邊界控制系統的干擾解耦

李 凱， 欒小麗， 劉 飛

(江南大學自動化研究所，江蘇無錫214000)

實際工業過程中，存在很多控制作用加在控制對象邊界上的無窮維系統。如熱傳導過程和橡膠工業中輪胎硫化的過程，熱量是從邊界傳遞到內部的。1968 年，Fattorini［1］首次提出邊界控制系統概念，此后，邊界控制系統被人們廣泛關注。Glowlnski R［2］討論了波方程和熱方程在邊界控制下的能控性問題，給出邊界控制下系統精確能控和近似可控問題的解;Doubova A等［3］針對邊界控制下非線性熱方程能控性問題，給出了系統能控的充分條件。進而，Seidman T I［4］針對橢圓型方程邊界反饋條件下系統可鎮定問題進行了研究，給出解指數趨于零的代數條件。最近，Mohamed B G［5］研究無窮階時滯雙曲線型系統的邊界控制問題，給出系統的最優控制的充要條件;Deutscher J［6］給出了線性邊界控制系統的有限維對偶狀態反饋律。

已有的邊界控制系統研究成果，從線性到非線性，從系統分析到控制器設計，主要集中在能控性、最優控制、反饋鎮定等方面，均未考慮邊界控制系統的干擾解耦問題。然而，干擾解耦在控制系統分析與設計中占有很重要的位置。文獻［7-10］給出了解決一般線性和非線性系統的干擾解耦問題的方法。

文獻［11-13］針對無窮維系統進行干擾解耦問題的研究。目前，對于邊界控制系統控制問題，通常將偏微分方程改成狀態方程。但是，得到的狀態方程中控制算子是無界的［14］。然而，在干擾解耦問題研究中，無界控制算子會導致輸出算子的最大子空間不存在［15］，難以給出系統可干擾解耦的充分條件;此外，在無窮維系統中計算子空間需要嚴格的假設條件，且相對于在有限維系統中計算子空間，計算過程復雜繁瑣［10，15-17］。

針對上述問題，文中基于有界控制算子轉換技術［18］和希爾伯特空間射影法，對邊界控制系統進行干擾解耦研究。先利用有界控制算子轉換技術將邊界控制系統轉換成等價有界系統，再應用希爾伯特空間射影法對等價有界系統進行處理，將邊界控制系統的干擾解耦轉化為有限維等價有界系統的干擾解耦問題。基于幾何子空間理論［19］，推導出有限維等價有界系統可干擾解耦的充分條件。進一步證明，若有限維等價有界系統可干擾解耦，則邊界控制系統也可干擾解耦。

1 有界算子轉換

文中使用的符號說明如下:

D(A)為算子A的定義域;L(X，Y)為從線性空間X到線性空間Y的線性有界算子空間;⊕為直和;T:X→Y為線性映射;‖‖表示范數;Im E為算子E的象空間;Ker D為算子 D零空間;〈·，·〉為內積。

考慮如下邊界控制系統［1］

其中，a在Hilbert空間X中是線性閉算子;τ為一個線性邊界算子，τ:X→Y1，其定義域D(a)?D(τ)，y∈Y，u∈U，x0∈X，q∈Q，a:X→X，E∈L(Q，X)，G∈L(U，Y1)，D:X→Y;X，Y，Y1，Q為可分實Hilbert空間，U∈Rm。

進一步地，定義算子A為空間X中強連續C0半群無窮小生成元，A的定義域為

且在定義域D(A)中，滿足Ax=ax。

注1 a為偏微分算子，τ為微分算子。在D(a)范數下，τ/D(a)是連續的。

邊界控制系統的干擾解耦問題就是當q為干擾輸入時，設計一個反饋控制律u，使得輸出y與干擾q無關。

為對邊界控制系統的干擾解耦問題進行分析，首先，對系統式(1)進行有界算子轉換，進行如下假設:

1)存在有界算子B，B∈L(U，X)，u∈U，滿足Bu∈D(a)和

2)N=aB，N ∈ L(U，X)，N 是有界的。

令x=v+Bux(0)=v(0)+Bu(0)，綜合上述假設條件以及式(1)，可得方程

對式(1)和式(3)進行增廣變換，得到邊界控制系統在狀態空間?X=X⊕Rm下的有界拓展形式

其中

對式(4)進一步處理，可得

其中

注2 對于邊界控制系統控制問題，由于控制算子是無界的。如果將其改寫成狀態方程系統，進行處理時，過程比較復雜，且難以被應用。文中采用有界控制算子轉換技術，通過尋找有界算子對式(1)進行增廣處理，得到一個有界拓展系統。綜合比較式(1)和式(5)的輸出，式(1)中輸出y=Dx，式(5)中輸出y=D(IB)x。可以明顯得到，若式(5)中系統輸出y=D(IB)x與干擾q無關，則式(1)中輸出y=Dx也與干擾q無關，從而說明了將式(1)的干擾解耦問題轉換為式(5)的干擾解耦問題的有效性。

2 干擾解耦分析

以有限近似方法為主要技術手段，進一步對式(5)進行射影處理，得到一個有限維等價有界系統，并推導出有限維等價有界系統可干擾解耦的充分條件;同時給出證明，當有限維等價有界系統可干擾解耦，原邊界控制系統也可干擾解耦。

針對式(5)，采用希爾伯特空間射影法進行近似處理。

注3 利用希爾伯特射影法對等價有界系統進行近似處理，對有限維等價系統的干擾解耦問題進行研究。定理1給出了有限維近似系統可干擾解耦的充分條件;給出定理2，結合兩個假設條件證明了有限維系統系可干擾解耦，等價有界系統也可干擾解耦，說明了希爾伯特空間射影法的有效性;給出定理3，證明了等價有界系統可干擾解耦，邊界控制系統也可干擾解耦，說明了有界算子轉換技術在文中的有效性。

3 實例

通過這個實例，給出其可干擾解耦的充分條件，驗證了文中方法是有效的。

4 結語

文中討論了邊界控制系統下的干擾解耦問題，給出了邊界控制系統可干擾解耦的充分條件。使用有限維近似方法，轉換到在有限維系統中計算幾何子空間，避免了在無窮維系統中計算幾何子空間不存在或者計算過程很復雜等問題。有界控制算子轉換技術，是對邊界控制系統處理的一種特殊方法。如何得到邊界控制系統在含有無界控制算子的標準狀態方程下干擾解耦的解，還需要進一步研究。

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