基于數(shù)據(jù)擬合的RM 215測厚儀測量曲線標(biāo)定研究

王小波

（湖南華菱漣源鋼鐵有限公司信息化中心，湖南 婁底 417009）

金屬板帶加工過程中，板帶厚度和板帶尺寸控制是極為重要的控制目標(biāo)，其中金屬板帶的厚度控制往往和板帶加工的質(zhì)量直接掛鉤，具有高精度厚度控制的板帶產(chǎn)品不僅在市場競爭中處于有利地位，同時(shí)也可以增加產(chǎn)品的附加值。而板帶厚度控制中極為重要的一環(huán)就是加工過程中的板帶厚度檢測問題，精確的板帶厚度檢測是高精度厚度控制的基礎(chǔ)[1]。

X射線測厚儀由于具有非接觸、連續(xù)、快捷、無損傷檢測，且能夠適用于高油污、高溫惡劣環(huán)境的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于板帶軋制過程。但在實(shí)際使用過程中，X射線測厚儀的檢測精度受現(xiàn)場的X射線源穩(wěn)定性、合金成分、帶鋼位置、油污水分等的影響。因此需要對(duì)X射線的測量曲線進(jìn)行校正或者補(bǔ)償[2]。

針對(duì)板帶加工測量過程中的X射線測厚儀補(bǔ)償和校正問題，為提高檢測的精度和穩(wěn)定性，一些學(xué)者和工程師做了相關(guān)的研究工作。文獻(xiàn)[3]系統(tǒng)地分析了X射線測厚儀射線強(qiáng)度、統(tǒng)計(jì)誤差以及被測物的材質(zhì)、溫度、表面附著水層、傾斜角度等對(duì)測厚精度的影響并給出了理論上的精度修正方法。其后，在文獻(xiàn)[4]中給出了X射線測厚儀應(yīng)用實(shí)例以及在國內(nèi)的應(yīng)用情況。文獻(xiàn)[5]結(jié)合X射線測厚儀測量原理，著重分析了射線穩(wěn)定性、合金材質(zhì)、帶鋼位置以及環(huán)境對(duì)測量精度的影響并給出了理論補(bǔ)償方法。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]從具體的應(yīng)用出發(fā)，介紹了工業(yè)應(yīng)用現(xiàn)場中，對(duì)X射線測厚儀的精度補(bǔ)償方法。而針對(duì)具體使用過程中的精度維護(hù)過程，文獻(xiàn)[8]介紹了了實(shí)際生產(chǎn)過程中對(duì)X射線測厚儀的維護(hù)方法，以保證X射線測厚儀滿足精度要求。

從上述文獻(xiàn)中可以得知，在實(shí)際應(yīng)用過程中，要完成對(duì)X射線測厚儀的理論測量曲線繪制和測量精度補(bǔ)償是一項(xiàng)較為復(fù)雜的過程。另外，由于使用場景的不同以及環(huán)境的影響，一次的理論計(jì)算并不能夠長期使用。因此需要尋求一種快捷方便而又具備一定程度精度保證的測量曲線繪制與精度補(bǔ)償方法。

為解決上述問題，本文結(jié)合漣鋼RM215X射線測厚儀在冷軋過程的具體應(yīng)用實(shí)例，提出一種基于數(shù)據(jù)的X射線測厚儀測量曲線繪制與精度補(bǔ)償方法，并依據(jù)現(xiàn)場的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)給出具體的應(yīng)用過程。

1 基于數(shù)據(jù)的X射線測厚儀檢測模型

X射線測厚儀的基本原理為：當(dāng)X射線穿過物體時(shí)光譜區(qū)輻射將被改物體的材料削弱。如圖1所示，X射線測厚儀發(fā)射輻射強(qiáng)度為I0，通過厚度為x的材料后的輻射強(qiáng)度為I，對(duì)于特定能量或波長，發(fā)射的輻射量和通過材料的的輻射量用下式給出：

式中：I0為X射線的入射輻射強(qiáng)度；I為通過厚度為x的樣片后的輻射強(qiáng)度；u為樣片材料的線性吸收系數(shù)；p為樣片材料密度；x為樣片厚度。其中，吸收系數(shù)u是材料對(duì)X射線進(jìn)行衰減的能力的量度，是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，并且隨著能量的衰減而非線性地減小。它取決于兩個(gè)因素：材料的化學(xué)組成以及X射線的能量。

圖1 X射線測厚儀測量社示意圖

根據(jù)測厚儀的測量原理，測厚儀傳感器的電壓信號(hào)強(qiáng)度V與X射線接收強(qiáng)度I有如下式所示的關(guān)系。

將式（2）代入式中可以得到樣片厚度與測厚儀傳感器電壓信號(hào)之間的關(guān)系式。

在V0已知下，可得到如式（4）所示的一般表達(dá)式

由于u是與發(fā)射管電壓和材質(zhì)原子序數(shù)相關(guān)的復(fù)雜的非線性表達(dá)式，所以a也是一個(gè)復(fù)雜的非線性表達(dá)式。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的理論分析，在冷軋現(xiàn)場，安裝在固定位置，選取合適的入射強(qiáng)度，配置穩(wěn)定的電源之后，X射線測厚儀的檢測精度還受統(tǒng)計(jì)誤差、材質(zhì)吸收系數(shù)u以及環(huán)境的溫度、濕度、帶材表面附著物的影響。其中，統(tǒng)計(jì)誤差與材質(zhì)吸收系數(shù)、板材厚度具有復(fù)雜的非線性函數(shù)關(guān)系，材質(zhì)吸收系數(shù)u反比于管電壓V的3次方，正比于被測物原子序數(shù)的3次方，而環(huán)境對(duì)檢測精度的影響，理論分析則更為困難。

依據(jù)上述分析，要完成理論上的X射線測厚儀理論測量曲線繪制和精度修正是極為困難的。實(shí)際上，即使完成理論上的計(jì)算與修正，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還需要根據(jù)具體檢測情況進(jìn)行精度的補(bǔ)償。在這種情況下，考慮到在設(shè)備完成安裝后，上述對(duì)X射線測厚儀精度影響的各個(gè)因素在相當(dāng)長的一個(gè)時(shí)期內(nèi)都不會(huì)發(fā)生大的變化，因此可以使用基于標(biāo)準(zhǔn)檢測數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)建模方法來實(shí)現(xiàn)X射線測厚儀的測量曲線繪制工作。

上述分析表明在公式表達(dá)式a為一個(gè)三階以上非線性表達(dá)式，而常量b為與具體安裝環(huán)境相關(guān)的補(bǔ)償閾值。經(jīng)過數(shù)據(jù)與機(jī)理的綜合分析，這些復(fù)雜非線性關(guān)系可以采用5階多項(xiàng)式來描述：

其中，z=-1（V）.

通過機(jī)理分析，得到上述X射線檢測儀檢測曲線模型的模型結(jié)構(gòu)，但是其中的相關(guān)參數(shù)還需要通過現(xiàn)場的標(biāo)準(zhǔn)檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，通過數(shù)據(jù)的訓(xùn)練得到完整的檢測曲線模型。

2 基于最小二乘的多項(xiàng)式系數(shù)辨識(shí)方法

對(duì)上一節(jié)建立的X射線測厚儀檢測模型結(jié)構(gòu)分析表明，模型為典型的多項(xiàng)式系數(shù)辨識(shí)問題。針對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)辨識(shí)問題，最小二乘多項(xiàng)式擬合方法計(jì)算相對(duì)較為簡單，并且能夠得到較為精確的結(jié)果，因此本節(jié)采用最小二乘多項(xiàng)式擬合方法辨識(shí)檢測模型中的系數(shù)。

2.1 最小二乘法基本原理

從整體上考慮近似函數(shù)p（x）同所給數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，y）i（i=0，1，…，m）誤差ri=p（x）i-yi（i=0，1，…，m）的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差ri=p（x）i-yi（i=0，1，… ，m）絕 對(duì) 值 的 最 大 值，即誤差向量 r=（r1，r2，…，rm）T的∞-范數(shù)；二是誤差絕對(duì)值的和，即誤差向量r

數(shù)據(jù)擬合的具體做法是：對(duì)給定數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=0，1，…，m），在取定的函數(shù)類 Φ 中，求 p（x）∈Φ，使誤差ri=p（xi）-yi（i=0，1，…，m）的平方和最小，即

從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn)（xi，yi）（i=0，1，…，m）的距離平方和為最小的曲線 y=p（x），如圖2所示。函數(shù)p（x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)p（x）的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法。

圖2 曲線擬合示意圖

2.2 最小二乘多項(xiàng)式擬合

假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）（i=0，1，…，m），Φ為所有次數(shù)不超過n（n≤m）的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一使得

當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足式（7）的pn（x）稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱為線性擬合或直線擬合。

顯然式為a0，a1，…an的多元函數(shù)，因此上述問題即為求I=I（a0，a1，…an）的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得式（9）為關(guān)于 a0，a1，…an的線性方程組，用矩陣表示為：

該式（9）稱為正規(guī)方程組或法方程組。

可以證明，方程組的系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（10）中解出ak（k=0，1，…，n），從而可得多項(xiàng)式可以證明，式（11）中的p（nx）滿足式（7），即p（nx）為所求的擬合多項(xiàng)式。我們把稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式p（nx）的平方誤差，記作

由式（8）可得：

在實(shí)際應(yīng)用中，n＜m或n≤m；當(dāng)n＝m時(shí)所得的擬合多項(xiàng)式就是拉格朗日或牛頓插值多項(xiàng)式。通過上述多項(xiàng)式擬合方法，在給定標(biāo)準(zhǔn)測量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，即能夠計(jì)算得到確定的X射線檢測曲線。

2.3 最小二乘擬合多項(xiàng)式的存在唯一性

為論證最小二多項(xiàng)式擬合的解具有唯一性，給出如下兩個(gè)定理。

定理1設(shè)節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn互異，則法方程組（10）的解存在唯一。

證：由克萊姆法則，只需證明方程組的系數(shù)矩陣非奇異即可。

用反證法，設(shè)方程組（10）的系數(shù)矩陣奇異，則其所對(duì)應(yīng)的齊次方程組為：

上式有非零解。式（14）可寫為

將式（15）中第 j個(gè)方程乘以 aj（j=0，1，…，n），然后將新得到的n+1個(gè)方程左右兩端分別相加，得：

式中，pn（x）是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，它有m+1>n個(gè)相異零點(diǎn)，由代數(shù)基本定理，必須有a0，a1，…an＝0，與齊次方程組有非零解的假設(shè)矛盾。因此正規(guī)方程組（14）必有唯一解。

定理 2：設(shè) a0，a1，…an是正規(guī)方程組（14）的解，則是滿足式（7）的最小二乘擬合多項(xiàng)式。

證：只需證明，對(duì)任意一組數(shù)b0，b1，…bn組成的多項(xiàng)式恒有

因?yàn)?ak（k=0，1，…，n）是正規(guī)方程組（14）的解，所以滿足式（8），因此有

故pn（x）為最小二乘擬合多項(xiàng)式。

上述證明表明，在給定足夠的不具備線性相關(guān)辨識(shí)數(shù)據(jù)情況下，總能得到唯一的檢測模型唯一解。

3 基于數(shù)據(jù)的X射線測厚儀檢測模型應(yīng)用

在漣鋼冷軋生產(chǎn)現(xiàn)場按照要求安裝完RM215型X射線測厚儀后，采用本文的方法繪制該測厚儀的測量曲線，具體的過程如下。

首先，根據(jù)九個(gè)材料樣片標(biāo)準(zhǔn)件插入到X射線源發(fā)射的光束中進(jìn)行測量，得到表1所示的標(biāo)準(zhǔn)測量數(shù)據(jù)，后續(xù)將利用該標(biāo)準(zhǔn)測量數(shù)據(jù)對(duì)測量模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

表1 測厚儀標(biāo)準(zhǔn)樣片測量數(shù)據(jù)

根據(jù)測厚儀的測量原理，X射線的實(shí)際入射輻射量和穿過樣板后的實(shí)際接收輻射量加上X射線在空氣中的衰減輻射量等于X射線的入射輻射量與接收輻射量的測量值，所以把表1轉(zhuǎn)化成表2所示的X射線實(shí)際入射與接收輻射量。

表2 X射線實(shí)際入射與輻射強(qiáng)度

根據(jù)式把表2數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成表3所示的數(shù)據(jù)。

表3 樣片標(biāo)準(zhǔn)厚度與射線強(qiáng)度比值對(duì)照

利用表3中的9組值辨識(shí)測試模型中的系數(shù)，可以得到如下式方程組：

對(duì)式中各項(xiàng)相加得到下式：

式（24）~（29）是由公式（23）線性變換得到的，所以公式（24）~（29）與公式（23）是線性相關(guān)的，由線性相關(guān)性定理知公式（24）~（29）的解也是公式（23）的解。

將表4中的數(shù)據(jù)代入公式~列表如下：

表4 方程求解值表

解得多項(xiàng)式：

式（31）即為擬合得到的測量曲線，調(diào)整完擬合曲線，生成擬合修正值，寫入對(duì)應(yīng)程序參數(shù)當(dāng)中。這樣測厚儀的測量曲線基本完成。現(xiàn)場的應(yīng)用表明，采用該方法得到的X射線測厚儀測量曲線能夠滿足現(xiàn)場的應(yīng)用需求，生產(chǎn)的冷軋板材厚度控制精度高且穩(wěn)定。

4 結(jié)束語

本文在分析X射線測厚儀檢測原理基礎(chǔ)上，指出實(shí)際生產(chǎn)現(xiàn)場影響測厚儀檢測精度的影響因素。根據(jù)分析的結(jié)論，給出一種通過標(biāo)準(zhǔn)檢測數(shù)據(jù)建立測厚儀檢測模型的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模方法。通過建立的模型能夠完成測量曲線的繪制與精度補(bǔ)償。最后，通過漣鋼冷軋廠的實(shí)際應(yīng)用實(shí)例表明該方法具有可操作性，且得到的測量曲線能夠滿足現(xiàn)場的精度要求，具備實(shí)用價(jià)值。

[1]趙春紅，趙檢羅.X射線測厚儀的應(yīng)用與改進(jìn)[J].漣鋼科技與管理，2008 ，（4）：27-29.

[2]馬竹梧.穿透式X射線測厚儀及其在冶金工業(yè)中的應(yīng)用[J].計(jì)量裝置及應(yīng)用，2010，20（6）：25-25.

[3]馬竹梧.X射線測厚影響因素分析,技術(shù)進(jìn)展及其在冶金工業(yè)中的應(yīng)用（上）[J].冶金自動(dòng)化，2011，35（1）:1-5.

[4]馬竹梧.X射線測厚影響因素分析,技術(shù)進(jìn)展及其在冶金工業(yè)中的應(yīng)用（下）[J].冶金自動(dòng)化，2011，35（2）：1-3.

[5]魏 鵬，方偉嶄.X射線測厚儀測量精度影響因素及補(bǔ)償措施[J].自動(dòng)化儀表，2011，32（1）：17-18.

[6]陳德斌，胥福順，欒爭位.影響X射線測厚儀測量精度的因素及維護(hù)方法[J].輕合金加工技術(shù)，2009，37（4）：38-40.

[7]張曉春.X射線測厚儀在熱軋板帶中的應(yīng)用[J].自動(dòng)化儀表,2013，35（2）：88-91.

[8]陳德斌，胥福順，欒爭位.影響X射線測厚儀測量精度的因素及維護(hù)方法[J].輕合金加工技術(shù)，2009，37（4）：38-40.