基于貝葉斯方法的歷史建筑砌體抗壓強度推定

彭 斌，汪瀾涯，李 翔，付想平

（1.上海理工大學 環境與建筑學院，上海 200093；2.同濟大學 建筑工程系，上海 200092）

砌體材料在中國現存歷史建筑中被大量使用，砌體材料的抗壓強度（以下簡稱強度）是衡量這些歷史建筑安全性的重要指標.但是，受建筑現狀和現場條件限制，可獲得的砌體強度實測樣本非常有限，且量測誤差明顯；同時，歷史建筑中砌體材料的生產工藝與現代不同，在長期使用中已受諸多因素影響，利用現行規范推定其強度，存在模型誤差.因此，對歷史建筑砌體強度的合理推定比較困難［1］.首先，采用少數離散樣本的統計特征值進行估計，明顯違背大數定律，如果樣本序列過于離散，不得不舍棄部分樣本，從而進一步減少了實測信息量.其次，對于歷史建筑中同一檢測單元的砌體強度，既可由現場原位測試來推定（直接法），也可在測得塊體和砂漿的強度后用模型來推定（間接法）［2］，2 種方法推定的強度值差異明顯.

在影響因素眾多、量測誤差明顯和實測信息量不足時，合理利用可靠的先驗信息，對于強度的推定非常重要.貝葉斯方法是利用先驗信息的有效方法［3］.在處理既有結構材料參數的主觀不確定性時，采用該方法能夠以原設計中的先驗信息修正實測信息量的不足［4］.在推定結構剩余承載力［5］或砌體結構的節點剛度、材料彈性模量時［6］，采用該方法可賦予先驗信息和實測信息合理的權重，避免先驗信息的作用被低估或放大.

為合理推定歷史建筑中砌體強度，本文先建立磚強度和砂漿強度的概率密度函數（probability density function，PDF），并據此建立砌體強度推定的似然函數；再基于貝葉斯方法，合并直接法和間接法的實測信息，在推定砌體強度的同時，定量描述推定結果的不確定性.

1 貝葉斯方法及其數值實現

在參數分布的總體模型估計和先驗概率密度模型的基礎上，結合新增實測樣本，按如下貝葉斯公式，更新待定參數的先驗概率密度模型［7］：

式中：θ為待定參數；D 為新增實測樣本；P（θ｜D）是θ的后驗概率密度函數；P（D｜θ）和L（θ）是似然函數，表示在θ已知的條件下獲得新增實測樣本D 的概率；P（θ）為θ的先驗概率密度函數，可根據之前的實測數據或其他先驗信息（包括經驗判斷）來確定；P（D）為獲得該組新增實測樣本D 的概率密度函數；k為正則化因子，k＝1／P（D）；Q（θ）是似然函數與先驗概率密度函數的積.可以證明，無論θ為何種分布，用P（θ｜D）對其進行估計的結果，與所有的已知實測數據相比，具有最小的均方誤差（mean square error，MSE）；當θ嚴格服從正態分布時，貝葉斯方法與極大似然估計法或最小二乘估計法等效.

由于正則化因子k難以確定，很難用式（1）直接得到P（θ｜D）的解析表達式.此時可用馬尓科夫蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法，通過抽樣重構P（θ｜D）.Metropolis－Hasting（MH）抽樣方法是有效的MCMC 方法之一，其過程為［7］：

（1）隨機選擇參數樣本值ξ.

（2）按式（2）計算比值ri：

式中：θi是第i 個樣本；Q（ξ），Q（θi）是式（1）中的似然函數與先驗概率密度函數的乘積；P＊（θi｜ξ），P＊（ξ｜θi）是隨機選取的建議概率密度函數.

（3）從均勻分布（0，1）中隨機抽樣1個值αi.

（4）如果ri＞αi，則接受ξ，令θi＋1＝ξ；否則拒絕ξ，令θi＋1＝θi.返回第（2）步.

MH 方法認為，當ξ被接受的潛在可能性P＊（ξ｜θi）較大時，應該降低接受其作為樣本的概率（即降低ri），以免該值的影響被過分放大.這樣可以使抽樣范圍較快遍布樣本空間，獲得P（θ｜D）的全面信息［7］.為降低MH 方法得到的相鄰樣本間的相關性，本文抽樣時放棄前200個抽樣值，并根據樣本序列的自相關函數，放棄顯著相關的樣本.

2 歷史建筑砌體強度的概率模型

GB 50153—2008《工程結構可靠性設計統一標準》明確規定材料強度宜采用正態分布模型或對數正態分布模型，GB／T 50315—2011《砌體工程現場檢測技術標準》給出了根據實測樣本的統計特征值推定磚強度和砂漿強度的方法.但由于歷史建筑砌體強度受眾多因素影響，在獨立測試時，其樣本值通常十分離散，且其分布形態也與正態分布相去甚遠，導致總體信息相當有限.此時若仍采用樣本統計特征值代表總體，不符合大數定律，存在明顯的偏差.因此，本文把對數正態分布和樣本統計特征值僅作為先驗信息的一種，而不作為直接推定的依據.另外，由于歷史建筑中磚和砂漿的生產工藝、砌筑方式等與現行技術標準不符，因此將無主觀信息的區間均勻分布作為另一種先驗信息.

對于歷史建筑，直接法或間接法獲得的砌體強度樣本數量均有限，且現場量測誤差較大，同時間接法所用的強度計算模型并不完善.這使2種方法的推定值有明顯差異.為增加砌體強度推定結果中的實測信息量，減小推定結果的不確定性，下文通過貝葉斯方法來合并直接法和間接法檢測的信息，并估計強度計算模型誤差的影響.

3 歷史建筑砌體材料抗壓強度的似然函數

現行GB 50003—2011《砌體結構設計規范》中采用以下模型來間接確定砌體強度：

式中：fm為砌體強度平均值；f1為塊體強度的等級值；f2為砂漿強度的平均值；α為與塊體高度有關的參數；k1為反映塊體種類的參數；k2為采用低強度等級砂漿時的修正系數.

中國超過3 000組的試驗結果表明，式（3）反映了砌體強度的主要規律［8］.但砌體強度還受到塊體和砂漿彈性模量、塊體的吸水程度和灰縫的飽滿程度等諸多因素的影響，這些在式（3）中均未反映，因此用式（3）推定砌體強度時存在模型誤差.

為構造砌體強度平均值fm的似然函數，對式（3）兩邊取對數，得到：

式中：γ為模型誤差.

在測試過程無系統誤差時，γ 服從均值為0 的正態分布［7］.參照GB 50153—2008 標準，取f1，f2為對數正態分布.由式（5）可知Fm服從正態分布，且：

式中：μFm，μF1，μF2分別為Fm，F1，F2的均值；，分別為Fm，F1，F2的方差.

當通過直接法獲取砌體強度的實測數據后，可建立如下似然函數：

式中：n 為原位測試的次數；Fm，i為第i 次原位 測試的值.將式（6）代入式（7），可以得到：

基于貝葉斯方法，可合并直接法實測信息Fm，i和間接法實測信息，并結合先驗概率密度模型來推定歷史建筑砌體強度.

4 歷史建筑砌體強度的檢測

4.1 燒結黏土磚強度f1的檢測

某歷史建筑中的承重墻體采用燒結黏土磚砌筑.通過現場回彈測試和取樣進行抗壓強度試驗來獲得磚強度的樣本.

現場回彈測試時，將整幢建筑的承重墻體劃分為1個檢測單元，在該檢測單元中選取4個典型部位作為測區，在每個測區內嚴格按照GB／T 50315—2011標準進行回彈測試并評定強度等級.另外，切割測區中的灰縫砂漿將單塊磚完整取出，共獲取6個抗壓強度試件，按照GB／T 5101—2003《燒結普通磚》進行抗壓強度試驗.評定和試驗結果見表1.

表1 抗壓強度樣本Table 1 Samples of compressive strength N／mm2

表1中f1的測試數據反應了磚強度的不確定性.受現場條件的限制，無法獲取更多的樣本，而可獲取的有限強度樣本值之間差異顯著，因此樣本的統計特征值不能代表檢測單元的強度.

基于貝葉斯方法推定磚強度時，采用回彈測試的結果建立磚強度的先驗概率密度模型，用抗壓強度試驗結果來更新磚強度的先驗概率密度模型.

4.2 砂漿強度f2的檢測

該歷史建筑中的承重墻體采用的是石灰黏土砂漿.根據GB／T 50315—2011標準，將整幢建筑的承重墻體作為1個檢測單元，鑿開粉刷層后，采用貫入法測定灰縫砂漿的強度.

在磚塊回彈測試的部位確定5 個測區，獲得5個換算強度（即強度平均值）樣本，結果如表1所示.根據砂漿強度等級的確定方法，可建立砂漿強度的先驗概率密度模型.

在磚塊取樣的部位，獲得4個換算強度樣本，結果見表1.這4個樣本值用于更新砂漿強度的先驗概率密度模型.

4.3 砌體強度f 的現場檢測

參照GB／T 50315—2011 標準，在磚和砂漿強度測區中選擇3個典型部位，將承重墻體開槽后進行原位軸壓法測試，其結果見表1.

5 基于貝葉斯方法的砌體強度推定

5.1 強度的后驗概率模型

對于磚強度，分別采用對數正態分布和均勻分布作為先驗概率密度模型，再采用MH 方法獲得后驗概率密度模型.對數正態分布先驗模型中，根據表1中的磚強度，均值取為8.2 N／mm2，方差取為0.90；均勻分布先驗概率密度模型中，先由表1中磚強度所有數據的最大值和最小值來確定區間長度，再乘以2得到上下界［2.2，12.2］.磚強度的后驗概率密度模型如圖1所示，其中p 為概率密度.由圖1可見，由于變異系數δ很小，模型偏度不明顯.

圖1 磚強度的后驗概率密度模型Fig.1 Posterior PDFs for compressive strength of brick

采用同樣的方法獲取砂漿強度的后驗概率密度模型，如圖2所示.其對數正態分布先驗概率密度模型中，均值取表1中砂漿強度前5個測區的樣本均值，即0.3N／mm2，方差取為0.01；均勻分布先驗概率密度模型中，先由表1中砂漿強度所有數據的最大值和最小值來確定區間長度，再乘以2，并考慮強度值非負，得到上下界［0，1.55］.

圖2 砂漿強度的后驗概率密度模型Fig.2 Posterior PDFs for compressive strength of mortar

在磚強度的后驗概率密度模型中，取變異系數較小的模型（圖1（a））確定μF1，分別 為3.6，0.001；在砂漿強度的后驗概率密度模型中，取變異系數較小的模型（圖2（a））確定μF2，分別為－0.7，0.039；再合并表1中砌體強度的數據來更新似然函數式（8）.分別采用［0，0.01］，［0，0.05］和［0，0.1］內的無信息均勻分布先驗概率密度模型，并采用MH 方法進行抽樣，獲得砌體強度推定誤差的后驗概率密度模型，如圖3所示.由圖3可見，基于不同先驗概率密度模型的后驗概率密度模型均值和變異系數接近，即先驗概率密度模型的差異對的不確定性影響較小.

5.2 砌體強度推定結果

將圖1～3中后驗概率密度模型的統計特征值分別代入式（6a）和式（6b），可確定砌體抗壓強度的對數Fm服從正態分布N（－0.27，0.25）.再根據對數正態分布特征，可推定fm＝0.9N／mm2，fm的不確定性程度可由圖3定量給出.

根據表1，采用間接法時，砌體強度可推定為0.6N／mm2；采用直接法時，砌體強度可推定為0.7N／mm2.直接法和間接法推定結果之間有差異，由模型誤差、量測誤差等導致的不確定性難以衡量；并且間接法中的砂漿強度和直接法中的砌體強度均由相應樣本中的最小值確定，從而丟失了其他樣本的信息.而基于貝葉斯方法的推定結果利用了所有實測樣本和可靠的先驗判斷，其信息量比單獨通過間接法或直接法獲得的推定值更為豐富.

圖3 的后驗概率密度模型Fig.3 Posterior PDFs forσ2γ

5.3 貝葉斯方法推定結果的性質

基于貝葉斯方法的歷史建筑砌體強度推定過程不舍棄實測樣本，保證了推定結果中實測信息的完整性，滿足大數定律的要求.推定結果結合了先驗信息和實測信息，并自動對這2類信息賦予合理的權重.如果實測信息的不確定性較小，其將獲得較大的權重，此時先驗概率密度模型的差異將不會顯著影響后驗概率密度模型的統計參數（見圖1）.如果實測信息較為離散，則由不同先驗概率密度模型所得后驗概率密度模型的均值差異較明顯，且變異系數都很大（見圖2），此時抽樣過程更依賴于先驗信息.這說明在現場實測信息不足的條件下，可靠的先驗信息對于強度的估計具有重要的意義.此時為避免主觀性的影響，應采用不同的先驗概率密度模型進行MH 抽樣，然后對相應的后驗概率密度模型進行對比分析.

基于貝葉斯方法的強度推定結果具有可擴展性，適用于砌體強度的長期觀測.當獲得新的實測數據時，可將已有的后驗概率密度模型作為先驗信息，重新啟動推定過程進一步更新.如果砌體強度穩定，推定結果的不確定性將隨實測信息的累積而不斷減小；如果砌體強度受外部環境或其他因素影響而發生改變，則后續的實測數據將更新已有的判斷.

強度的后驗概率模型可定量表示推定結果的不確定性，對于決策非常有利.由圖2中后驗概率密度模型的統計特征，可分別推定砂漿強度值為0.5N／mm2（正態先驗）和0.6N／mm2（均勻先驗）；根據后驗概率密度模型的變異系數，可判定0.5N／mm2具有較小的不確定性.對比圖1，2中后驗概率密度模型的變異系數可知，實測的磚強度比砂漿強度更可靠，這符合砌體強度現場檢測時砂漿風化程度較高的一般規律.

基于貝葉斯方法的強度推定結果含義豐富.首先，模型誤差的方差的后驗概率密度模型可作為決策的定量依據的最優值可通過逐次搜索確定.如圖3所示，先驗概率密度模型為均勻分布時，其下界為0，逐次變化上界，可分別獲得的后驗概率密度模型；當后驗概率密度模型的統計參數趨于穩定時，可將該模型的均值作為的估計值.其次，砌體強度對各因素的敏感性可由各因素的后驗概率密度模型來定量描述.由式（6b）以及圖1，2中后驗概率密度模型的統計特征可知，砂漿強度的不確定性對砌體強度推定結果的不確定性影響較大.這與當前工程實踐中的情況一致，可作為工程問題的理論解釋.最后，對于歷史建筑，現場條件對直接法限制較大，此時可通過增加間接法的實測樣本數來降低強度推定結果的不確定性，式（8）為此提供了理論依據.

6 結論

（1）貝葉斯方法不舍棄實測樣本，保證了推定結果中實測信息的完整性.通過累積實測信息可以不斷更新推定結果，以經濟、有效的方式實現砌體強度的長期觀測.

（2）貝葉斯方法定量給出了推定結果的不確定性及其對各影響因素的依賴程度，有利于客觀分析和決策.推定結果表明，砂漿強度的不確定性對砌體強度推定結果的影響顯著.

（3）貝葉斯方法可將直接法和間接法獲得的砌體強度信息相結合，從而降低推定結果的不確定性.該方法從理論上說明，對于歷史建筑，可通過增加間接法的實測樣本數來獲得更為合理的砌體強度推定結果.

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