分段函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用『三問(wèn)』

鄭晨珂

分段函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，小少同學(xué)在解題時(shí)常因把握不準(zhǔn)分段函數(shù)的求解方法與步驟而導(dǎo)致出錯(cuò)，下面就分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行舉例分析。

一、如何建立分段函數(shù)模型

分段函數(shù)的建模要點(diǎn)是：尋找關(guān)系、分段設(shè)問(wèn)，依據(jù)條件、分段建模。

例1 已知A、B兩地相距150km，某人開汽車以60km/h的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，請(qǐng)把汽車離開A地的距離x表示為時(shí)間t的函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為______

解：由A地到B地共用時(shí)間為150÷60=2.5（h），停留h的距離不變，由B地返回A地共用時(shí)問(wèn)為150÷50=3（h），由B地返回時(shí)的距離逐漸減小。所以

評(píng)析：此題主要是分段建模，對(duì)于第三段要注意的是回程的距離。

二、如何化解分段函數(shù)

解分段函數(shù)是化解分段函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的重要部分，分段函數(shù)化解的關(guān)鍵是：依據(jù)條件、分段化解。

例2 在一個(gè)交通擁擠及事故易發(fā)路段，為了確保交通安全，交通部門規(guī)定，在此路段內(nèi)的車速v（單位：km/h）的平方和車身長(zhǎng)ι（單位：m）的乘積與車距d（單位：m）成正比，且最小車距不得少于半個(gè)車身長(zhǎng)。假定車身長(zhǎng)均為ι（單位：m），且當(dāng)車速為50km仆時(shí)，車距恰為車身長(zhǎng)。問(wèn)交通繁忙時(shí)應(yīng)規(guī)定怎樣的牟速，才能使在此路段的車流量Q最大。

評(píng)析：此題若不分段求解，就容易產(chǎn)生錯(cuò)解。

三、如何避免錯(cuò)解

分段函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題容易出現(xiàn)錯(cuò)解，如建模出錯(cuò)、化解出錯(cuò)、結(jié)果與事實(shí)不符等。

例3 WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500min以下（包括500min），按30元計(jì)費(fèi)；超過(guò)500min的部分按0.15元/min計(jì)費(fèi)。假如上網(wǎng)時(shí)間過(guò)短（小于60min），使用量在1min以下不計(jì)費(fèi)，在lmin以上（包括1min）按0.5元/min計(jì)費(fèi)。WAP手機(jī)上網(wǎng)不收通話費(fèi)和漫游費(fèi)。

（l）寫出上網(wǎng)時(shí)間xmin與所付費(fèi)用y元之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）小王12月份的WAP上網(wǎng)使用量為20h.要付多少錢？

（3）小王10月份付了90元的wAP上網(wǎng)費(fèi)，那么他上網(wǎng)的時(shí)間是多少？

解：（l）上網(wǎng)時(shí)間為x min。由已知條件可得所付費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：

（2）由x=20×60=1200，且x>500，可知應(yīng)付費(fèi)為y=30+0.15（1200-500）=135（元）。

（3）因?yàn)?0元已超過(guò)30元，所以上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)500 min。由解析式可得上網(wǎng)時(shí)間為900min

評(píng)析：分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題的解題步驟為“審題”、“建模”、“求模”、“還原”。