求合力的常用方法

張凌明

學(xué)習(xí)了重力、彈力、摩擦力等各種力之后，在對(duì)物體受力分析時(shí)發(fā)現(xiàn)物體的受力大多數(shù)情況下并不是單純的受到一個(gè)力，所以就需要把物體受到的力進(jìn)行組合，求出最終的合力，力的合成在高考中是必考內(nèi)容之一.力的合成必須遵循“同物性”和“同時(shí)性”的原則.“同物性”是指待合成的諸力是作用在同一物體上的力，“同時(shí)性”是指待合成的諸力是同時(shí)出現(xiàn)的力.而求解合力的方法有多種，可以由平行四邊形定則求合力、由矢量三角形定則求解合力、用圖解法求解合力、正交分解法求解合力、用相似三角形求解合力.

一、平行四邊形定則求解合力

平行四邊形定則：求兩個(gè)互成角度的共點(diǎn)力F1、F2的合力，可以用表示Fl、F2的有向線段為鄰邊作平行四邊形，平行四邊形的對(duì)角線（在兩個(gè)有向線段F1、F2之間）就表示合力的大小和方向，如圖1所示.對(duì)于畫(huà)出的平行四邊形尋找（或者構(gòu)造出）直角三角形，然后利用三角函數(shù)列出方程分析求解.

例1 在研究?jī)蓚€(gè)共點(diǎn)力F1、F2的合成實(shí)驗(yàn)中，得到如圖2所示的合力F與兩力夾角θ的關(guān)系圖象.現(xiàn)有一物體在F1、F2、F3三個(gè)力的作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)，則F3可能為（）

A.8N

B.12N

C.14N

D.16N

解析 本題考查平行四邊形定則求合力、共點(diǎn)力的平衡.設(shè)F1>F2，由圖象和平行四邊形定則可知：當(dāng)θ=π時(shí)，F(xiàn)=F1-F2=2N，當(dāng)時(shí)，，兩式聯(lián)立解得F1=8N，F(xiàn)2=6N.則F1-F2≤F≤Fl+F2，即2N≤F≤14N.物體在F1、F2、F3三個(gè)力的作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)，由平衡條件可知，F(xiàn)3必與F等大反向，所以F3的取值范圍為2N≤F3≤14N，故選項(xiàng)ABC正確.

例2 如圖3所示，用兩根等長(zhǎng)輕繩將木板懸掛在豎直木樁上等高的兩點(diǎn)，制成一簡(jiǎn)易秋千.某次維修時(shí)將兩輕繩各剪去一小段，但仍保持等長(zhǎng)且懸掛點(diǎn)不變.木板靜止時(shí)，F(xiàn)1表示木板所受合力的大小，F(xiàn)2表示單根輕繩對(duì)木板拉力的大小，則維修后（）

A.F1不變，F(xiàn)2變大

B.F1不變，F(xiàn)2變小

C.F1變大，F(xiàn)2變大

D.F1變小，F(xiàn)2變小

解析 本題考查受力分析、物體的平衡.在輕繩被剪短前后，木板都處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以木板所受的合力都為零，即F1=0.因兩根輕繩等長(zhǎng)，且懸掛點(diǎn)等高，故兩根輕繩對(duì)木板的拉力相等，均為F2，對(duì)木板進(jìn)行受力分析，如圖4所示，把兩根繩子的拉力作為平行四邊形的鄰邊，畫(huà)出平行四邊形，則合力就與重力等值反向，則豎直方向平衡方程：2F₂cosβ=G，輕繩剪去一段后，θ增大，cosθ減小，故F2變大.選項(xiàng)A正確.

二、矢量三角形法則求解合力

求兩個(gè)互成角度的共點(diǎn)力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的線段首尾順次相接地畫(huà)出，把F1、F2的另外兩端連接起來(lái)，則此連線就表示合力的大小和方向，如圖5所示.如果物體在三個(gè)共點(diǎn)力的作用下處于平衡狀態(tài)，則代表這三個(gè)力的有向線段構(gòu)成封閉的矢量三角形，用矢量三角形法則解題，可避免繁瑣的三角函數(shù)，使求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單.

例2 如圖6所示，用細(xì)繩將重球懸掛在光滑墻壁上，當(dāng)繩子變長(zhǎng)時(shí)（）

A.繩子的拉力變小，墻對(duì)球的彈力變大

B.繩子的拉力變大，墻對(duì)球的彈力變大

C.繩子的拉力變大，墻對(duì)球的彈力變小

D.繩子的拉力變小，墻對(duì)球的彈力變小

解析 此題可以采用矢量三角形定則求解.選球?yàn)檠芯繉?duì)象，球在重力G、細(xì)繩拉力T和墻壁彈力N三力作用下處于平衡狀態(tài)，如圖7所示.三力構(gòu)成封閉的矢量三角形.當(dāng)繩變長(zhǎng)時(shí)α角變小，而G大小、方向都不變，N方向不變，故N、T都變小，即B選項(xiàng)正確.

三、圖解法求解合力

圖解法分析動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的條件：往往涉及三個(gè)力，其中一個(gè)力為恒力，另一個(gè)力方向不變，但大小發(fā)生變化，第三個(gè)力則隨外界條件的變化而變化，包括大小和方向都變化.先把除了恒力以外的兩個(gè)力進(jìn)行合成（合力與恒力等值反向），再根據(jù)平行四邊形定則或者矢量三角形定則畫(huà)出多組圖象看出力的變化規(guī)律，解答此類“動(dòng)態(tài)型”問(wèn)題時(shí)，一定要認(rèn)清哪些因素保持不變，哪些因素是改變的，這是解答動(dòng)態(tài)問(wèn)題的關(guān)鍵.

例4 如圖8所示，兩根等長(zhǎng)的繩子AB和BC吊一重物靜止，兩根繩子與水平方向夾角均為60°.現(xiàn)保持繩子AB與水平方向的夾角不變，將繩子BC逐漸緩慢地變化到沿水平方向，在這一過(guò)程中，繩子BC的拉力變化情況是（）

A.增大

B.先減小，后增大

C.減小

D.先增大，后減小

解析 此題考查圖解法求合力，對(duì)于結(jié)點(diǎn)受力分析，受到豎直向下的拉力F_B（大小等于重力），兩根傾斜繩子的拉力F_AB、F_CB，其中F_B是恒力，F(xiàn)_AB方向不變.F_CB方向在發(fā)生改變.先把F_AB和F_CB進(jìn)行合成，合力與恒力F_B等值反向，然后采用圖解法（畫(huà)動(dòng)態(tài)平行四邊形或者矢量三角形）.作出力的平行四邊形，如圖9所示.由圖可看出，F(xiàn)_CB先減小后增大.即B選項(xiàng)正確.

四、正交分解法求解合力

把物體所受的不同方向的各個(gè)力都分解到相互垂直的兩個(gè)方向上去，然后再求每個(gè)方向上的分力的代數(shù)和，這樣就把復(fù)雜的矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，最后再求兩個(gè)互成90度角的合力就簡(jiǎn)便多了.正確選擇直角坐標(biāo)系，通常選擇共點(diǎn)力的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x、y的選擇可按下列原則去確定：a.盡可能使更多的力落在坐標(biāo)軸上.b.沿物體運(yùn)動(dòng)方向或加速度方向建立一個(gè)坐標(biāo)軸.如例4也可以采用正交分解法分析求解.

j析 如圖10所示，將F_AB、F_CB分別沿水平方向和豎直方向分解，由兩方向合力為零知：

顯然，當(dāng)θ=60度時(shí)，F(xiàn)_CB最小，故當(dāng)θ變大時(shí)，F(xiàn)_CB先變小后變大.

五、相似三角形求解合力

正確作出力的三角形后，如能判定力的三角形與圖形中已知長(zhǎng)度的三角形（幾何三角形）相似，則可用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出三角形中力的比例關(guān)系，從而達(dá)到求未知量的目的。此種題型往往涉及三個(gè)力，其中一個(gè)力為恒力，另兩個(gè)力的大小和方向均發(fā)生變化，則此時(shí)用相似三角形分析.相似三角形法是解平衡問(wèn)題時(shí)常遇到的一種方法，解題的關(guān)鍵是正確的受力分析，尋找力三角形和幾何三角形相似.

例5 如圖11所示，半徑為R的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面B的距離為h，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點(diǎn)，另一端繞過(guò)定滑輪后用力拉住，使小球靜止，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由A到B的過(guò)程中，半球?qū)π∏虻闹С至Β艉屠K對(duì)小球的拉力T的大小變化的情況是（）

A.N變大，T變小

B.N變小，T變大

C.N變小，T先變小后變大

D.N不變，T變小

解析 如圖12所示，對(duì)小球：受力平衡，由于緩慢地拉繩，所以小球運(yùn)動(dòng)緩慢視為始終處于平衡狀態(tài)，其中重力mg不變，支持力Ⅳ、繩子的拉力T一直在改變，但是總形成封閉的動(dòng)態(tài)三角形（圖中小陰影三角形）.由于在這個(gè)三角形中有四個(gè)變量：支持力Ⅳ的大小和方向、繩子的拉力T的大小和方向，所以還要利用其它條件，實(shí)物（小球、繩、球面的球心）形成的三角形也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的封閉三角形（圖中大陰影三角形），并且始終與三力形成的封閉三角形相似，則有如下比例式： 可得： 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中L變小，T變小mg，運(yùn)動(dòng)中各量均為定值，支持力N不變，正確答案D.