線的水平銳角。象限角的取值范圍是0°～90°。

已知測站點和放樣點的坐標分別為A（XA，YA）、B（XB，YB），則兩點坐標增量△XAB=XB-XA，△YAB=YB-YA，AB兩點距離，象限角RAB為：

坐標方位角與象限角是兩種不同的概念，傳統的坐標方位角計算方法是基于象限角來進行的。根據△XAB和△YAB的正負性，通過添加常數項將象限角轉換為坐標方位角αAB。這種計算方法不僅比較繁瑣，而且△XAB為0時需要特殊處理。

2 坐標方位角計算新思路

2.1 坐標方位角與向量夾角關系

距離沒有方向性，需要借助X、Y增量的正負性來判斷坐標方位角所在象限。然而向量既代表大小，又代表方向，可以直接斷定坐標方位角所在象限。選取坐標縱軸（正北方向）的單位向量=（1，0），向量與向量夾角為θ。向量夾角θ∈［0°，180°］，而坐標方位角α∈［0°，360°），兩者之間存在著某種固定轉換關系。各象限中坐標方位角α與向量夾角θ的關系如圖1所示。

圖1 坐標方位角與向量夾角關系

由圖1易得，當α在第一、二象限時，α=θ；當α在第三、四象限時，α=360°-θ。其中，θ可由向量內積定義求得，向量夾角θ為：

坐標方位角所在象限判定的定量表達成為問題的關鍵。從向量角度出發，引入了向量外積［7］。

2.2 向量外積引入

綜上所述，直線的坐標方位角α為：

當△YAB=0即位于X軸時，式（4）同樣成立。可以將式（4）合并為統一的表達式：

3 結語

從矢量角度出發，借助向量內積、外積推導直線坐標方位角的計算公式，該方法具有形象直觀，容易理解和掌握的優點，為進一步理解直線坐標方位角的計算提供一種新思路。內外積分析法同樣可用于解決道路路線的轉角問題。

［1］譚家兵，劉星.利用坐標反算直線坐標方位角的最佳數學模型［J］.江蘇測繪，2001，24（3）:24-25，27.

［2］高俊強，鄭國才.測量學教學中坐標方位角的計算［J］.現代測繪，2005，28（5）:47-48.

［3］陳德標.坐標方位角計算實用通式［J］.測繪通報，2006（2）:30-31，69.

［4］王健，李小光，宋利杰.直線坐標方位角的簡明算法［J］.礦山測量，2010（2）:62-63，65.

［5］涂群生.距離和坐標方位角計算的簡易方法［J］.測繪通報，2006（7）:43-44.

［6］鄭平元，楊武年，楊容浩.輔助角法在坐標方位角反算中的應用［J］.測繪與空間地理信息，2012，35（7）:44-45.

［7］李香清.基于對話框編寫實現坐標方位角正算與反算的程序［J］.城市勘測，2013（5）:137-139.